第3章 正弦交流电路

电工基础第3章正弦交流电路正弦信号的基本概念3.1正弦信号的相量表示3.2相量法分析3.5相量模型3.4基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式3.3正弦交流电路中的谐振3.6正弦交流电路的功率及功率因数的提高3.73.1正弦信号的基本概念3.1.1正弦信号的三要素在直流电路中，电路的基本特点是电流、电压的大小和方向不随时间变化。但是在许多情况下，电路中的电压、电流的大小和方向都会随时间变化，图3-1画出几种u、i波形图。图3-1几种u，i波形图图（a）的波形大小随时间无规则变化；图（b）波形在大小和方向上都随时间无规则变化；图（c）、（d）波形大小和方向都随时间进行周期性的变化。信号的波形大小和方向都随时间作周期性变化，我们称之为交流信号。若交流信号按正弦规律变化则称为正弦交流信号，如图3-1（d）所示的信号称为正弦交流信号。正弦交流信号可用时间的sin函数表示，也可用cos函数表示，本书采用sin函数来表示。图3-2（a）所示的信号用正弦函数可描述为（3-1）

其中，Um称为幅值，表示正弦量所能达到的最大值，Um又称为峰值或振幅。在作波形图时，横坐标可定为t或时间t，两者差别仅在比例常数。图3-2（a）中将两种横坐标都列出，予以比较。图3-2正弦交流信号称为角频率，定义为正弦量在单位时间内变化的弧度数，单位为弧度每秒（rad/s）。当时间由t

=

0变化到T时，相角度相当于变化了2个弧度，故得2

=

T

即（3-2）

T表示正弦量变化一周所需的时间，称为周期，单位为秒。周期T的倒数称为频率，即（3-3）

f表示正弦量在单位时间内重复变化的次数。单位为赫兹（Hz）。一般情况下坐标起点不一定恰好选在正弦信号由负到正的过零处。如图3-2（b）中有一相角，此时u(t)

=

Umsin(t−)，也就是说当t

=

时，电压等于零。

称为初相角。

由此可见，一个正弦信号应该由3个参数确定：最大值、频率（角频率）和初相角。这3个参数称为正弦信号的三要素。3.1.2正弦信号的相位差

两个同频率正弦信号在任一时刻的相位之差称为相位差。假设同频率的正弦电流和电压为则其相位差图3-3正弦信号的相位差3.1.3正弦信号的有效值周期信号有效值的定义是：设两个阻值相同的电阻，分别通过周期电流和直流电流，在一个周期内，如果两个电阻消耗相同的能量，就称该直流电流值为周期电流的有效值。当周期电流i通过电阻R时，一个周期内消耗的电能为式中T为周期信号的周期。当直流电流I通过电阻R时，在相同的时间T内，电阻消耗的电能为WI

=

RI2T令Wi

=

WI，则有即，周期电流i的有效值为（3-4）例3-1已知正弦电压源的频率为50Hz，初相角为弧度，由交流电压表测得电源开路电压为220V。求该电源电压的振幅、角频率，并写出瞬时值的表达式。解：因为f

=

50Hz，rad，所以

=

2f

=

2

×

50

=

314(rad/s)电源电压瞬时表达式为3.2正弦信号的相量表示

3.2.1复数及其运算在数学中，一个复数A可表示为代数型、指数型或极型，即（代数型）（指数型）（极型）式中，为复数单位；a1和a2分别为复数A的实部和虚部；a和分别是A的模和辐角。复数A也可以表示为复平面上的一个点或由原点指向该点的有向线段（矢量），如图3-4所示。图3-4复数A由图可知，复数代数型与指数型（或极型）之间的关系为

和（3-8）（3-9）3.2.2正弦信号的相量表示

由前所述可知，正弦信号由振幅、角频率和初相三个要素确定。由于在正弦稳态电路中，各处的电流和电压都是正弦信号，并且稳态时它们的角频率与正弦电源的角频率相同，因此，在进行正弦稳态电路分析时，主要关注的是正弦电流、电压的振幅和初相两个要素。为了简化分析，现在以电流为例，介绍正弦信号的相量表示。根据欧拉公式，可将复指数函数表示为注意，上式中的虚部即为正弦电流的表达式，于是有（3-12）式中，（3-13）式（3-13）中复数的模和辐角恰好分别对应正弦电流的振幅和初相。在此基础上再考虑已知的角频率，就能完全表示一个正弦电流。像这样能用来表示正弦信号的特定复像称为相量，并在符号上方标记圆点“·

”，以便与一般的复数相区别。称为电流相量，把它表示在复平面上，称为相量图，如图3-5所示。图3-5相量图式（3-12）中的，这是一个模值为1，辐角随时间均匀增加的复值函数。相量乘以，即，表示相量在复平面上绕原点以角速度按逆时针方向旋转，故称为旋转相量。它在复平面虚轴上的投影就是正弦电流，如图3-6所示。图3-6旋转相量图同样地，正弦电压可表示为其中，（3-14）称为电压相量。由于正弦信号的振幅是其有效值的倍，故有（3-15）式中（3-16）分别称为电流、电压的有效值相量，相应地，将和分别称为电流和电压的振幅相量。显然，振幅相量是有效值相量的倍。例3-2在一个电路中的一个节点A，在该节点的电流流向如图3-7（a）所示。已知，，试求电流i。图3-7例3-2示例图解：由已知条件可得根据基尔霍夫电流定律，有

i

=

i1

+

i2设正弦电流i的有效值为，则由线性和唯一性规则可得因此，正弦电流i的表达式为3.3基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式

3.3.1基本元件伏安特性的相量形式

1．电阻元件如图3-8（a）所示，设电阻R的端电压与电流采用关联参考方向。图3-8电阻元件的i-u关系当正弦电流通过电阻时，由欧姆定律可知电阻元件的端电压为（3-23）式中U和u是电压u的有效值和初相。上式表明，电阻元件的电流、电压是同频率的正弦量，两者的有效值满足U

=

RI，而初相是相同的。电流、电压波形如图3-8（b）所示。设正弦电流i和电压u对应的有效值相量分别为和，即，则根据上一节提到的线性规则和唯一性规则，式（3-23）的相量表达式为（3-24）式（3-24）表明了电阻R的电流、电压的相量关系，称为电阻元件伏安特性的相量形式。将式（3-24）中的相量表示成指数型，可得按照复数相等定义，上式等号两边复数的模和辐角分别相等，即（3-25）显然，上述结果与式（3-23）表明的结论是完全一致的。2．电感元件设电感L的端电压与电流采用关联参考方向，如图3-10（a）所示。图3-10电感元件i-u关系当正弦电流通过电感时，其端电压为（3-26）式中U和u分别为电感电压的有效值和初相。由式（3-26）可知电感电压和电流是同频率的正弦量，其波形如图3-10（b）所示。若设电感电流、电压与有效值相量的对应关系为则根据上一节的微分、线性和唯一性规则，可得式（3-26）的相量表达式为（3-27）该式称为电感元件的伏安特性的相量形式。它同时体现了电感电流、电压之间的有效值关系和相位关系。因为式（3-27）可以改写为根据两复数相等的定义，可得

U

=

LI

（3-28） u

=

i

+

90°（3-29）

3．电容元件设电容元件C，其电压、电流采用关联参考方向，如图3-12（a）所示。当电容端电压为，通过C的电流为（3-30）式中I和i分别是电容电流的有效值和初相。式（3-30）表明，电容电压、电流是同频率的正弦量，其波形如图3-12（b）所示。图3-12电容元件i-u关系如果电容电压、电流与相量之间的对应关系为由上一节中的微分、线性和唯一性规则，可得式（3-30）的相量表达式（3-31）或（3-32）式（3-31）和式（3-32）称为电容元件伏安特性的相量形式。若将式（3-32）中的电流、电压相量表示成指数型，即则由复数相等定义，可得（3-33）以及，（3-34）3.3.2基尔霍夫电流定律和电压

定律的相量形式

KCL指出，对于集总参数电路中的任意节点，在任一时刻，流出（或流入）该节点的所有电流的代数和恒为零。在正弦稳态电路中，各支路电流都是同频率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示为（3-35）式中n为汇于节点的支路数，ik为第k条支路的电流。设正弦电流ik对应的相量为，即根据上节的线性规则和唯一性规则，可得式（3-35）对应的相量关系表示为

或 （3-36）这就是KCL的相量形式。它表明，在正弦稳态电路中，对任一节点，各支路电量的代数和恒为零。同理，对于正弦稳态电路中的任一回路，KVL的相量形式为

或 （3-37）式（3-37）中n为回路中的支路数，和分别为回路中的第k条支路电压的振幅相量和有效值相量。式（3-37）表明，沿正弦稳态电路中任一回路绕行一周，所有支路电压相量的代数和恒为零。例3-3电路如图3-16（a）所示。已知R

=

5，L

=

5mH，C

=

100F，。求电压源电压us(t)，并画出各元件电流、电压的相量图。图3-16例3-3图解：电压uab的有效值相量为分别计算得根据RC元件VAR的相量形式，得由KCL得由电感元件VAR相量形式，求得根据KVL，可得电压源电压所以，各元件电流、电压相量图如图3-16（b）、（c）所示。3.4相量模型

3.4.1阻抗与导纳由上节讨论可知，在电流、电压采用关联参考方向的条件下，3种基本元件VAR的相量形式为 （3-38）如用振幅相量表示，则为

（3-39）下面讨论正弦稳态时一般无源二端电路VAR的相量表示。设无源二端电路如图3-17（a）所示，在正弦稳态情况下，端口电流和电压采用关联参考方向。定义无源二端电路端口电压相量与电流相量的之比为该电路的阻抗，记为Z，即

（3-40）图3-17阻抗与导纳显然，阻抗的量纲为欧姆（）。将式（3-40）中的相量表示成指数型，可得

（3-41）式中R和X分别称为阻抗的电阻和电抗；和分别称为阻抗的模和阻抗角。（3-42）式（3-42）表明，无源二端电路阻抗的模等于端口电压与端口电流的有效值之比，阻抗角等于电压与电流的相位差。若，表示电压超前电流，电路呈感性；，电压滞后电流，电路呈电容性；时，电抗为零，电压与电流同相，电路呈电阻性。将式（3-40）改写为 或 （3-43）式（3-43）与电阻电路中的欧姆定律相似，故称为欧姆定律的相量形式。根据式（3-43）画出的相量模型如图3-17（b）所示。比较式（3-38）与式（3-43）可得基本元件R、L和C的阻抗分别为

（3-44）它们是阻抗的特殊形式。其中

（3-45）上式中XL是电感的电抗，XC是电容的电抗，分别简称为感抗和容抗。它们随角频率变化的曲线如图3-18（a）、（b）所示，分别称为XL和XC的频率特性曲线。图3-18XL和XC的频率特性曲线把阻抗的倒数定义为导纳，记为Y，即（3-46）或（3-47）导纳的量纲为西门子（S）。同样将上式中的电流、电压相量表示成指数型，可得（3-48）式中G和B分别称为导纳的电导和电纳，和分别称为导纳的模和导纳角。由式（3-48）和式（3-42）可得、与G、B及、之间的关系为

（3-49）3.4.2正弦稳态电路相量模型什么是相量模型？前面章节的电路模型可以称为时域模型，它反映了电压与电流时间函数关系，也就是说，根据这模型可列出电路的微分方程。在正弦稳态情况下，如果把时域模型中的电源元件用相量模型代替，无源元件用阻抗或导纳代替，电流、电压均用相量表示（其参考方向与原电路相同），这样得到的电路模型称为相量模型。例如，对于图3-19（a）所示的正弦稳态电路（时域模型），设正弦电压源角频率为，其相量模型如图3-19（b）所示。容易看出，相量模型与时域模型具有相同的电路结构。图3-19时域模型与相量模型3.4.3阻抗和导纳的串、并联

下面给出阻抗和导纳串、并联的有关结论，其证明方法与电阻电路相似，这里不再重复。设阻抗，；导纳，。则当两个阻抗Z1和Z2串联时，其等效电阻

（3-53）分压公式为

， （3-54）式中为两个串联阻抗的总电压相量。当两个电导Y1和Y2并联时，其等效导纳

Y

=

Y1

+

Y2

=

(G1

+

G2)

+

j(B1

+

B2) （3-55）分流公式为

， （3-56）式中为通过并联导纳的总电流相量。当两个阻抗Z1、Z2相并联时，它的等效阻抗

（3-57）其分流公式为

， （3-58）对于同一无源电路，如图3-20（a）所示，我们既可以把它等效成由电阻R和电抗X串联组成的阻抗Z，如图3-20（b）所示，也可以将它等效成电导G和电纳B并联组成的导纳Y，如图3-20（c）所示。图3-20等效电路图显然，阻抗Z与导纳Y也是互为等效的，R、X与G、B之间满足一定的转换关系。若将阻抗等效转换为导纳，由式（3-46）可得式中

（3-59）例3-4RC串联电路如图3-21（a）所示，已知R

=

20，C

=

2F，电源角频率

=

104rad/s。要求将它等效成R'C'并联电路，如图3-21（b）所示，求R'和C'。图3-21例3-4示例图解：先计算图（a）电路的阻抗所以该电路的导纳即于是3.5相量法分析

例3-6电路的相量模型如图3-24所示，用节点法求各节点的电压相量。图3-24例3-6电路图解：电路中含有一个独立电压源支路，可选择连接该支路的节点4为参考点，这时节点1的电位是一个已知量，从而用节点法分析时可少列一个方程。设节点2、3的电位、，列出相应的节点方程为节点2的方程为节点3的方程为将代入节点2方程，并整理得计算方程组的系数行列式故解得例3-7电路如图3-25（a）所示，已知，用网孔法求电流i1、i2和电压uab。图3-25例3-7电路图解：画出电路相量模型如图3-25（b）所示，图中设网孔电流、如图3-25（b）所示。将电路中受控源看成大小为的独立电源，列出网孔方程网孔1：网孔2：由于受控源控制变量未知，故需要增加一个辅助方程

将该式代入上式中整理后可得如下方程组由于所以上面方程组的解为电感支路电流电感支路电压因此3.6正弦交流电路中的谐振

3.6.1RLC串联谐振的条件与谐振频率如图3-27所示RLC串联电路中，当或时，Z

=

R

+

jXL

+

(−jXC)

=

R，电路呈纯电阻性，此时，电流i与电压u同相，我们称电路发生了串联谐振。图3-27串联谐振电路由此可知，串联谐振的条件是故发生串联谐振时，有，所以

或 （3-61）便是发生串联谐振时的谐振频率。

RLC串联电路发生谐振时，具有下列特征。（1）电路电压与电流同相，电路呈电阻性，如图3-27（b）所示。（2）电路的阻抗模最小，电流达到最大值。因，故|Z|、I随变变化的曲线如图3-28和图3-29所示。当时，最小，最大。图3-28|Z|随f变化的曲线图3-29I随f变化的曲线3.6.2电感与电容并联谐振把一个电感线圈和一个电容器并联起来组成一个电路，当该电路的复阻抗为纯电阻性时，我们称该电路发生了并联谐振。这是一种常见的、应用非常广泛的谐振电路，如图3-30所示，R为线圈的等效电阻。图3-30电感线圈与电容并联谐振电路该电路的等效阻抗为

（3-63）通常要求线圈的电阻很小，所以一般在谐振时，，则上式可写成

（3-64）由此可得并联谐振频率，即将电源频率调到0时发生谐振，这时，或

（3-65）与串联谐振频率近似相等。并联谐振具有下列特征。（1）由式（3-64）可知，谐振时电路的阻抗模为

（3-66）此时模值最大，即比非谐振情况下的阻抗模要大，因此在电源电压一定的情况下，电路中的电流将在谐振时达到最小值，即

（3-67）例如一个并联电路（如图3-30所示）的参数，，，则谐振频率为谐振时电路的阻抗模为这表明该电路在频率为时发生谐振，谐振时对电源所呈现的阻抗模为2

000。（2）由于电源电压与电路中的电流同向（），因此，电路对电源呈现电阻性。谐振时电路的阻抗模相当于一个电阻。（3）谐振时各并联支路的电流为而

（3-68）当时于是可得，即在谐振时并联支路的电流近似相等，而远远大于总电流。因此，并联谐振也称电流谐振。

IC或IL与总电流I0的比值为电路的品质因数

（3-69）3.7正弦交流电路的功率及功率

因数的提高

3.7.1正弦交流电路的功率在RLC电路中，知道了电压u和电流i的变化规律与相互关系后，便可找出瞬时功率来。即

= （3-70）由于电阻元件上要消耗电能，故电路相应的平均功率为

（3-71）由于RLC电路中只有电阻元件R上要消耗能量，于是

（3-72）而电感元件与电容元件要储放能量，即它们与电源之间要进行能量互换，相应的无功功率可根据电感元件电路与电容元件电路中无功功率得出

（3-73）