自动控制理论2014秋三大第四章根轨迹法

2023/3/8第四章根轨迹法从前述章节可知,系统动态性能与闭环极点在S平面上的位置密切相关。因此,在分析系统性能时,需要定量研究系统的一个或者多个参量在一定范围内变化时,系统闭环极点的位置变化以及对系统性能的影响。1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递函数寻求闭环特征根（即闭环极点）移动轨迹的方法,建立了一套绘制根轨迹的规则,这就是被广泛应用的根轨迹法。该方法可以简便、直观地分析系统特征根与系统参数之间的关系。适用于单闭环系统,也可用于多闭环系统。根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨迹图。2023/3/8本章内容第一节根轨迹的基本概念第二节绘制根轨迹的方法第三节参量根轨迹和多回路系统根轨迹第四节正反馈系统和零度根轨迹第五节利用根轨迹分析系统的暂态性能第六节延迟系统的根轨迹本章小结、重点和习题2023/3/8第一节根轨迹的基本概念对图4-1所示二阶系统，系统开环传递函数为：如果系统的开环增益K（根轨迹增益K1）从0向变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制为曲线，如图4-2所示。这样获得的曲线称为K1从0向变化时系统的根轨迹。图4-1，二阶系统系统开环传递函数为：闭环系统的特征根：2023/3/8

可见，根轨迹图全面地描述了参数K1对闭环特征根分布的影响。

定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。

一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参量根轨迹。图4-2二阶系统的根轨迹2023/3/8利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析：（1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性；（2）判断系统在K1从0到变化时出根轨迹的条数；（3）判断该系统在K1取值在何范围时处于过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；（4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性；（5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系统闭环性能指标；或反之；

2023/3/8第二节绘制根轨迹的基本方法一、绘制根轨迹的基本条件讨论图4-3所示系统，特征方程为

1＋G(s)H(S)=0

或

G(S)H(S)=-1

根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得绘制系统根轨迹的基本条件，即：幅值条件和相角条件：

以上条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹上的充要条件。

图4-3系统方框图2023/3/8系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即时间常数表达式和零极点表达式。（1）时间常数表达式：（2）零极点表达式：此时幅值条件和相角条件分别为：2023/3/8在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹增益K1值。【例4-1】单位反馈系统的开环传递函数为:试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值是多少。解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上。p1=0,p2=-2,p3=-6.6,z1=-4，（2）将s1坐标带入相角条件：满足相角条件,S1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。2023/3/8本例说明的是一种试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。图4-4例4-1图（3）利用幅值条件求得与S1相对应的K1值。2023/3/8二、绘制根轨迹的基本规则

规则1：根轨迹的分支数和对称性。根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n；根轨迹对称于实轴。规则2：根轨迹的起点与终点。

起始点：K1=0时的闭环极点，即系统的开环极点。起始点与终止点个数相等，均为n；终止点：（1）有限值终止点：当K1时，有m条分支趋向开环零点；（2）无限远终止点：n-m条分支趋向无穷远处,需要确定其方位和走向。

2023/3/8证明：由幅值条件当时，只有才能满足以上幅值条件，故根轨迹必从开环极点出发。当时，只有才能满足以上幅值条件，故根轨迹必从终止于开环零点或无穷远处。2023/3/8

规则3:

实轴上的根轨迹。实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时，这些线段就是根轨迹的一部分。如图4-5所示。

图4-5实轴上的根轨迹证明：s1左边每个开环极点或零点提供的相角为0，s1右边每个开环极点或零点提供的相角为180º，没对共轭极点和零点提供的相角只和为0或360º，互相抵消。故，只有其右边开环零点、极点的总数为奇数的实轴线段才满足相角条件。2023/3/8

规则4:根轨迹的渐近线。

当系统的根轨迹增益K1时，趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，它们趋向无穷远处的方位可由渐近线决定。（1）渐近线与实轴的倾角为：（2）渐近线与实轴的交点坐标为：（证明略）2023/3/8【例4-2】解：无零点，只有一个极点故其根轨迹只有一条分支，且就在实轴上，其根轨迹如图4-6所示，画根轨迹。图4-6例4-2的根轨迹图【例4-3】，画根轨迹。解：无零点，有两个极点故其根轨迹有两条分支趋向无穷远，渐近线倾角：2023/3/8渐近线与实轴只交点：其根轨迹如图4-7所示两条根轨迹分别从极点0、－0.5出发，并汇合于a点，然后分离，分别沿90º，－90º的渐近线趋向无穷远图4-7例4-3的根轨迹图a2023/3/8用Matlab绘制根轨迹：>>n=[1];>>d=[conv([1,0],[1,0.5])];>>rlocus(n,d)图4-8例4-3的根轨迹图Matlab绘制2023/3/8【例4-4】设系统的开环传递函数为：当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。解:

（1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹；（2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。（3）渐近线：K1时，有3条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线的倾角为：渐近线与实轴的交点坐标为

2023/3/8（4）实轴上的根轨迹：在S平面实轴上[0，-1]和[-，-2]线段上存在根轨迹。根轨迹草图如图4-8所示

其中一条从p3=-2出发,随着K1的增加,沿着负实轴趋向无穷远处。另两条分支分别从p1=0和p2=-1出发,沿着负实轴向b点移动。当K1值达到某一数值时,这两条分支相交于实轴上的b点,这时系统处于临界阻尼状态。当K1继续增大时,这两条分支离开负实轴分别趋近60o和-60o的渐近线，向无穷远处延伸。在Kb＜K1＜Kc时,系统处于欠阻尼状态,出现衰减振荡。而当K1＞Kc时,，系统成为不稳定状态。图4-9例4-4的根轨迹图2023/3/8用Matlab绘制根轨迹：>>n=[1];>>d=[conv([1,1],[1,2]),0];>>rlocus(n,d)图4-10例4-4的根轨图Matlab绘制2023/3/8规则5：根轨迹的分离点、会合点和分离角。几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。分离点(会合点)是闭环特征方程的重根点，在的变化过程中，分离点(会合点)是取得极大值或极小值的点，在特征方程中，将用s及其各次幂的形式表达出来，再根据求极值的方法寻找分离点(会合点)处的s值，即分离点与会合点必须满足方程:

上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分离点或回合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点可能在s平面上任何一点2023/3/8【例4-5】求例4-4中分离点b的坐标。解：系统的特征方程为推出：由此得：解得：s1=-0.423,s2=-1.577，即此两点为可能得分离点，又知分离点在0至－1之间的线段上，故s1=-0.423为分离点b的坐标。分离角：根轨迹离开重根点处的切线与实轴正方向的夹角被称为分离角,其计算公式为：

r为分离点处根轨迹的分支数2023/3/8规则6：根轨迹的出射角和入射角。根轨迹从开环复数极点出发的角度（出射点的切线与实轴正方向的夹角）称为出射角；进入开环复数零点的角度（入射点的切线与实轴正方向的夹角）称为入射角。(出射角对复极点入射角对复零点)。出射角：入射角：其中：为其它开环零点、极点对出射点或入射点提供的相角，即：说明：如图4-9所示为已知系统开环零、极点分布，可说明出射角的求取。在根轨迹上靠近起点P1较远处取一点S1,显然满足相角条件，有2023/3/8当S1无限趋近于P1点时，即为P1点的出射角，一般情况下，开环复数极点Pk的出射角为：图4-11出射角的确定用同样的方法可以确入射角2023/3/8规则7：根轨迹与虚轴的交点。在根轨迹与虚轴的交点处，存在系统的纯虚根，实际上是系统的临界稳定点。通常用以下两种根轨迹与虚轴交点。（1）劳斯判据法；（2）复数相等方法

【例4-6】已知系统开环传递函数为：试求系统根轨迹与虚轴的交点。

解：

求出系统闭环特征方程为：（1）劳斯判据法；列出劳斯表：若阵列中的S1和S0行等于零，则系统就处于稳定边界上，特征方程具有纯虚根，由此可得：K1=6时，s=j1.414;K1=0时，s=j0。2023/3/8（2）复数相等方法令系统特征方程中的s=j,令整理得到方程的实部和虚部分别为零，可得到相同的结果：即由得到：

K1=6时，s=j1.414;K1=0时，s=j0。规则8：闭环极点的和与积。根据代数方程的根与系数关系

闭环极点之和：

闭环极点之积：为系统特征方程的系数2023/3/8特别地，当n-m2时，有:

即闭环极点之和等于开环极点之和。这些表明在开环极点确定的情况下，随着K1的变化，若有一些闭环特征根增大，则另一些特征根必然减小。即一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。【例4-7】已知与开环传递函数为

其根轨迹与虚轴的交点为s1,2=j1.414,试求交点处的临界K1值及第三个特征根。解：系统的特征方程为：由闭环极点之和公式易得s3=-3

由闭环极点之和公式易得K1=62023/3/8【例4-8】已知反馈控制系统的开环传递函数为：试绘制K1变化时的根轨迹。解：按以下步骤绘制系统的根轨迹：（1）开环极点为p1=0，p2=-3，p1=-1j,无开环零点；（2）根轨迹分支数n=4条；（3）在实轴上[-3，0]之间为根轨迹段；（4）渐近线,n-m=4条：（5）由特征方程求分离点

解得s1=-2.3，s2,3=0.725j0.365。s1为分离点。分离角为90o。

2023/3/8利用根轨迹的幅值条件可求得对应于分离点s1=-2.3的K1值为4.33。（6）求出射角根据对称性可知：p4=71.6（7）求根轨迹与虚轴的交点。由特征方程并列出劳斯表：令劳斯表中S1行的首项为零，求得K1=8.16。根据表中S2行的系数写出辅助方程:令s=j，K1=8.16代入上式，求得=1.1。根轨迹的两条分支与虚轴交于=1.1j处对应的K1=8.16。2023/3/8图4-12例4-8的根轨迹图最后，得到系统的根轨迹如图4-10所示2023/3/8用Matlab绘制根轨迹：>>n=[1];>>d=[conv([1,3],[1,2,2]),0];>>g=tf(n,d);>>rlocus(g)图4-13例4-8的根轨迹图Matlab绘制2023/3/8三、闭环极点的确定

根据上述规则，可以简便地绘制系统根轨迹的大致图形。当需要比较准确地确定某些局部图形时，可用相角条件逐点绘出。当K1值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点，就是闭环极点。有两个方面的工作要做：（1）利用幅值条件，可以确定根轨迹上任一点所对应的K1值，也可在根轨迹上标出一些点的K1值。（2）在一些情况下，给出一对主导共轭极点的阻尼比，要求确定闭环极点及相应的根轨迹增益。为此可先画一条给定的线，根据它与复平面上根轨迹的交点确定一对共轭闭环极点，然后再求相应的根轨迹增益和实数极点。

2023/3/8

在例4-8中，若给定一对主导极点的阻尼比=0.5。根据=0.5线与根轨迹的交点，可以确定一对共轭极点为-0.4j0.7。对应的根轨迹增益K1值等于各开环极点至此点距离之积，即K1=0.84*1.86*2.74*0.68=2.91，用试探法可找到另外两个闭环极点：s=-1.4;s=-2.85

由此可求出系统闭环传递函数：

2023/3/8【例4-9】已知系统的开环传递函数如下，试绘制闭环系统的根轨迹。

解：从开环传递函数公式中求出开环极点：

p1=0，p2=-4，p3,4=-2j4

（1）根轨迹分支数n=4条。（2）实轴上［-4，0］区间为根轨迹段。（3）渐近线

n-m=4条：（4）出射角为：

由对称性知p4=90o。2023/3/8（5）求分离点。由特征方程令：解得分离点为：

S1=-2,S2,3=-2j2.449（6）求根轨迹与虚轴的交点。由特征方程列出劳斯表并计算：令表中S1行的首项为零，求得K1=260，根据表中S2行的系数得到辅助方程：2023/3/8求解得到根轨迹与虚轴的交点：根据幅值条件可得到根轨迹图上的几个特殊点对应的K1值。系统根轨迹如图4-14所示:用Matlab绘制根轨迹：>>d=[conv([1,4],[1,4,20]),0];>>g=tf(1,d);>>rlocus(g)图见下页之图4-15图4-14例4-9的根轨迹图2023/3/8图4-15例4-9的根轨迹图Matlab绘制2023/3/8表4-1列出了绘制根轨迹的基本规则：表4-1绘制根轨迹的基本规则2023/3/8表4-2中列出了一些系统的开环零、极点分布及其相应的根轨迹图表4-2一些系统的根轨迹2023/3/8第三节参量根轨迹和多回路系统根轨迹一、参量根轨迹

前述以根轨迹增益K1为可变参量的根轨迹称为常规根轨迹。实际上任何参数均可选择为系统的可变参量，如开环零、极点、时间常数和反馈系数等。这种以非K1为参变量的根轨迹称为参量根轨迹，又称广义根轨迹。第二节所讲根轨迹的绘制方法和规则依然适用于绘制参量根轨迹，但需要预先将可变参量演化到相当于常规根轨迹增益K1的位置上。下面举例说明参数演化和参量根轨迹的绘制方法的方法。

【例4-10】设反馈系统的开环传递函数为试绘制系统以a为参变量的根轨迹。

解：对给定系统特征方程进行以下变换：2023/3/8不含参数的部分含参数的部分等效开还传递函数黄金法则2023/3/8现在来绘制等效开还传递函数：的根轨迹，方法同前。解：开还零极点：2023/3/8用Matlab绘制根轨迹：>>g=tf([1,0],[1,0,4])>>rlocus(g)图4-17例4-10的参量根轨迹，matlab绘制2023/3/8【例4-11】已知系统开环传递函数如下，要求以开环极点a为连续可变参数，以K1为参变量绘制该系统的根轨迹族。解：系统特征方程为：或：应用黄金法则，得：其等效开环传递函数为：求出G*（s）H*（s）的极点，即方程的跟，2023/3/8（确切地说是根轨迹，因为K1为变量）。为了作出的根轨迹，再一次应用黄金法则，即有：从而得到另一个等效开环传递函数：根据G1*(s)H1*(s),绘出不同K1值时的根轨迹，如图4-18。在图4-19中用虚线表示这个根轨迹图。注意，这些虚线上的点就是G*(s)H*(s)对应于不同K1值的极点，也就是按G*(s)H*(s)作出的根轨迹（当a=0～）的起点。这样，给定一个K1值，即可按G*(s)H*(s)描绘出a=0～时的一组根轨迹；给定另一个K1值，就得到另一组这样的根轨迹……，这就是要求绘制的根轨迹族，如图4-19中实线所示。由图可见，a=0时系统不稳定。当a增大至一定数值时，系统变为稳定。2023/3/8a的临界值可用劳斯判据确定。系统稳定的临界条件为K1=a(a＋1)。图4-18的根轨迹图4-19根轨迹族2023/3/8二、多回路系统的根轨迹

根轨迹分析方法不仅适用于单回路系统，也适用于多回路系统。绘制多回路系统根轨迹的步骤：（1）首先根据内反馈回路的开环传递函数，绘制内反馈回路的根轨迹，确定内反馈回路的极点分布。（2）由内反馈回路的零、极点和内回路外的零、极点构成整个多回路系统的开环零、极点。再按照单回路根轨迹的基本法则，绘制整个系统的根轨迹。【例4-12】设控制系统的结构如图4-20所示，试绘制多回路系统的跟轨迹。解：（1）首先确定内回路的根轨迹2023/3/8内回路闭环传递函数为：内回路特征方程为：绘制a变化时内环系统特征方程的根轨迹,需要根据D1(s)构造一个等效系统,新系统的特征方程与D1（s）一样，而参数a相当于开环增益，故等效系统的开环传递函数应为：注意：在绘制根轨迹时，开环传递函数的分子分母中若有相同因子时，不能相消，相消后将会丢掉闭环极点。

图4-20系统结构图2023/3/8

当a变化时内回路的根轨迹如图4-21所示。当a1=2.5，a＝1.25时，对应的内回路闭环极点分别为P’1=0；P’2,3=-l.5j1.5，此时内环闭环传递函数为：

（2）绘制K变化时的多回路系统根轨迹多回路系统的开环传递函数为：按照前述绘制常规根轨迹的方法求出出射角、根轨迹与虚轴交点等，绘制根轨迹如图4-22所示2023/3/8图4-21内环根轨迹图当a1为约2.5时，内环闭环极点为P’1=0；P’2,3=-l.5j1.52023/3/8

当a取l.25，K＞6.25时，此多回路系统将有两个闭环极点分布在右半S平面，系统变为不稳定。

绘制多回路反馈控制系统根轨迹的方法：从内环开始，分层绘制，逐步扩展到整个系统。图4-22多回路系统根轨迹2023/3/8第四节正反馈系统和零度根轨迹复杂的控制系统中可能出现局部正反馈的结构，如图4-22所示。这种局部正反馈的结构可能是控制对象本身的特性，也可能是为满足系统的某种性能要求在设计系统时加进的。具有局部正反馈的系统可以由主回路的负反馈使之稳定，但在利用根轨迹法对系统进行分析时必须求出正反馈回路的零、极点。下面讨论正反馈系统根轨迹的绘制方法。图4-23所示的局部正反馈回路的闭环传递函数，即：相应的特征方程为：图4-23具有局部正反馈的系统2023/3/8其幅值条件和相角条件分别为：与负反馈系统的幅值条件和相角条件相比,可见绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件没有变，相角条件发生了改变。负反馈系统的相角条件是180o等相角条件，正反馈系统则是0o等相角条件。所以通常称负反馈系统的根轨迹为180o根轨迹，称正反馈系统的根轨迹为零度根轨迹。2023/3/8

根据正反馈的相角条件，在绘制正反馈回路的根轨迹时需对表4-1中的与相角条件有关的规则作如下修改，其余规则不变。规则3：实轴上的线段存在根轨迹的条件是其右边的开环零、极点数目之和为偶数。规则4：（n-m）条渐近线的倾角为：规则6：根轨迹的出射角和入射角为：【例4-13】图

4-24所示正反馈系统的开环传递函数为：

试绘制其零度根轨迹。

2023/3/8解：（1）开环极点p1=0，p2=-1，p3=-2，有三条根轨迹起于开环极点，终点均在无穷远处。（2）实轴上区间[-2，-1]和［0，］为根轨迹段。（3）渐近线与实轴相交于-1点，倾斜角由倾角公式计算,取q=0、1、2，得a=0o、120o、240o。

（4）分离点的求法与负反馈情况完全一样。在例4-4中已解出两个分离点：S1=0.423，S2=-1.577，并且已确定-0.423是负反馈情况下的分离点，这里可以确定-1.577是正反馈情况下的分离点。

最后得系统的根轨迹如图4-25所示。图4-24正反馈系统2023/3/8由图4-25可以看出，该系统在正反馈情况下总存在一个正实根，因而该系统在正反馈情况下是不可能稳定的。图4-25正反馈系统的根轨迹2023/3/8【例4-14】绘制图4-26所示具有正反馈内环回路系统的根轨迹。解：首先绘制内环的根轨迹。内环部分的特征方程为或设内环的开环极点为根据规则6可知，由这一对共轭复数极点出发的根轨迹的出射角为对内环的特征方程，求出dK0/ds，得图4-26具有正反馈内环的系统2023/3/8于是得到根轨迹与实轴的交点坐标为：S=-n规则3指出:实轴上存在根轨迹的条件是其线段右边的开环零、极点为偶数。现在该系统内环在实轴上不存在开环零、极点,所以根轨迹可以存在于全部实轴上。正反馈内环回路的根轨迹如图4-27（a）所示。

由图可见，随着回路开环增益K0的增大，闭环极点将从一对稳定的复数极点逐渐成为两个稳定的实数极点。当K0增到K0=1时，回路将有一个p=0的极点。如果使K0＞1，则回路就有位于S平面右半部的实极点了。

图4-27例4-14系统的根轨迹2023/3/8假定系统内环的开环增益K0=1，则内环的闭环极点是p1=0和p2=-2-n，如图5-27（a）中根轨迹上的小三角所示。这时，系统的内环相当于是一个积分环节与一个非周期环节串联而成。将内环的两个闭环极点与内环外控制器的零、极点标在图5-27（b）中，然后按负反馈根轨迹的规则，可以绘出K0变化时整个系统的根轨迹。2023/3/8【例4-15】已知负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹（很小)。解：当很小时，例如=0.5，延迟环节的传递函数为：开环传递函数化为：

特征方程为：上式为正反馈回路特征方程，可根据非最小相位系统绘制零度根轨迹的基本规则绘制根轨迹。2023/3/8（1）此系统的根轨迹有两条分支，分别从开环极点pl=0和p2=-1出发。当k2,一条分支趋向开环零点Z=2，另一条趋向无穷远处。（2）实轴上的根轨迹存在于［-1，0］和［2，］区间。（3）令dK2/ds=0，求解得分离点为：S1=-0.45，S2=4.45（4）将S=j代入特征方程，解得根轨迹与虚轴的交点为：该系统的零度根轨迹如图4-28所示。图4-28具有迟后环节的系统的根轨迹2023/3/8

表4-3列出了几种具有相同开环零、极点分布的负反馈系统和正反馈系统的根轨迹图。若正反馈系统的开环传递函数为则其特征方程可写为与负反馈系统的特征方程式相比较，可知：正反馈系统的根轨迹，就是当K1从零变化到负无穷时的具有相同开环传递函数的负反馈系统的根轨迹。因此可将负反馈系统和正反馈系统的根轨迹合并，绘制-＜K1＜+整个区间的根轨迹。2023/3/8表4-3几种正、负反馈回路的根轨迹2023/3/8第五节利用根轨迹分析系统的性能

系统的闭环极点与系统的稳定性及暂态响应有密切的关系，而闭环系统的极、零点可由根轨迹法确定。当系统存在一对主导极点时，可按低阶系统近似估算系统的暂态性能。一、利用主导极点估算系统的性能指标

根轨迹法分析系统的一般步骤：１．绘制系统的根轨迹图；２．分析根轨迹图，估计系统增益K1对闭环零、极点分布的影响；３．根据闭环极点的分布估算系统暂态响应指标；４．对高阶系统要尽可能准确地找出它的闭环主导极点。2023/3/8例4－16：已知单位负反馈系统的开环传递函数为，试在根轨迹上确定一个Kg值，使其中一个闭环极点位于的阻尼线上，并求解其余的闭环极点；估算该Kg值下的性能指标。解在根轨迹上作的阻尼线（）交于s1点，读得其共轭根另一特征根可由特征方程次高次幂的系数求得为

2023/3/8与s1的实部比为，满足闭环主导极点的条件。由幅值条件知，s1点的Kg值为将s1当作二阶系统的极点可用二阶性能指标来估算系统性能。2023/3/8二、增加开环零点对系统性能的影响增加的开环零点能够改变根轨迹的分布。设系统的开环传递函数为以Kg为参变量的根轨迹，以及附加开环零点-4、-2.5、-1.5时的根轨迹分别如图所示。增加的开环实值零点使根轨迹向左偏移了，零点越远离虚轴，根轨迹向左偏移的程度越小；零点越靠近虚轴，偏移的程度越厉害。

2023/3/8增加的开环零点也是闭环零点，与闭环主导极点的实部会产生一定的抵消作用，使由闭环主导极点所确定的超调量有所增大，若使超调量不增加，增加零点后可选ζ值大些的阻尼线。

若增加的开环零点太靠近虚轴，阻尼线上的特征根不能担当闭环主导极点了，此时实轴上有比它们更靠近虚轴的闭环极点，该极点过大的时间常数使响应呈过阻尼性质，如图d)所示。2023/3/8三、增加开环极点对系统性能的影响增加开环极点与增加开环零点的作用互补。例如，开环传递函数为的根轨迹图如图a)所示。增加一个稳定的开环极点p＝－2后的根轨迹如图b)所示。图中可见，复平面上的根轨迹向右偏移了，渐近线由变为，Kg值越大右移得越多，穿过虚轴后系统不稳定了。分离点由(-0.5)点移至(-0.42)点，对应的Kg值也由0.25减小到0.19，意味着增加开环极点后，开环放大系数需要降低才可能使响应具有同样的振荡倾向，而降低开环放大系数会增大系统的稳态误差。

增加开环极点后,根轨迹将向右弯曲,不利于系统的稳定性和动态性能。因此,一般不希望单独增加开环极点。2023/3/8四、增加开环偶极子对系统性能的影响开环偶极子满足：①、极点比零点更靠近坐标原点，②、较比原系统的闭环主导极点而言，这对零极点的间距很小，并且很靠近坐标原点，通常它们的中心距到坐标原点的距离比闭环主导极点的负实部要小一个数量级。

2023/3/8增加开环偶极子对原系统的暂态性能影响甚微，但增加偶极子对减小稳态误差的作用明显。例如，某控制系统的开环传递函数为稳态误差为，在前向通道配置偶极子新的开环传递函数为稳态误差为可见，稳态误差减小了10倍，等于偶极子零极点的比值。2023/3/8

系统闭环的零、极点位置与暂态响应之间的关系有如下结论：

（1）如系统闭环极点全部位于S左半平面,则系统暂态响应呈收敛性,系统稳定。（2）如系统闭环极点均为负实数,且无零点,则系统暂态响应为非振荡的,响应时间主要取决于距虚轴最近的极点。2023/3/8（3）如系统具有一对共轭复数主导极点，则系统暂态响应呈振荡性质，而调节时间主要取决于主导极点的实部1=n。（4）如系统存在距离非常接近的闭环极点和零点，其相互距离比其本身的模小一个数量级以上，则把这一对闭环零、极点称为偶极子。一般情况下，偶极子对系统暂态响应的影响可以忽略。但如偶极子的位置接近坐标原点，其影响不可忽略。偶极子不影响系统主导极点的地位。（5）如除了一对共轭复数主导极点外，系统还具有若干实数零、极点，零点的存在减小系统阻尼，使响应速度加快，超调量增加；实数极点的存在会增大系统阻尼，使响应速度减慢，超调量减小。2023/3/8第六节延迟系统的根轨迹

有的实际系统或环节存在纯时间延迟现象，即环节的输出信号比输入信号延迟时刻。具有这种特性的环节称为延迟环节，其传递函数为e-s。延迟环节的存在对系统稳定性有不利影响。具有延迟环节的系统根轨迹具有一定的特殊性。设延迟系统的方框图如图5-29所示系统闭环传递函数为系统特征方程为这是一个关于s的超越方程，具有无限多个解图4-34延迟系统方框图2023/3/8延迟环节的近似处理将e-s展开为幂级数：或：在一定条件下取前两项，得到延迟环节的近似表达式。一、绘制延迟系统根轨迹的条件由延迟系统的特征方程可推导绘制系统根轨迹的幅值条件和相角条件可见，当=0时，上述条件与常规系统根轨迹绘制条件相同。

2023/3/8

当0时，特征根s=+j的实部将影响幅值，相角条件与、q值有关。注意：当q值从0，1，2，…变到时，相角条件右边有无穷多个数值。表明对于一定的K1值，复平面上满足幅值条件和相角条件的点有无穷多个，说明延迟系统的根轨迹有无穷多条。二、绘制延迟系统根轨迹的基本规则

根据延迟系统根轨迹的幅值条件和相角条件,可得绘制延迟系统根轨迹的绘制规则。规则1：根轨迹的分支数和对称性。因系统特征方程的根有无穷多个，因而系统的根轨迹有无穷多个分支，且对称于实轴。规则2：