专题10 逐个击破考点十：几何综合证明二（原卷版）

12/12专题10逐个击破考向-第十周：几何综合证明二旋转、相似综合、新定义【考向分析】年份几何综合证明题考向补充2010√全等相似综合证明2011√旋转问题，全等相似综合证明2012√相似综合证明2013√新定义几何证明2014√全等综合证明，旋转问题2015√全等相似综合证明，旋转问题2016√全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用2017√全等相似综合证明2018√全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用2019√全等相似综合证明通过分析对比，可以看出：安徽中考数学填空压轴题的主要考向分为四类：一是全等综合证明，二是相似综合证明，三是旋转问题，四是特殊图形特殊性质的运用。其中全等相似综合证明题型基本上是每年必考考点，近几年中出现了旋转和特殊图形特殊性质的运用，好在是这两类题型的解题思路非常明确，且比较好总结方法技巧；几何综合证明作为中考压轴大题，每年都必然出现在试卷最后，是冲刺高分的最大拦路虎，对知识掌握的综合运用能力要求较高，但理解出题方式和解题思路可以帮助大家快速打开解题思维，进而顺利解题。【真题再现】年份：2010年考向：全等相似综合证明20.如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.(1)求证：四边形BCEF是菱形；(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.第20题图23.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c＝a1，求证：a＝kc；(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．第23题图年份：2011年考向：旋转问题，全等相似综合证明22.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．图①图②图③第22题图23.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1，h2，h3(h1>0，h2>0，h3>0)．(1)求证：h1＝h3；(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋heq\o\al(2,1)；(3)若eq\f(3,2)h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况．第23题图年份：2012年考向：相似综合证明22.如图①，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等．设BC＝a，AC＝b，AB＝c.第22题图(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分∠EDF；(3)连接CG，如图②，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.年份：2013年考向：新定义几何证明23.我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图①，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，其中∠B＝∠C.(1)在图①所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；(2)如图②，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B＝∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC.求证：eq\f(AB,DC)＝eq\f(BE,EC)；(3)在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB＝EC，请问当点E在四边形ABCD内部时(即图③所示情形)，四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．(不必说明理由)图①图②图③第23题图年份：2014年考向：全等综合证明，旋转问题23.如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N.(1)①∠MPN＝________°；②求证：PM＋PN＝3a；(2)如图②，点O是AD的中点，连接OM，ON.求证：OM＝ON；(3)如图③，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．第23题图①第23题图②第23题图③年份：2015年考向：全等相似综合证明，旋转问题23.如图①，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.(1)求证：AD＝BC；(2)求证：△AGD∽△EGF；(3)如图②，若AD、BC所在直线互相垂直，求eq\f(AD,EF)的值．图①图②第23题图年份：2017年考向：全等相似综合证明23．已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．(1)如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE＝CF；②求证：BE2＝BC·CE.(2)如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．图1图2第23题图年份：2019年考向：全等相似综合证明20、如图，点E在□ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE。（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设□ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值。23、如图，在Rt△ABC，∠ACB=900，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=1350。⑴求证：△PAB∽△PBC；⑵求证：PA=2PC；⑶若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h12=h2·h3.【技巧总结】旋转题型：先通过观察图形确定存在旋转一组相似的等腰三角形绕其公共顶点旋转，对应边连接端点构成的三角形全等一组相似的非等腰三角形绕其公共点旋转，对应边连接端点构成的三角形相似1、相似三角形的四类结构图：(1)平行线型．(2)相交线型．(3)子母型．(4)旋转型．相似问题中等式证明的方法总结过渡法（或叫代换法）等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，