第6单元数字逻辑门电路

第6单元数字逻辑门电路第一部分任务导入•数字电子电路中的后起之秀是数字逻辑电路。•将其称为数字电路是由于电路中处理的虽然也是脉冲，但这些脉冲是用来表示二进制数码的，例如用“1”表示高电平，用“0”表示低电平。•声音、图像、文字等信息经过数字化处理后变成了一串串电脉冲，它们就被称为数字信号。•能处理数字信号的电路就被称为数字逻辑电路，简称数字电路。•数字电子技术中，用来实现逻辑运算功能的电子电路，称为逻辑门电路，简称门电路。•门电路是数字电路的基本逻辑单元电路。•门电路的用途十分广泛，既可以按照一定的方式组合起来，完成较为复杂的逻辑运算和逻辑功能，又可以有其他多种用途。•图6-1所示是一种由数字电路构成的具有声光显示的10键自锁互斥电子开关电路。图6-1具有声光显示的10键自锁互斥电子开关电路•该电路可以取代各种电气设备的机械琴键开关。•图6-2所示是一种由逻辑门电路构成的超小型AM（调幅）收音电路。•由于该电路可以接收5

351

605kHz的中波调幅广播节目，故适用于制成玩具收音机等。图6-2逻辑门电路构成的超小型AM（调幅）收音电路第二部分相关知识数字逻辑电路的基本知识6.1计数体制6.2码制6.3逻辑代数基础6.4逻辑函数的化简6.5编码器和译码器电路6.66.1数字逻辑电路的基本知识

6.1.1逻辑电路的图形和逻辑功能1．逻辑电路的图形•在数字逻辑电路中，使用的都是一些独特的图形符号。•数字逻辑电路中有门电路和触发器两种基本单元电路，它们都是以晶体管和电阻等元件组成的，但在逻辑电路中通常只用几个简化了的图形符号去表示它们，而不画出它们的具体电路，也不管它们使用多高电压，是TTL电路还是CMOS电路等。•按逻辑功能要求将这些图形符号组合起来画成的图就是逻辑电路图，它完全不同于一般的放大、振荡电路图或脉冲电路图。2．逻辑电路的逻辑功能•在数字电路中，相关的信息是包含在“0”（或称为低电平L）和“1”（或称为高电平H）的数字组合内，故只要电路能明显地区分开“0”和“1”，“0”和“1”的组合关系没有破坏就行，脉冲波形的好坏在多数情况下可以不去理会。•所以，数字逻辑电路的第二个特点是我们主要关心它能完成什么样的逻辑功能，较少考虑它的电气参数性能等问题。•也因为这个原理，数字逻辑电路中使用了一些特殊的表达方法如真值表、特征方程等，还使用了一些特殊的分析工具如逻辑代数、卡诺图等，这些也都与放大、振荡电路有很大的不同。6.1.2逻辑门电路类型1．分立元件门电路•图6-3列出了分立元件组成的3种常见门电路的电路形式和相关元器件的工作情况。图6-33种分立元件组成的常用门电路形式及工作情况2．集成门电路•常见集成门电路主要分为双极型（如DTL、TTL、ECL、IIL、HTL）和单极型（如NMOS、PMOS、CMOS）电路。•应用较多的是双极型TTL和单极型的CMOS门电路。6.1.3逻辑状态的表示方法

•在日常生活和实践中，常常遇到相互对立的两种状态，如电位的高与低、开关的通与断、晶体管的导通与截止、灯的亮与灭等，见表6-1。•对包括这些相互对立状态的事件，用数字逻辑符号表示时，一种状态用“1”表示，另一种状态用“0”表示。•但这里的1和0并不是表示数量的大小，而是作为一种符号表示两种对立的逻辑状态，即1表示存在，而0表示不存在。•把它们称为逻辑1和逻辑0，以区别于数字符号的1和0。•按照逻辑关系组成的电路称为逻辑电路。•逻辑电路只有2种状态，通常将1称为逻辑1，将0称为逻辑0，即所谓二值逻辑。•逻辑电路中用逻辑1表示高电位，逻辑0表示低电位。•二值逻辑的基本逻辑关系只有逻辑乘、逻辑加及逻辑非。•与其相对应，完成这3种功能的电路有与门电路、或门电路及非门电路。6.1.4与门电路1．与门电路真值表•为了理解与逻辑关系，以如图6-4（a）所示为例，开关A、B是串联关系，只有这两只开关全部被接通时，灯才会亮，否则灯不亮。图6-4与逻辑运算引入电路及

与逻辑图形符号•如果以A

=

1、B

=

1表示开关闭合，A

=

0、B

=

0表示开关断开，F

=

1表示灯亮，F

=

0表示灯灭，则可以得出输入变量A、B各种取值的组合和输出变量F的对应关系，见表6-2。•这样的表称为真值表。2．逻辑与表达式•如果将表6-2的输入和输出关系用下列逻辑表达式来表示，即可得

F

=

A·B （6-1-1）式中，“·”表示与，也可以将其省略而成

F

=

AB3．逻辑与运算图形符号•表示逻辑运算的图形符号，称为逻辑运算图形符号，简称逻辑符号。•与逻辑图形符号如图6-4（b）所示。4．多输入变量逻辑与表达式•式（6-1-1）可以推广到多输入变量的一般形式，即

F

=

A·B·C·D…

=

ABCD…5．逻辑与特性总结•图6-4及表6-2的F与AB之间的与关系可表示为与运算的运算规则则可归纳为：有0出0，全1为1。6．由二极管组成的与门电路•实现与门的电路有多种，图6-3中列出了由二极管组成的与门电路，同时也给出了4种不同输入时的输出情况。•由结论可以看出，该电路可以正常地完成逻辑与的电路功能。6.1.5或门电路1．或运算真值表•为了理解或逻辑关系，以如图6-5（a）所示为例，开关A、B为并联关系，只要将两个开关A与B中的任1个闭合，或2个同时合上，灯泡均会亮。图6-5或逻辑运算引入电路及或逻辑图形符号•这种因果关系就是逻辑或的关系。•对开关及灯泡的假定条件同与运算一样，或逻辑关系的真值表见表6-3。2．逻辑或表达式•或逻辑用语言可表达为：只要A或B闭合的条件满足，灯F亮的目的就可以实现。•其逻辑表达式为

F

=

A

+

B （6-1-2）式中，“

+

”表示或，不是普通代数中的加号。3．逻辑或运算图形符号•逻辑或也被称为逻辑加。•或逻辑图形符号如图6-5（b）所示。4．多输入变量或逻辑表达式•式（6-1-2）可以推广到多输入变量的或逻辑运算的一般形式，即

F

=

A

+

B

+

C

+

D

+

…5．逻辑或特性总结•图6-5及表6-3的F与A、B之间的或关系可表示为或运算的运算规则可以归纳为：全0出0，有1为1。6．由二极管组成的或门电路•实现或门的电路很多，既可以是分立器件，也可以是集成电路，图6-3中列出了由二极管组成的或门电路，同时也给出了4种不同输入时的输出情况及器件工作情况。•由结论可以看出，该电路可以正常地完成逻辑或的电路功能。6.1.6非门电路•非就是相反或者否定的意思，非逻辑关系的特点是只限于一个条件。1．非运算真值表•为了理解非逻辑关系，以如图6-6（a）所示为例，开关A与灯泡F并联，当开关接通时（“1”状态），灯不亮（“0”状态）；当开关A断开（“0”状态）时，灯亮（“1”状态）。•这种因果关系就是非的关系。图6-6非逻辑运算引入电路及非逻辑图形符号•非逻辑关系真值表见表2-4。2．逻辑非表达式•非逻辑用语言可表达为：灯F状态和开关A的状态之间具有“非”的逻辑关系。•其逻辑表达式为

F

=

（6-1-3）式中，A上的“—”表示非。3．逻辑非运算符号•逻辑非也称为逻辑反，非运算也称为求反运算。•非逻辑图形符号如图6-6（b）所示。4．非门特性总结•图6-6（a）及表6-4的F与A之间的非关系可表示为

非运算的运算规则可以归纳为：有0出1，是1为0。5．晶体管非门电路•图6-3中所列的非门是一个由三极管组成的非门电路。•这个电路只有一个输入端A和一个输出端F。•当输入端A为低电平时，VT基极电位因为负值而截止，F为高电平UCC；当输入端为高电平时，VT导通，输出F接近于0V（一般硅晶体管饱和时的饱和压降约为0.3V）。•说明该电路能实现非的逻辑功能。6.1.7复合逻辑门电路•复合逻辑是指由与、或、非三种基本逻辑关系组合而成的逻辑关系。•完成这种逻辑关系的电路称为逻辑门电路。•常见的复合逻辑门电路主要有与非门、或非门、与或非门、异或门及同或门等。1．与非门电路•与非逻辑门是由与、非两种基本逻辑关系按“先与后非”的顺序复合而成的。•其逻辑运算符号如图6-7（a）所示。•这是一个两输入与非逻辑。•其逻辑表达式为图6-7与非、或非、与或非的逻辑图形符号•由此可知，与非逻辑的运算规则为：有一个输入为0时，输出为1；只有输入全为1时，输出才为0。2．或非门电路•或非逻辑门是由或、非两种基本逻辑关系按“先或后非”的顺序复合而成的。•其逻辑运算符号如图6-7（b）所示。•这是一个两输入或非逻辑。•其逻辑表达式为•由此可知，或非逻辑的运算规则为：有一个输入为1时，输出0；只有输入全为0时，输出才为1。3．与或非门电路•与或非门是由与、或、非3种基本逻辑关系按照“先与后或再非”的顺序复合而成的。•其逻辑运算符号如图6-7（c）所示。•这是一个四输入与或非逻辑。•其逻辑表达式为•由此可知，与或非逻辑的运算规则为：当A与B或C与D任一组中输入全为高电平时，输出为低电平；当A与B或C与D两组输入都不全是高电平时，输出为高电平。4．异或门电路•异或逻辑门运算符号如图6-8（a）所示。•这是一个二输入异或逻辑。•其逻辑表达式为图6-8异或和同或的逻辑图形符号•式中，符号“”读为异或，是异或运算的逻辑运算符号。•由此可知，异或逻辑的运算规则为：当两个输入信号相同时，输出为0；两个输入信号不同时，输出为1。5．同或门电路•同或门电路运算符号如图6-8（b）所示。•这是一个二输入同或逻辑。•其逻辑表达式为•式中，符号“e”读为同或，是同或运算的逻辑运算符号。•由此可知，同或逻辑的运算规则为：当两个输入相同时，输出为1；两个输入不同时，输出为0。6.2计数体制

6.2.1十进制数1．十进制数的数码•十进制数制，简称十进制数，采用10个数字符号，即0，1，2，3，…，9。•这些数字符号称为数码（或数字）。•任何一个十进制数均由这10个数码来表示。2．十进制数的计数原则•十进制数的计数原则是：逢10进1，借1当10。•例如，十进制数3743.3由5位数字组成，小数点左边有4位，右边有1位。•这个数实际上是由以下多项式缩写而成的，即3743.3

=

3

×

103

+

7

×

102

+

4

×

101

+

3

×

100

+

3

×

10−1•依此类推，任何一个n位整数、m位小数的十进制（N）10均可记为

(N)10

=

(an−1·an−2…a1a0a−1…a−m)10•其值为•式中，ai为十进制数中第i位的值，它可以是0～9中的任何一个；10i为第i位的权（也称为位权），10为进位的基数，也就是基本计数符号的个数；n,m均为正整数，分别是整数部分和小数部分的位数；（N）10的下标10表示十进制，也可以用D表示。6.2.2二进制数1．二进制数的数码•在二进制计数中，每个数字只能有2个不同的取值，即“0”和“1”。•任何一个二进制数均由这2个数码来表示。2．二进制数的计数原则•二进制数的计数原则是：逢2进1，借1当2。•一个二进制数也可以用类似十进制数按权展开的方法展开。•例如，(1110.11)2可以写成

•依此类推，任何一个n位整数、m位小数的二进制(N)2均可记为•式中，bi为二进制数中第i位的值，可以是0或1；2i为第i位的权（也称为位权），2为进位的基数；n,m均为正整数，n代表整数位数，m代表小数位数；(N)2的下标2表示二进制数，也可以用B表示。3．二进制数运算规则•在二进制数中仅有0、1两个数码，相应的运算规则也比较简单。•表6-5列出了二进制数的运算规则。6.2.3常用进位计数制之间的对应关系•二进制数、八进制数、十六进制数及十进制数是现代数字系统中常用的4种数制。•这几种进位计数制之间的对应关系见表6-6。6.2.4二进制数转换为十进制数•二进制数转换为十进制数的方法，是利用式（6-2-2）将二进制数按权展开，然后将所有各项的数值按十进制数相加即得。•例如：把二进制数(101101.01)B转换成十进制数(N)D。•解：按权展开后计算得6.2.5十进制数转换为二进制数1．整数部分的转换•整数部分的转换采用除以2取余法，也就是将进制整数逐次除以2，并依次记下余数，一直除到商为零时结束，然后把全部余数逆序排列起来，就得到等值的二进制数。•例如：将(47)D转换成等值的二进制数。•由此可得（47）D

=

（101111）B。2．小数部分的转换•小数部分的转换采用乘以2取整法，也就是将十进制数的小数逐次乘以2（每次只将小数部分乘以2）并依次记下整数，然后把全部整数按次序排列起来，即可得到等值的二进制数。•例如：将（0.39）D转换为等值的二进制数小数。•由此即得(0.39)D

=

(0.0110)B，误差≤2−3。•如果精度要求较高，如10位，则上述乘以2的过程一直继续下去，直到达到所需10位数为止。3．需要说明的问题•对于一个既有整数部分又有小数部分的十进制数转换成二进制数时，则要将其整数部分采用除以2取余法转换成二进制数的整数，将其小数部分采用乘以2取整法转换成二进制数的小数，然后将二进制数的整数部分和小数部分合并即可得到等值的二进制数。•二进制数转换为十进制数时，可以完整地进行转换；但十进制数转换为二进制数时，有时不能完全转换，只能达到一定的精度。•例如：将（47.39）D转换为等值的二进制数。•解：(47.39)D包含整数部分和小数部分，分别采用除以2取余法和乘以2取整数对整数和小数部分进行转换。•根据上面的转换结果，可以得到

6.3码制

6.3.18421码•8421码是最基本最常用的BCD码，是一种有权码或加权码。•其权值由高到低分别为8(23)，4(22)，2(21)，1(20)。•假设8421码为a3a2a1a0，则一位十进制数(N)D可表示为

(N)D

=

8a3

+

4a2

+

2a1

+

1a0•必须说明的是，在8421码中，不允许出现1010～1111这6种编码，因为在十进制数中没有单个的数字符号与它们对应。•任何一个十进制数要写成8421码，只要把该十进制数的各位数字分别转换成对应的8421码即可。•例如：将(25.75)D用8421码表示。•解：根据上述转换规律可得到6.3.22421码（埃肯码）•2421码是另一种形式的有权码，也是用4位二进制代码来表示1位十进制数的，各位的权值由高到低分别为2，4，2，1。•如果用a3,a2,a1,a0分别代表2421码的四位进制代码，则一位十进制数(N)D可表示为

(N)D

=

2a3

+

4a2

+

2a1

+

1a0•2421码与十进制数的对应关系见表6-7。•2421码是一种对9的自补代码，即2421码表示的数，只要自身按位取反，就能得到该数对9自补的2421码。•例如，3的2421码是0011，3对9自补是9−3

=

6，而6的2421码是1100，0011和1100之间是自身按位取反，故二者互为反补。•例如：用2421码对（4326）D进行编码。•解：根据2421码与十进制码之间的对应关系（见表6-7中2421（B）码）可以看出：•由此可得(4326)D

=

(0100001100101100)2421。•除了上述的8421码和2421码以外，有权码还有5211码、5421码、7421码、5311码等。•这些有权码与十进制数之间的对应关系见表6-7。6.3.3余3码•余3码也是用4位二进制代码来表示的1个十进制数字，比8421码多出0011，故称其为余3码。•余3码也是一种对9的自补代码，但各位没有固定的权值，故是一种无权码。•余3码与十进制数之间的对应关系见表6-7。•余3码不允许出现0000、0001、0010、1101、1110、1111这6种代码。6.3.4码制说明•以上介绍的二一十进制编码是用4位二进制代码组成的。•由于4位二进制编码有16个状态来表示十进制数，还多余6个状态需去掉，去掉哪6个，有多种方案，于是就形成了各种二—十进制编码（包含有权码和无权码）。•这些去掉的码称为伪码。•另外，为了减少数码在传输过程中可能发生的错误，还有格雷码，奇偶校验码、海明码等可靠性编码。6.4逻辑代数基础

6.4.13种基本逻辑关系1．逻辑乘（与运算）•若决定某一件事的所有条件都成立，这件事就发生，否则这件事就不发生，这样的逻辑关系被称为逻辑乘。•其表达式为

F

=

A·B•式中，“·

”符号为逻辑乘（又叫与运算），它不是普通代数中的乘号；F是A、B逻辑乘的结果，叫逻辑积，它也不是普通代数中的乘积；A与B表示这件事发生的2个条件，也就是2个输入变量，输入变量可以是多个，这里仅以2个变量为例，以下同。2．逻辑加（或运算）•若决定某一件事的条件中只要有1个或1个以上成立，这件事就发生，否则就不发生，这样的逻辑关系被称为逻辑加。•其表达式为

F

=

A

+

B式中，“

+

”符号为逻辑加（又叫或运算），它不是普通代数中的加号；F是A、B的逻辑和，不是代数和。3．逻辑非（非运算）•某件事的发生取决于某个条件的否定，即该条件成立，这件事不发生；条件不成立，这件事反而会发生，这样的逻辑关系被称为逻辑非。•其逻辑表达式为式中，A上面的横线表示逻辑非，读为A非。6.4.2复合逻辑•逻辑乘、逻辑加和逻辑非是3种最基本的逻辑关系，由这3种逻辑关系进行不同的组合就可得到与非、或非、与或非、异或、同或等其他各种复合逻辑关系。6.4.3逻辑代数基本定律•根据与、或、非3种基本逻辑运算关系，可推导出逻辑代数运算的一些基本定律，见表6-8。•表6-8中的反演律又称为摩根定律，是数字逻辑变换中经常要用的定律。6.4.4逻辑代数的常用公式•逻辑代数的常用公式见表6-9。6.4.5逻辑代数的3个基本法则1．代入法则•在任何一个含有逻辑变量（如变量A）的逻辑等式中，如果将所有出现某一变量（如变量A）的位置都代之以同一个逻辑函数式，则此等式仍然成立，这就是代入法则。2．反演法则

•已知一逻辑函数F，求其反逻辑函数的过程为反演，对于任一逻辑函数，在求其反函数时，只要将F中所有的原变量变为反变量，反变量变为原变量，“·

”变为“

+

”，“

+

”变为“·

”，“0”变为“1”，“1”变为“0”，就得到。3．对偶法则•对于任一逻辑函数F，如果将F中所有“·

”变为“

+

”，“

+

”变为“·

”，“1”变为“0”，“0”变为“1”，而变量保持不变，则得到的新逻辑函数F′就为F的对偶函数或对偶式。•也就是说，函数F和F′两者互为对偶。•若2个逻辑函数相等，则它们各自的对偶函数也相等。•这就是对偶法则。6.4.6逻辑函数标准表达式

•常见的逻辑函数表示形式有：•

与或式，如F

=

AB

+

AC。•

或与式，如F

=

(A

+

B)·(A

+

C)。•

与非—与非式，如F

=

。•

或非—或非式，如F

=

。•

与或非式，如F

=

。•对于具体问题，应根据具体题目的要求对函数进行不同表示形式之间的转换。1．标准与或表达式（1）概念•标准与或表达式也称为最小项之和表达式。•最小项是指逻辑函数中所有变量的一个与项，其中每一个逻辑变量以原变量或反变量的形式仅出现一次。•一个逻辑函数可以用最小项之和的形式表示，被称为函数的最小项之和表达式，也就是标准与—或表达式。•如F(A,B)

=是二变量的最小项之和表达式。•F(A，B，C，D)

=

是四变量最小项之和表达式。•由于一个变量有原变量和反变量2种形式，故n个变量共有2n个最小项。•但在实际的函数标准表达式中，可能包含所有的最小项，也可能只有部分最小项。•表6-10列出了三变量逻辑函数F（A、B、C）的全部最小项中的真值表。•为了便于介绍，这里用mi表示第i个最小项：在确定输入变量顺序后，将某一最小项中的原变量作为1，反变量作为0，这就形成了一个二进制数，此二进制数对应的十进制数即为i。

•表6-10中的最小项对应的变量取值为000，即十进制数为0，所以该最小项记为m0，依此类推。•在知道最小项编号的情况下，就可以很方便地写出其变量的表达式了。（2）最小项性质①每个最小项的值都对应一组变量的取值，而且只有一种取值才使得某一最小项为1，其他任何取值此最小项都为0，见表6-10。•只有A

=

B

=

C

=

0时，m0

=

1，而A、B、C的任何其他取值时，m0均为0。②一个逻辑函数的所有最小项中，任意2个或多个不同最小项的与为零，如③n项最小项之和（即2n项的和）均为1。（3）逻辑函数最小项表达式•逻辑函数的最小项表达式是指用最小项表示的与或函数表达式，如•就是三变量逻辑函数的最小项表达式。•若用最小项编号表示，则为

F

=

m0

+

m1

+

m2

+

m3

+

m5

+

m7也可表示为

F

=

∑m(0,1,2,3,5,7)任何逻辑函数都有1个且仅有1个最小项表达式。（4）求逻辑函数最小项表达式

•求逻辑函数最小项表达式的方法通常有2种。方法一真值表法•已知逻辑函数真值表时，可把真值表中输出变量F等于1的输入变量相应取值，用其对应的最小项表示，然后把它们相加（或），即为该逻辑函数的最小项表达式，见表6-10。方法二展开法•已知某逻辑函数的一般表达式，可根据逻辑代数的基本公式，先将其化为与或表达式，再进一步利用配项法，将缺少变量的乘积项变为最小项。•有些表达式展开为最小项表达式时十分麻烦，此时可以先根据表达式列出真值表，然后由真值表写出最小项表达式。2．标准或与表达式（1）概念•标准或与表达式也称为最大项表达式。•最大项是指包含逻辑函数中所有变量的一个或项，其中每一个逻辑变量以原变量或反变量形式作为一个因子仅出现一次，就称为标准或项。•一个逻辑函数如用最大项之积的形式表示，则称为函数的最大项之积表达式，也就是标准或与表达式，如是三变量函数的最大项之积表达式。•由于一个变量有原变量和反变量2种形式，故n个变量共有2n个最大项。•表6-11列出了三变量逻辑函数F（A，B，C）的全部最大项的真值表。•为了方便，通常也可以Mi表示第i个最大项。•下角标i的值是这样确定的：变量按一定次序排列（如AB），如果或项中逻辑变量以反变量形式出现，则记为1；以原变量形式出现，则记为0。•这样构成的二进制数被称为转换码，其对应的十进制数就是该最大项下角标i的值。

•例如，最大项（）对应的变量取值为(101)B

=

(5)D，即十进制数为5，故该最大项记为M5。•根据以上规则，在知道最大项编号的情况下，就可以写出它的变量表达式。（2）最大项性质•

每个最大项都有一组变量的取值使它为0。•

n个变量的所有最大项之积（与）恒等于1。•

任何2个不同的最大项和（或）为1。（3）求逻辑函数最大项之积表达式•一个逻辑函数同时存在2种标准表达式：最小项之和表达式和最大项之积表达式。•最小项所给的函数值是1时变量的取值组合；最大项所给的函数值是0时变量的取值组合。•由于两者表示的是同一个逻辑函数，故这2种表达式是相等的。•可以证明，对同一函数•就是同一下标的最大项和最小项是互补的。•由于函数值不是0就是1，所以由一种标准形式很容易得到另一种标准形式。•例如，6.5逻辑函数的化简

6.5.1公式化简法1．吸收法•吸收法是利用A

+

AB

=

A公式消去多余的乘积项AB，如

F

=

B

+

ABD

=

B(1

+

AD)

=

B式中，ABD即为多余的乘积项。2．合并项法

•合并项法是利用公式，两项合并为一项，消去一个变量，如3．消去法•消去法是利用公式消去多余的变量，如4．配项法•配项法是利用公式，，，即将一项变为两项，再与其他项合并进行化简，添加项也可以进行化简，如•F也可以采用以下方法化简，即•由F的2种化简方法可以看出，有的最简表达式虽然项数和每项变量个数均相等，但不是唯一的，F就有2种表达式出现。•所以，使用配项法时，应拆散哪一项，选择哪个变量做常数因子，有时不是一眼就看得出来的，需要仔细观察和反复试探，最终得到所要求的结果。•利用公式化简逻辑函数的基本方法主要包括上述4种，在实际化简过程中，有时需要用上述几种方法综合地去化简。•以上对函数进行化简均是对函数的与或式进行的。•对于函数的或与式，除应用以上方法对函数进行变换化简以外，也可以先使用对偶法则，将函数的或与转换成与或对偶式，对对偶式进行化简后，再求一次对偶，即可得到化简后的原函数。6.5.2卡诺图化简法1．什么是卡诺图•所谓卡诺图，就是根据真值表，按一定规则画成的一种方格图，是1953年由美国工程师卡诺提出来的，也称最小项方格图。•它用小方格来表示真值表中每一行的变量取值情况和函数值，故卡诺图实质上是一种矩阵式的真值表。2．卡诺图的形式•用卡诺图描述函数时，首先根据变量数画出空白的卡诺图。若变量数为n，则画出的卡诺图应包括2n个方格，每个方格对应一个函数的最小项。•方格的序号与最小项序号一样，分别由行变量和列变量来决定。•图6-9描述了2，3，4变量的空白卡诺图形式。图6-92，3，4变量的空白卡诺图形式•卡诺图中输入变量的标号顺序，必须体现相邻性的原则。•所谓相邻性，是指2个几何上相邻的小方格所对应的所有变量中，允许有一个变量是不同的（即互补的），而其余都是相同的。•根据此原则，变量的取值顺序是：•2变量：00，01，11，10。•3变量：000，001，011，010，110，111，101，100。•由此可见，卡诺图行、列变量的取值顺序按照反射码的编码顺序排列，而不采用真值表中采用的二进制数顺序。•这是卡诺图和真值表表示法的重要区别。3．画逻辑函数卡诺图的步骤（1）最小项法•

求逻辑函数F所包含的全部最小项。•

画卡诺图（变量个数为逻辑函数F所含的变量个数），在卡诺图中将F所含的最小项填1，其余填0，就可得到表示逻辑函数F的卡诺图。•例如：已知逻辑函数F

=

A

+

BC，画卡诺图。•解：将表达式化为最小项，即•画卡诺图，将F所含的最小项在卡诺图中填1，其余填0，由此即可得到F

=

A

+

BC的卡诺图，如图6-10所示。图6-10F

=

A

+

BC的卡诺图（2）真值表法•以逻辑函数F

=

A

+

BC为例，其真值表见表6-12。•将对应于F

=

1时A、B、C的值组成的最小项在卡诺图中填1，其余填0，同样也可得到如图6-10所示的卡诺图。4．由卡诺图写出逻辑函数式的方法•由卡诺图写逻辑函数式时，只要将卡诺图中所有填1的小方格所代表的基本乘积项相加，就可得到逻辑函数的表达式。•在写基本乘积项时，要注意变量为1时，代表原变量；变量为0时，代表反变量。5．卡诺图化简方法

•卡诺图化简法实质上是直观并项法。

•相邻2个方格所代表的最小项只有1个变量不同，若相邻2个方格均填入1，则可以利用消去1个变量。•由于卡诺图几何相邻与逻辑相邻的一致性，所以从卡诺图上能够直观地找出相邻的最小项合并并化简。•以此类推，又可得到：①4个标有1的方格所对应的最小项在排列成矩阵组（这种矩阵组被称为卡诺图）时，可合并为一项，消去2个变量。②8个标有1的方格所对应的最小项在排列成矩阵组时，可合并为一项，消去3个变量。③16个标有1的方格所对应的最小项在排列成矩阵组时，可合并为一项，消去4个变量。•卡诺图中相邻最小项的合并情况如图6-11所示。图6-11卡诺图中相邻最小项的合并情况示意图6．卡诺图化简的步骤①画出逻辑函数的卡诺图。②按照规则，合并卡诺图中所有为1的方格，所形成的一个卡诺图中应至少包含一个未被其他卡诺图圈过的1方格，且形成的卡诺图应尽可能大。③将每个包围圈所表示的乘积项逻辑加。•为了使简化后的逻辑函数式最简，在画包围圈时应注意以下几点：①包围圈大越好（乘积项因子少）。②包围圈个数越少越好（乘积项项数少）。③同一个方格可以圈多次（因为A

+

A

=

A）。④每个圈要有新的成分，如果某一圈中所有1方格均被别的包围圈包围，则此圈所表示的乘积项是多余的。⑤先圈大、后圈小，不要遗漏1个方格。⑥如果某个1方格孤立存在，则需单独圈围。•若漏圈，则所得的结果不正确。•例如：化简函数F(A,B,C)

=

∑m(0,2,6)。•解：第一步，做出三变量函数的卡诺图，并根据具体函数填入，如图6-12（a）所示。图6-12F(A,B,C)

=

∑m(0,2,6)卡诺图•第二步，按照规则，对填1的方格进行圈围，并检查是否所有的1都被圈围，是否存在一个圈中的1均被其他卡诺图圈围的现象，经过圈围的卡诺图如图6-12（b）所示。•图6-12（b）中，m0与m2相邻，所以

+

=

；m2和m6相邻，所以。故化简后可得。7．包含无关最小项逻辑函数的化简

（1）无关最小项的含义•一个n变量的逻辑函数并不一定与2n个最小项都有关。•有时，它仅与其中一部分有关，与另一部分无关。•也就是说，这另一部分最小项为1或0均与逻辑函数的逻辑值无关，故称这些最小项为无关最小项（或称随意项、约束项）。•无关项在真值表和卡诺图中用X（或d、）表示。•具有无关最小项的逻辑函数通常被称为具有约束条件的逻辑函数。•例如，用8421BCD码表示的十进制数ABCD，只有0000～1001十个输入组合出现，其余1010～11116种组合不可能出现。•这种不会出现的变量取值组合所对应的最小项称为约束项。（2）约束条件在表达式中用∑md、∑mX表示•由于无关最小项为1为0对实际的输出无影响，故从化简结果更加简单的角度出发，将其在卡诺图中对应的方格灵活地作为1或0，会给化简带来方便。•例如：化简函数F(A,B,C,D)

=

∑m(1,3,5,7,9)

+

∑mX(10,11,12,13,14,15)。•解：∑mX(10,11,12,13,14,15)是该函数的约束条件，表示函数存在无关项。•其卡诺图如图6-13（b）所示。图6-13用卡诺图化简函数∑m(1,3,5,7,9)

+

∑mX(10,11,12,13,14,15)•如果不考虑无关项（即将其对应最小项看做0），则卡诺图的圈围如图6-13（a）所示，可得。•若从化简结果更加简单的角度出发考虑，在该例中，则可将所有无关项看做1参与化简，如图6-13（b）所示，可得化简结果为F

=

D。•在化简中，根据无关最小项的性质及化简的需要，将m11、m13、m15看成1，将m10、m12、m14看成0，可求得最简输出函数。•比较以上2个化简结果可以看出，利用约束条件后，得到的函数可简单得多。•所以，具有无关项的逻辑函数应充分利用其性质来化简。•利用无关项化简时应注意：填1的方格必须参与化简，而填X的方格则根据使化简结果是否更加简单来决定它是否参与化简。（3）卡诺图化简法步骤归纳①将逻辑函数每个1对应的输入变量组合填在卡诺图相应的小方格中。②将无关项（只有指明的不出现的项才为无关项）用X或