相似压轴培优(含答案)

压轴培优综合练习卷：《相似》一．解答题.已知：如图边长为2的正方形ABCD中，/MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且/MAN=45°①求证：MN=BM+DN;②若AM、AN交对角线BD于E、F两点.设BF=y,DE=x，求y与x的函数关系式.A D.将两块全等的三角板如图1摆放，其中/A1CB1=/ACB=90°,/A1=/A=30°.⑴将图1中△\8占绕点6顺时针旋转45°得图2,点］是A1C与AB的交点，点Q是AR与BC的交点,求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少?⑶将图2中ZXA1B1c绕』点C顺时针旋转到AA282c（如图3）,点P2是A2c与AP1的交点.当旋转角为多少度时，有△A旋转角为多少度时，有△Apics«pip2?这时线段J与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？..如图，菱形ABCD的边长为20cm,/ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A—B-C的』路线向点C运动；Q以2J丞m/s的速度，沿A—C的路线向点6运动.当P、Q到达终点6时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒.(1)在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线人6的位置关系，并说明理由；(2)若点Q关于菱形ABCD的对角线交点。的对称点为乂，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或6口)于点收①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t,使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由..如图，在Rt^ABC中，/ACB=90°,AC=3,86=4,过点B作射线881//人。动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH，AB于H,过点E作EF，AC交射线BB1于F,G是EF中点，连接DG.设点口运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，人口二人8,并求出此时DE的长度；(2)当^DEG与4人68相似时，求t的值..已知点日在4人86内，/人86=/日80=%/人68=/日口8=60°,/人日8=150°,ZBEC=90°.(1)当a=60°时(如图1),①判断4人86的形状，并说明理由；②求证：BD=,二次E;(2)当a=90°时(如图2),求现的值.卸 图2.在Rt^ABC中，/8人6=90°,过点8的直线MN//AC,D为BC边上一点，连接AD,作DE^AD交小于点日，连接AE.(1)如图①，当/ABC=45°时，求证：AD=DE;(2)如图②，当/ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；(3)当/人86=”时，请直接写出线段AD与口日的数量关系.(用含“的三角函数表示)图L 图27•一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1,使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.(1)求证：△AEFs^ABC；(2)求这个正方形零件的边长；(3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面•积是多少？图L 图2.如图，在边长为8的正方形ABCD中，点。为人口上一动点(4VOAV8),以。为圆心，OA的长为半径的圆交边6口于点乂，连接。乂，过点乂作。。的切线交边BC于N.(1)求证：△ODMs^MCN；(2)设DM=x,OA=R，求R关于x的函数关系式；(3)在动点0逐渐向点口运动(OA逐渐增大)的过程中，^CMN的周长如何变化？说明理由..如图，在Rt^ABC中，/C=90°,Rt^BAP中，/BAP=90°,已知/CBO=/ABP,BP交人6于点0,E为AC上一点，且人日=0。(1)求证：AP=AO；(2)求证:PE±AO;⑶当AE=：；-AC,AB=10时，求线段BO的长度.8.如图，四边形人86口内接于。O,AB是。。的直径，AC和8口相交于点日，且口。=CE・CA.(1)求证：BC=CD;(2)分别延长AB,DC交于点P，过点A作AF，CD交CD的延长线于点F，若PB=OB,CD=：；,为求DF的长..已知：RT^ABC与RT^DEF中，/ACB=/EDF=90°,/DEF=45°,EF=8cm,AC=16cm,BC=12cm.现将RT^ABC和RTADEF按图1的方式摆放，使点6与点日重合，点8、C(E)、F在同一条直线上，并按如下方式运动.运动一：如图2,4ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与人6相交于点Q,当点Q与点D重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图3,RT^ABC绕着点6顺时针旋转，CA与DF交于点Q,CB与DE交于点P,此时点Q在DF上匀速运动，速度为&CItl/吕，当QC^DF时暂停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图4,RT^ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点6与点尸重合时为止.设运动时间为t(s),中间的暂停不计时，解答下列问题(；1)在RT^ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时s;(2)在整个运动过程中，设RT^ABC与RT^DEF的重叠部分的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；(3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.C7C7均图112．某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．活动情境：如图2,将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、6）,使点8落在AD边上的点F处，FN与DC交于点乂处，连接BF与EG交于点P.所得结论：当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：甲：△AEF的边AE= cm,EF= cm;乙：4FDM的周长为16cm;丙：EG=BF.你的任务：（1）填充甲同学所得结果中的数据;（2）写出在乙同学所得结果的求解过程;（3）当点F在AD边上除点人、D外的任何一处（如图2）时：①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF,再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？图1

,BD±BE,AD=13.如图，点8在线段AC上，点口、E在AC,BD±BE,AD=BC．(1)求证：AC=AD+CE；(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点，连接DP,作PQ^DP,交直线BE于点Q;(i)当点P与A、8两点不重合时，求零的值；PQ(ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长.(直接写出结果,不必写出解答过程)14.已知在4ABC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQPs^ABC；(2)当4PQB为等腰三角形时，求AP的长.

15.在^ABC中，/CAB=90°,人口，86于点口，点日为15.在^ABC中，/CAB=90°G,点F在BC上.(1)如图1,AC：AB=1：2,EF^CB,求证：EF=CD.⑵如图2,AC:AB=1：,.，EF^CE,求EF：EG的值..如图，/6=90°,点人、B在/C的两边上，CA=30,CB=20,连接AB.点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点6停止.当点P与B、C两点不重合时，作PD^BC交人8于点口，作口日，人6于点日.F为射线CB上一点，使得/CEF=/ABC.设点P运动的时间为x秒.(1)用含有x的代数式表示CE的长.(2)求点F与点B重合时x的值.(3)当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y(平方单位).求y与x之间的函数关系式..如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点。在坐标原点，点人在x轴正半轴上，点8在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点人匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,点C随点P的运动而运动，连接CP、CA,过点P作PD，OB于点D.(1)填空：PD的长为用含土的代数式表示)；(2)求点6的坐标(用含土的代数式表示)；(3)在点P从。向A运动的过程中，^PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4)填空：在点P从。向A运动的过程中，点6运动路线的长为..已知，把Rt^ABC和RtADEF按图1摆放，(点C与E点重合)，点B、C、E、F始终在同一条直线上，/ACB=/EDF=90°,/DEF=45°,AC=8,BC=6,EF=10,如图2,4DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向^ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点8匀速移动，AC与^DEF的直角边相交于Q,当P到达终点8时，ADEF同时停止运动，连接PQ,设移动的时间为土($).解答下列问题：普用图(1)4DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；(2)在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．(3)在移动过程中，当0VtW5时，连接PE,是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由..如图，在直角^ABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8.D、E分别是AC、BC边的中点,点P从A出发沿线段AD-DE-EB以每秒3个单位长的速度向B匀速运动；点Q从点A出发沿射线AB以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P与点B重合时停止运动，点Q也随之停止运动，设点P、Q运动时间是t秒，(t>0)(1)当土=时，点P到达终点8；(2)当点P运动到点口时，求4BPQ的面积；(3)设4BPQ的面积为S,求出点Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式；(4)请直接写出PQ//DB时t的值.

参考答案一.解答题(1)证明：将4ABM绕点A逆时针旋转90°至^ADM,•/ZMZAN=ZDAN+ZMAB=45°,AM'=AM,BM=DM',・「M'A-N=/MAN=45°,AN=AN,.•.△AMN^AAMN',,-.MN=NM/,..M'N=M'D+DN=BM+DN,,-.MN=BM+DN.(2)解：-.ZAED=45°+ZBAE,/FAB=45°+ZBAE,ZAED=/FAB,ZABF=ZADE,.-.△BFAc^ADAE,,=AB一AD—DE，・工=2"2£’4(1)证明：・・•/BCB=45°,ZBCA=90°,111・./BCQ=/BCP=45°;i i又bc=bc,zb=/b,11/.△BCQ^ABCP(ASA)i 1/.CQ=CP;1(2)解：如图：作PD^AC于D,1•/ZA=30°,.-.PD=-|-AP1；・・•/P]CD=45°,又AP]=a,CQ=CPj・•.CQ=V^a;(3)解：当/P1cp2=/P]AC=30°时，由于/CP1P2=/AP1c，则4AP1cs^CP1P2,所以将图2中△'8'绕点6顺时针旋转300到4人?82c时，有△AP's^CP1P2.3.解：(1)若0VtW5,则AP=4t,AQ=2历.又•.・AO=10，：MAB=20,」.WalAO10Vs 5-AP=AB.AQAO又•••/CAB=30°,.•.△APQs^ABO.・•./AQP=90°,即PQ^AC.当5Vt010时，同理，可由△PCQs^BCO得/PQC=90°,即PQ^AC.・♦・在点P、Q运动过程中，始终有PQ^AC.⑵①如图，在Rt^APM中，.../PAM=30°,AP=4t,.•.am=JL_2_.在^APQ中，/AQP=90°,AQ=AP«cos30°=2^yzJt,..QM=AC—2AQ=20・普—4•巧t.由AQ+QM=AM得:2A+20启—4^=-^^解得t=乎..•.当t=乎时，点P、M、N在一直线上.②存在这样的t,使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.设l交AC于H.如图1,当点N在AD上时，若PN^MN,则/NMH=30°..-.MH=2NH,得2C)O—4/净—空江=2米空注，解得土=2.如图2,当点N在CD上时，若PM^PN,则/HMP=30°..-.MH=2PH,同理可得t=W°.故当t=2或整时，存在以PN为一直角边的直角三角形.34.解：（1）.「/ACB=90°,AC=3,BC=4,：ab=:淤十42=5.\'AD=5t,CE=3t,.,.当AD=AB时，5t=5,即t=1;AE=A；C+CE=3+3t=6,DE=6-5=1.（2）vEF=BC=4,G是EF的中点,・•.GE=2.当ADVAE（即tv三）时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t若^DEG与^ACB相似，则或理二里，..t=,ELtBCEGAC..t=,当AD>AE（即t>5）时，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3若^DEG与^ACB相似，则二坐或成二星，EijBl-E1^Al.2t-33\2t-34.. 二一或 二一,2 4 2 3解得t=誉或t=4-；综上所述，当党或首9-”ydeg与△仙相似.5.解：（1）①判断：4^86是等边三角形.理由：・・./ABC=/ACB=60°・•./BAC=180°-/ABC-/ACB=60°=/ABC=/ACB「.△ABC是等边三角形②证明：同理4EBD也是等边三角形连接DC,则AB=BC,BE=BD,/ABE=60°-/EBC=/CBD/.△ABE^ACBD•.AE=CD,/AEB=/CDB=150°•./EDC=150°-/BDE=90°/CED=/BEC-/BED=90°-60°=30°在RtZXEDC中常■二七皿对口厂3，：晋一‘当'即ED二二3的(2)连接DC,・./ABC=/EBD=90°,/ACB=/EDB=60°「.△ABCs^EBD•坦—区一星匣一些EB"'BD'EC-BD又•・•/ABE=90°—/EBC=/CBD.-.△ABE^ACBD,ZAEB=ZCDB=150°, 二盟CDBD/.ZEDC=150o-ZBDE=90°ZCED=ZBEC-ZBED=90°-(90o-ZBDE)=60°设BD=x在Rt△EBD中DE=2x,BE=J]j工在RtAEDC中CD=DE,r 。二之门工・也日CD・BE 1rl即BD_1,,显『^二一%一二.二£班，叫T*6.(1)证明：如图1,过点口作口^^86,交人8于点^;则/BDE+/FDE=90°,-/DE±AD,ZFDE+ZADF=90°,.-.ZBDE=ZADF,.-ZBAC=90°,ZABC=45°,".LC=45°,,.-MN//AC,.-.ZEBD=1800-ZC=135°,.ZBFD=45°,DFXBC,/BFD=45°,BD=DF,.-.ZAFD=135°,.-.zebd=zafd,在^BDE和^FDA中VEBD=Zmi即二口F ,iZBDE=ZAEF.-.△BDE^AFDA(ASA),,-.AD=DE；(2)解：DE=RAD,理由：如图2,过点D作DG^BC,交AB于点G,则/BDE+/GDE=90°,/DEXAD,,-.ZGDE+ZADG=90°,.-.zbde=zadg,.-ZBAC=90°,ZABC=30°,ZC=60°,1.-MN//AC,ZEBD=1800-ZC=120°,•.-ZABC=30°,DG1BC,.-.ZBGD=60°,：.ZAGD=120°,

：/EBD=/AGD,/.△BDE^AGDA,AD=DGDE-BD在RtABDG中，=tan300DG=tan300BDDE=.；3AD;(3)AD=DE・tana；理由：如图2,/8口日+/6口日=90°,\-DE±AD,••/GDE+/ADG=90°,.•./BDE=/ADG,.../EBD=90°+a,/AGD=90°+a,・./EBD=/AGD,/.△EBDsAAGD,.・维=工DirED'在RtABDG中，/.AD=DE/.AD=DE・tana.="则备=匕吟解：(1)...四边形EGFH为正方形，•.BC//EF,「.△AEFs^ABC;(2)设正方形零件的边长为xmm,则KD=EF=x,AK=80-x,•・EF//BC,「.△AEFs^ABC,\-AD±BC,.•里一里DC-AiJ，一吐L120SO，解得*=48.答：正方形零件的边长为48mm.(3)设EF=x,EG=y,.•△AEFs^ABC.•里一里DC-AiJ，...二__=血120SO.1.y=80--1-x「•矩形面积S=xy=—&x2+80x=-上(x-60)2+2400(0<x<120)3 3故当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2.(1)证明：••.力切。。于点乂，.\ZGMN=90°;・・・/OMD+/CMN=/OMN=90°,.\ZGMD+ZCMN=90°,ZCMN+ZCNM=90°;.\ZOMD=ZMNC;又,//D=/C=90°;.♦.△ODMs^MCN;(2)解：在Rt^ODM中，DM=x，设OA=OM=R;

.\OD=AD-OA=8-R,由勾股定理得：(8—R)2+x2=R2,/.64—I6R+R2+X2=R2,；；%<£<步；(3)解法―：••.CM=CD-DM=8-x,161616且有△ODMs^MCN,,代入得到⑵h翳；同理迎二里OD0M2•••代人得到的仁鼠:妹;•■•ACMN•■•ACMN的周长为P=C叶CN+MN二(S-X)423jN，§±=(8-x)+(x+8)=16.k+日在点。的运动过程中，^CMN的周长P始终为16,是一个定值.解法二：在RtZXODM中，州二日一翟二2kF64 二 )16设△ODM的周长P'=℃+DM+0m二、终士16C况而△乂622\。13乂，且相似比上：.(@-篁卜△的网的周长P 161616二1664/一浒工；.△0DM的周长P'=7'・•.△MCN的周长为P=：&+日)，壬；16.在点。的运动过程中，4CMN的周长P始终为16,是一个定值.(1)证明：ZC=90°,ZBAP=90°.-.ZCBOZBOC=90°,ZABP+ZAPB=90°,又•••/CBO=/ABP,/BOC=ZAPB,ZBOC=ZAOP,zaop=zapb,AP=AO;(2)证明：如图，过点。作OD，AB于D,•1-ZCBO=/ABP,.'.CO=DO,-1ae=oc,/.AE=OD,ZAOE^ZOAD=90°,ZPAE+ZOAD=90°,.-.ZAOD=ZPAE,在^AOD和△PAE中，rAE=OD*ZA0D=ZPAE,lAP=A0.-.△AOD^APAE(SAS),ZAEP=ZADO=90°.-.PE±AO;(3)解：设AE=OC=3k,,AE=-3-AC,.-.AC=8k,s.'.OE=AC-AE-OC=2k,.-.OA=OE+AE=5k.由(1)可知，AP=AO=5k.如图，过点。作OD^AB于点D,1/CBO=ZABP,/.OD=OC=3k.在RtZ\A°D中，AD=，ja02TjD?= 匚狙.\BD=AB-AD=10-4k.•・OD//AP,：毁二吗即生二叱母,皿'弘10解得k=1,.・AB=10,PE=AD,•.PE=AD=4K,BD=AB-AD=10-4k=6,OD=3在Rt^BDO中，由勾股定理得：BO=1.BD2t0D:-='.-162-r3^=3-^-10.(1)证明：.•.DQ=CE・CA,:胆=曳、CRDC，•.•/DCE=/ACD,/.△CDEmACAD,「./CDB=/DAC,••四边形人86口内接于。O,•.BC=CD;(2)解：方法一：如图，连接OC,F•・BC=CD,「./DAC=/CAB,又••.AO=CO,：/CAB=/ACO,「./DAC=/ACO,•.AD//OC,..匹=世FDFA，.PB=OB,CD=：；...2，.―二-PC+2再3•PC=4；o又•「PGPD=PBmA•・4vW・（4：W+2/W）=OB^OB•,OB=4,即AB=2OB=8,PA=3OB=12,在RtAACB中，AC=；1^2-BC^=:谈TZ切2=21宜，•.AB是直径，•./ADB=/ACB=90°••/FDA+/BDC=90°ZCBA+ZCAB=90°・・/BDC=/CAB,：/FDA=/CBA,又•・•/AFD=/ACB=90°,•.△AFDs^ACB•里上上亘…F'D-CB"2.2"''在RtZXAFP中，设FD=x,则AF=『j・•・在RtZXAPF中有，1取求得DF=J；2.方法二；连接06,过点0作OG垂直于CD,易证△PCOs/\PDA,可得F；=FR,PDPAAPGC^APFA,可彳4_BL=±Z；PFPA可得，导号，由方法一中PC=4KVX百詈品，即可得出DF=:211.解：（1）根据题意得，运动■「△DEF是等腰三角形，/ACB=90°,EF=8cm,.\EC=4cm,「•运动一所用时间为：4+1=4（秒），运动二：二•当QC^DF时暂停旋转，••・CD=CF,：DQ=QF=2巧cm「•运动二所用时间为：2.巧+•用=2（秒）,运动三：•CF=4cm,••・运动三所用的时间为：4+1=4（秒）,・•.整个过程共耗时4+2+4=10（秒）；故答案为：10；（2）运动一：如图2,设EC为tcm,则CQ为tcm,.,.S=lxtxt,AECQ2「.S与t之间的函数关系式为：y=-^-t2(0<t<4),运动二：如图3,连接CD,在^ECP和^DCQ中，Ve=Zcdq.EC=DCiZECP=ZECQ.-.△ECP^ADCQ(ASA),：S与t之间的函数关系式为：y=8(4<t<6),运动三.：如图4,四边形QDPC为矩形,CF=4-(t-6)=10-1,EC=8-CF=t-2,.-.S =亚(t—2)X四(10—t),矩形QDPC2 2=t2+6t-10;2s与t之间的函数关系式为：y=」_t2+6t-10(6<t<10);2(3)存在点Q,理由如下：如图5,运动一：・•点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ,,-.AQ=QB,•.AC_CQ='bc2+cq2,又,「AC=16cm,BC=12cm,解得，CQ=3.5cm,.ZDEF=45°,EC=3.5cm,此时，t为：3.5+l=3.5秒.如图6，运动二：同理：CQ=3.5,过点C作CM^DF交DF于点M,CM=20,在RtZXQCM中，QM=心2"=孝,：DQ=2〃—孝，•」=（2..巧—手）+/W+4=6-等；运动三时，CQ最大为21？＜3.5,所以无解．综上，t=3.5或6-工蚂时，点Q正好在线段AB的中垂线上.412.解：(1)AE=3cm,EF=5cm;

设AE=x,则EF=8—x,AF=4,ZA=90°,42+x2=(8-x)2,x=3,AE=3cm,EF=5cm;(2)如答图1,•••/MFE=90°,,-.ZDFM+ZAFE=90°,又.••/A=/D=90°,zafe=zdmf,AAEFc^ADFM,.EF二皿二研一前声一丽，又•.AE=3,AF=DF=4,EF=5FM二△FMD△FMD的周长=4+啰■+”3 .」=16;(3)①乙的结果不会发生变化理由：如答图2,设AF=x,EF=8-AE,x2+AE2=(8-AE)2,.•,AE=4-—y2,16工同上述方法可得△AEFs^DFM,C^aef=x+8,FD=8-x,②丙同学的结论还成立.,但I/O)②丙同学的结论还成立.,但I/O)- i o~=1616证明：如答图2,&/F关于GE对称，「.BF^EG于P,过G作GK1AB于K,/FBE=/KGE,在正方形ABCD中，GK=BC=AB,/A=ZEKG=90°,.-.△AFB^AKEG,・•.BF=EG.由上述可知AE=4-，■晨/.△AFB白△KEG,,-.AF=EK=x,AK=AE+EK=AF+AE=4^^v2+x,16S=怔乎x8=0.5X8(AE+AK)=4X(4-叁工2-21+x)=-3J7算十3216 16 2S=j二十q①(0<x<8)当x=4,即F与AD的中点重合时S最大，S最大=40.13.(1)证明：・•.BD^BE,・••/1+/2=180°—90°=90°,•・•/C=90°,・••/2+/E=180°—90°=90°,：/1=/E,•.・在^ABD和^CEB中，rZl=ZEZA=Z,C=-90°,,AD=BC「.△ABD白^CEB(AAS),・•.AB=CE,.\AC=AB+BC=AD+CE;(2)⑴如图，过点Q作QF^BC于F,则△BFQs^BCE,..里=里BCCE，

\-DP±PQ,••/APD+/FPQ=180°—90°=90°,\'ZAPD+ZADP=180°-90°=90°,：/ADP=/FPQ,又•//A=/PFQ=90°,.•.△ADPs^FPQ,工彩评，即二^.二彩5-AP+BFQF5Ap—AP2+AP・BF=3«-|-BF,整理得，(AP-BF)(AP-5)=0,"^、P与A,8两点不重合，」.APw5,•.AP=BF,由△由△ADPsZ\FPQ得,DP=APDP=3_PQ~~5(ii)线段DQ的中点所经过的路径(线段)就是△BDQ的中位线触.由⑵⑴可知，qf=-1ap.当点P运动至AC中点时，AP=4,.•.QF=W<.-.BF=QF^；-=4.

••・••・线段DQ的中点所经过的路径(线段)长为.•./AQP=90°=/ABC,在^APQ与^ABC中，・•/AQP=90°=/ABC,/A=/A,/.△AQPmAABC.(2)解：在Rt^ABC中，AB=3,BC=4,由勾股定理得：AC=5.・・/QPB为钝角，••当4PQB为等腰三角形时，(I)当点P在线段AB上时，如题图1所示.・・/QPB为钝角，••当4PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ,由(1)可知，△AQPs^ABC,..爱唱,即喑呼AP=AB-PB=3-g-=-j(II)当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示.・・/QBP为钝角，••当4PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ..・BP=BQ,:/BQP=/P,・・/BQP+/AQ；B=90°,/A+/P=90°,：/AQB=/A,•.BQ=AB,・•.AB=BP,点B为线段AP中点，/.AP=2AB=2X3=6.综上所述，当为等腰三角形时，AP的长为二或6.3(1)证明：如图1,在4ABC中，・・•/CAB=90°,人口，86于点口，•./CAD=/B=90°-/ACB.:AC:AB=1：2,•.AB=2AC,丁点日为AB的中点，•.AB=2BE,•.AC=BE.在^ACD与^BEF中，rZCAD=ZBvZADC=ZBFE=90°,,AC=BE/.△ACD^ABEF,•.CD=EF,即EF=CD;(2)解：如图2,作EH^AD于H,EQ^BC于Q,/EH1AD,EQ1BC,AD±BC,;四边形EQDH是矩形，•./QEH=90°,./FEQ=ZGEH=90°-ZQEG,

又.../EQF=/EHG=90°.•.△EFQs^EGH,•.EF：EG=EQ：EH.••.AC:AB=1：.;,3，ZCAB=90°,../B=30°.在^BEQ中，•.•/BQE=90°・•・H,,-.eq=1-be.，/AEH=/B=30°,在，/AEH=/B=30°,AE2,-.eh=l1ae.•・・点日为AB的中点,,-.EF：EG=EQ：EH=XbE：.•.BE=AE,16.解：(1)V/C=90°,PD±BC,•.DP//AC,•.△DBPs^ABC,四边形PDEC为矩形，•.里二里CE=PD.CBCAXPB3。火土二6工./.CE=6x;(2)：/CEF=/ABC,/C为公共角「.△CEFs^CBA,••CF_CE「GFCAKC匕二以乂取当点F与点B重合时，CF=CB,9x=20.解得.(3)当点F与点P重合时，BP+CF=CB,4x+9x=20,解得3：二千丁当时，如图①，(FHDE)身(20-13肝2。-以)=-51x2+120x.当患&*《亨时，如图②，y=jDEXDS=^-(20-4x)--1(20-4x)=~(20-4x)2.2160x——

17.解：（1）.「△AOB是等边三角形，OB=OA=AB=4,ZBOA=ZOAB=ZABO=60°•,PD±OB,.-.ZPDO=90°,ZOPD=30°,,-.OD=ioP.2•.OP=t,.-.OD=-^-t,在RtZXOPD中，由勾股定理，得pd=K十2I故答案为：区十2（2）如图（1）过C作CE^OA于E,.-.ZPEC=90°,•,OD=it,2BD=4~--t.2线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,.-.ZBPC=60°.•.ZOPD=30°,.-.ZBPD+ZCPE=90°.,-.ZDBP=ZCPE.-.△PCE^ABPD.CE__PCPE_P£■-pF=PB，BD-PB（3）如图（3）当/PCA=90度时，作CF，PA,APCFc^AACF,,PF__CF_一斤下，,•_CF2=PF-AF,•,PF=2-it,AF=4-OF=2-亘tCF=22t,4 4 4」.（乎t）2=（2-jt）（2-1t）,求得t=2,这时P是OA的中点.如图（2）当/CAP=90°时，C的横坐标就是4,3「.2+3=443（4）设C（x,y）,,,y-v丁：C点的运动痕迹是一条线段(0<t<4).当t=0时，C(2,0),1当t=4时，(5,正)，「•由两点间的距离公式得：CC=?43-故答案为：2^3，)BEJU••・DE=DF,当D在AC上时，18 .解：(- 1备用图B CFBE4一.-.EC=CF=-1-EF=5,/.t=5.(2)存在.••・AP=t,/EDF=90°ZDEF=45°•./CQE=45°=/DEF,：CQ=CE=t,AQ=8—t,当0WtV5时，①AP=AQ,t=8—t,/.t=4;②AP=PQ,作PHXAC于H,AH=HQ=-1-AQ=4--=rt,•・PH//BC,「.△APHs^ABC,AP=ABIQIQ③AQ=PQ,作QI±AB于I,AI=PI=9AP=2-t（等腰三角形的性质三线合一）,・•/AIQ=/ACB=90°,/A=/A,「.△AIQs^ACB,A^=AC④当5WtW10时，AQ=PQ,作PH^BC,PG±AC,同理