宁夏银川贺兰县第四中学高中数学14生活中优化问题举例选修22

宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学1.4生活中的优化问题举例教课设计新人教版选修2-2教课目的：1．使收益最大、用料最省、效率最高等优化问题，领会导数在解决实质问题中的作用2．提升将实质问题转变为数学识题的能力教课要点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教课难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教课过程：二．新课讲解导数在实质生活中的应用主假如解决相关函数最大值、最小值的实质问题，主要有以下几个方面：1、与几何相关的最值问题；2、与物理学相关的最值问题；3、与收益及其成本相关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：第一是需要剖析问题中各个变量之间的关系，成立适合的函数关系，并确立函数的定义域，经过创建在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是成立适合的函数关系。再经过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题成立数学模型用函数表示的数学识题解决数学模型作答优化问题的答案用导数解决数学识题三．典例剖析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的耗费量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有必定的关系，汽油的耗费量w是汽车速度数．依据你的生活经验，思虑下边两个问题：

v的函1）能否是汽车的速度越快，汽车的耗费量越大？2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？剖析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游耗费量与汽车行驶行程的比值．假如用G表示每千米均匀的汽油耗费量，那么Gw，此中，w表示汽油耗费量（单位：L），s表示汽油行驶的s行程（单位：km）．这样，求“每千米行程的汽油耗费量最少”，就是求G的最小值的问题．经过大批的统计数据，并对数据进行剖析、研究，人们发现，汽车内行驶过程中，汽油均匀耗费率g（即每小时的汽油耗费量，单位：L/h）与汽车行驶的均匀速度v（单位：km/h）之间有如下图的函数关系gfv．从图中不可以直接解决汽油使用效率最高的问题．所以，我们首先需要将问题转变为汽油均匀耗费率g（即每小时的汽油耗费量，单位：L/h）与汽车行驶的均匀速度v（单位：km/h）之间关系的问题，而后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．wwg解：因为Gtssvt这样，问题就转变为求g的最小值．从图象上看，g表示经过原点vv与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90km/h．所以，当汽车行驶距离一准时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油耗费量最小，此时的车速约为90km/h．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即f90，约为L．例2．磁盘的最大储存量问题计算机把数据储存在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不一样半径所组成的齐心轨道，扇区是指被齐心角切割所成的扇形地区。磁道上的定长弧段可作为基本储存单元，依据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元往常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必要大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求全部磁道要拥有同样的比特数。问题：现有一张半径为R的磁盘，它的储存区是半径介于r与R之间的环形地区．（1）能否是r越小，磁盘的储存量越大？2）r为多少时，磁盘拥有最大储存量（最外面的磁道不储存任何信息）？解：由题意知：储存量=磁道数×每磁道的比特数。设储存区的半径介于r与R之间，因为磁道之间的宽度必要大于m，且最外面的磁道不储存任何信息，故磁道数最多可达Rr。m因为每条磁道上的比特数同样，为获取最大储存量，最内一条磁道一定装满，即每条磁道上的比特数可达2r。所以，磁盘总储存量Rr×2r2nf(r)r(Rr)mnmn（1）它是一个对于r的二次函数，从函数分析式上能够判断，不是越小，磁盘的储存量越大．2）为求f(r)的最大值，计算f(r)0．令f(r)0，解得Rr2当rR时，f(r)0；当rR时，f(r)0．22所以rR时，磁盘拥有最大储存量。此时最大储存量为22R2mn4例3．饮料瓶大小对饮料企业收益的影响1）你能否注意过，市场上等量的小包装的物件一般比大包装的要贵些？2）能否是饮料瓶越大，饮料企业的收益越大？【背景知识】：某制造商制造并销售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

0.8r2分，此中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每销售

1mL

的饮料，制造商可赢利

0.2分,

且制造商能制作的瓶子的最大部分径为6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的收益最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的收益最小？解：因为瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的收益是令fr0.8(r22r)0解得r2（r0舍去）当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．当半径r2时，fr0它表示fr单一递加，即半径越大，收益越高；当半径r2时，fr0它表示fr单一递减，即半径越大，收益越低．（1）半径为2cm时，收益最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的收益还不够瓶子的成本，此时收益是负值．2）半径为6cm时，收益最大．换一个角度：假如我们不用导数工具，直接从函数的图像上察看，会有什么发现？有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰巧相等；当r3时，收益才为正当．当r

0,2

时，

f

r

0，fr

为减函数，其实质意义为：瓶子的半径小于

2cm时，瓶子的半径越大，收益越小，半径为

2cm

时，收益最小．说明：四．讲堂练习1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，假如所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2m，最大容积1.8m3）5．课本练习五．回首总结1．利用导数解决优化问题的基本思路：成立数学模型