《直线和圆的位置关系》问题链式教学设计

《直线与圆的位置关系》教学设计一、对问题链教学的理解根据《数学课程标准》的理念，老师在平时上课的过程中，应当把学生当作主角，作为课堂的风景，而老师主要起到一个引导的作用。那么如何更好的引导学生，调动学生的主观能动性进而提高课堂的实效？，“基于问题链的数学教学理念”便在这样的环境下应运而生。问题链的教学理念即教师导入设疑→学生自主探究分析→自然生成新问题并解决→归纳总结→反馈迁移，它强调的是质疑与探索并行。课堂上并不一定只是解决老师抛出的一个个预设的问题，更重要的是学习过程中产生的新的问题。另外教师还可以根据课堂的进展情况提出新的问题，再和学生一起解决。基于问题链的教学理念，我对《直线与圆的位置关系》这节课做了如下的教学设计，请各位评委老师批评指正。二、教材中的地位和作在解析几何乃至整个高中数学的教学中占有重要的地位，直线和圆位置关系的应用非常广泛.它在学习了圆的方程、点与圆的位置关系的基础上进行，又为后面学习圆与圆的位置关系作铺垫，起到了一个承上启下的作用。三、学情分析我现在所教的班级，学生数学基础相对比较薄弱，缺乏基本的数学素养，对数学知识的探索方法比较单一。所以我在上课的过程中不宜增加太多的问题，并且问题的难度不宜过大，便于学生接受理解。四、教学目标根据学生已有的认知基础以及本节课在教材中的地位和作用，结合新课程标准，我确定了本节课的教学目标知识目标理解直线和圆相交，相切，相离的定义会利用几何法和代数法判断直线和圆的位置关系、和学生一起探究并得出直线和圆相交的弦长计算公式。能力目标通过看图分析，找出圆心到直线的距离与半径的数量关系，揭示直线和圆的位置关系来培养学生的观察能力和分析总结能力。通过直线和圆的相对运动，培养学生运动变化的辩证唯物主义观点。情感目标和学生一起欣赏古诗《红日》体会数学的人文之美。和学生一起观看网页flash动画《海上日出》，让学生体会数学的自然之美。通过分析引言中的问题：轮船沿直线返回港口的途中是否受到台风的影响，让学生来感受数学和日常生活的紧密联系。五、教材的重点、难点（1）教学重点1、理解直线和圆的三种位置关系。2、直线和圆相交所得弦长的计算方法。（2）教学难点1、如何利用圆心到直线的距离和半径的数量关系来揭示直线和圆的位置关系。2、直线和圆的位置关系的判断方法的实际运用，及弦长公式的具体应用。六、教学方法通过设置问题链的方式来帮助学生自主探究和合作交流。运用多媒体课件进行动态和直观的演示让学生获得直观感受的同时为培养学生的理性思维创造条件，同时可以激发学生的学习兴。上课的具体过程（一）课前预习设计意图以问题链的形式设计课前预习清单，可以很好的帮助学生理清本节课的知识脉络，同时老师在课堂教学的过程中，也可以安排更多的时间让学生进行讨论和交流。可以培养学生的自主学习能力。在上本节课的前一天，我设置了如下知识清单发给学生：知识点一直线与圆的位置关系问题1、回忆初中所学的知识，直线与圆的位置关系有哪些？问题2、书本引言中的问题当中轮船沿直线返回港口的途中，是否会受到台风的影响主要取决于什么？本质上是判断一个什么问题？知识点二直线与圆的位置关系的判断方法问题1、我们初中学过了什么方法？

.问题2、回顾与启发（1）如何求两条直线的交点坐标？

.（2）方程组交点的个数与两直线的位置关系有什么联系？由此猜想:判断直线和和圆的位置关系还有什么方法？怎样进行？知识点三直线与圆相交所得的弦长的计算问题：初中我们已经学过了垂径定理，你能利用这个定理设计出一种弦长的计算方法吗？讲授新课之前，先讨论前一天布置的知识清单上的内容设计意图掌握学生的最近发展区，哪些问题学生已经掌握了，哪些问题学生还不清楚，哪些问题还需要加强。采用师生问答的方式设计问题链，主要是为了更好的促进师生的互动。师：同学们，昨天晚上大家根据自主学习清单自学了“直线与圆的位置关系”这部分内容，接下来先小组交流，然后小组汇报，比比哪个组能成为优秀小组。同学们拿出自主学习清单。现给大家5分钟时间，小组同学在一起交流一下你们组的同学共同学会了哪些知识？还有哪些问题存在困惑？记录员要做好记录。小组展示收获提出困惑师：现在我们开始小组汇报。哪个小组先来展示？其他小组认真听，随时准备补充。生：我们组对书本引言中的轮船是否受到台风影响的问题进行了讨论，我们认为轮船是否受到台风的影响主要是研究以台风中心为直径的圆与起点和终点连成的线段的位置关系，但是不知道如何判断，特别是如何求出圆心到直线的距离。师：刚才这位同学提出的方法非常有效，这种通过建立坐标系来解决问题的方法正是解析几何中用得最多的一种方法。知识点二中的问题理解得怎么样了？现在请第二组的代表上来讲讲看法。生：方程组无解说明两直线无交点即两直线平行；方程组有一组解说明两直线相交；方程组有无数组解说明两直线重合。直线与圆的位置关系的判断应该也可以通过联立方程组，看方程组有几个解的方法来判断。生:圆心到直线的距离，圆的半径，弦长的一半形成了直角三角形，所以可以考虑用勾股定理来求弦长。师：讲得很好，利用勾股定理可以求得直线被圆截得弦长，这就是圆中的弦长计算公式。（二）新课讲授（1）直线和圆的位置关系的定义及判断方法1、和学生一起欣赏古诗《红日》金乌跃海映波红栩栩升腾背向东后羿挽弓怜万物一轮悬宇亮长空1、展示三张图片，引出问题1：直线和圆有哪些位置关系？生：相切、相交和相离。问题2：这三种位置关系是如何定义的?生:是由公共点的个数定义的：直线和圆相交，有两个公共点；直线和圆相切，只有一个公共点；直线和圆相离，没有公共点。问题3：我们应该如何判断直线与圆的位置关系呢？引导学生从几何的角度来分析直线与圆相交、相切及相离这三种位置关系同圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系有何联系。师：同学们观察一下上面这三幅图形，思考一下如何从几何的角度来描述直线和圆的三种位置关系？生：利用圆心到直线的距离d与半径r比较大小得到:若d<r则相交，若d=r则相切，若d>r则相离。教师实时总结：这种判断直线和圆的位置关系的方法叫做几何法。例1：已知直线和圆C的方程为试判断直线与圆c的位置关系。（给学生以充分的时间思考、探讨，然后让每个小组选一个代表陈述他们的方法以及方法的依据。）生1：根据初中判断直线和圆位置关系的方法，只要将圆心到直线的距离d与半径r比较大小即可，利用前面所学的点到直线的距离公式，可以很快算出,从而得出结论：直线和圆相交。在例题1讲完后，我又提出了两个新的问题，形成了一个循序渐进式的问题链问题1：同学们回忆一下初中时求两条直线的交点坐标采用的是什么方法？我们能不能用类似的方法把直线和圆的交点坐标求出来呢？请大家思考，讨论。生：将两条直线的方程联立起来组成方程组，该方程组的解即为两直线的交点坐标。问题2：这种解法的理论依据是什么？生：两条直线的交点既在第一条直线上，同时也在第二条直线上，所以交点的坐标应该满足两条直线的方程，故可以用这种方法来求交点的坐标。问题3：方程组交点的个数与两直线的位置关系有什么联系？（即知识清单中的问题2）生：如果只有一个解则两直线相交，如果无解则两直线平行，如果有无数多个解则两直线重合。问题4：类比两条直线交点坐标的求法，在前面的例题1中，如果进一步要求直线和圆的交点坐标，应该用什么方法？生：可以将直线和圆的方程联立，消去y,得到关于x的方程，再由判别式大于零可知，直线和圆相交，解方程可得两个交点的坐标。问题5：将前面例题1中圆的半径改为3，则所得圆与直线是什么位置关系？此时联立而成的方程组有几个解？如果进一步把该圆的半径改为1呢？生：半径改为3，直线和圆相切，此时方程组一个解；半径改为1，直线和圆相离，此时方程组无解。问题6：那么我们除了用几何法来判断直线和圆的位置关系外，还可以用什么方法来判断两者的位置关系？生：可以通过联立直线和圆的方程，根据方程组解的个数来确定直线和圆的位置关系。接下来引导学生概括出判断直线和圆位置关系的两种方法：代数法、几何法。位置关系相交相切相离代数特征几何特征设计意图在上述过程中，通过六个问题组成的这个循序渐进式的问题链，环环相扣，运用类比的思想，充分调动了学生的积极性，使本节课的重点突出，难点也得到了很好的突破。2、对比巩固师：请同学们利用以上两种方法解决引言中的问题。（用PPT展示引言中的问题，可以找两名学生分别用两种方法板演）。师：对照两种方法的解答，哪一种更为简便？生：几何法教师总结：由于几何法充分运用了圆的几何性质相对而言更为简洁，所以解此类题目时往往考虑用几何法。而代数法更能反应解析几何的特点，在后面学习圆锥曲线时，代数法要经常用到。直线与圆相交的弦长公式问题：直线与圆相交的弦长应该如何解决？这个问题在前面的预习过程中已经解决，教师只要在黑板上板书即可。例2：已知过点M（-3，-3）的直线被圆所截得的弦长为，试求直线的方程。问题1：弦长这个条件应该如何应用？生：可以先利用弦长公式求出弦心距，再利用点到直线的距离公式列方程求出直线的斜率。问题2：设直线方程时能否直接设为：？生：要分斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论课堂检测设计意图问题链的教学模式能体现新课程的教学理念，能最大限度的调动学生的积极性。但教学效果究竟如何，还是体现在学生能否正确的利用上课所学的知识来进行解题。检测内容正确人数占总人数的比例判断：1、直线与圆恒有公共点。（

）2、当时，直线与圆相切。（）3、直线与圆相交于两个不同的点（）4、“”是“直线与圆相交”的充要条件。（

）

5、直线与圆相交与A、B两点，则弦AB的长度为（

）

（四）课堂小结（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何处理直线与圆的相交弦长问题？三、教后反思1、“预习”时机要合理安排，力求为学生提供从事数学活动的机会“预习”是导学式教学模式的一个必要环节。通过“预习”，教师可以发现学生在学习中存在的问题，包括学生的学习方式、学习习惯、思维方式、思维习惯、明显的学习障碍、学习的薄弱环节等等，以使教师的学习引导能有的放矢。在课例研究过程中，我们发现预习的安排要根据我们的教学目标和教学需求来决定。有些内容适合课内预习以便于小组合作，便于培养学生自主学习的能力，也利于老师及时掌握学生学习中反应出的真实的问题，但也有一些内容如果安排在课内，由于时间和空间的制约，学习的广度也深度随之受到影响，那么可以安排在课外，学生可以上网查询相关资料，可用足身边的学习材料，可与家长共同完成某些任务。2、“分组交流”教师要注意引导在教学过程中的分组交流不能是信马由缰式的无目的无原则的拓展延伸，那样只能是低效率地教学，而是要求教师在教材把握上有自我独到的见解，对教学重难点有深入的认识，对教学预设有充分而多样的准备，只有这样才能够在课堂上面对学生的疑问、学生的思考给予有效的引导。3、要充分发挥教师在课堂上的作用，即“解疑”和“提升”首先是解疑，，教师可视问题的难易程度和重要程度，灵活选择解疑的方式方法，如直接回答、讨论、辩论、提供相关材料进行实验、操作等。若学生提出的问题质量很高或是