知识点31 圆的基本性质2020

版权均属于北京全品文教科技股份有限公司，未经本公司授权，不得转载、摘编或任意方式使用上述作品，否则坚决追究转载方法律责任。一、选择题9．（2020·杭州）如图，已知BC是的直径，半径，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设，，则（）A．3α＋β＝180° B．2α＋β＝180° C．3α－β＝90° D．2α－β＝90°{答案}D{解析}本题考查了同圆的半径相等，三角形的内角和定理以及三角形的外角．因为OA⊥BC，所以∠AOB＝90°．因为OB＝OD，所以∠B＝∠D．在△OBD中，∠B＋∠D＋∠BOD＝180°，即2∠D＋90°＋β＝180°，所以2∠D＋β＝90°．因为∠AED是△ODE的外角，所以∠D＝∠AED－∠AOD＝α－β，所以2(α－β)＋β＝90°，整理，得2α－β＝90°，因此本题选D．4．（2020·绍兴）如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（）A．45° B．60° C．75° D．90°{答案}D{解析}本题考查了圆周角、圆心角以及它们所对的弧的度数之间的关系．在同圆中，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，因为∠BAC=15°，∠CED=30°，所以弧BC是30°，弧CD是60°，则弧BD是90°，故它所对的圆心角∠BOD的度数是90°．因此本题选D．4．（2020湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（）A．70° B．110° C．130° D．140°【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，故选：B．7．（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8 B．12 C．16 D．291{答案}C{解析}如图，连接OA，∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，∴OD＝10，OM＝6.∵AB⊥CD，∴AM=OA9．（2020·安徽）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（）A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OBD．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC{答案}B{解析}逐项分析如下：选项逐项分析 图示真假命题A如图，若OB平分AC，则OB是AC的垂直平分线，无法推理四边形OABC是平行四边形.假B如图，若四边形OABC是平行四边形，则AB＝OC＝OA＝OB，∴△OAB和△OBC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝120°.真C如图，若∠ABC＝120°，无法推理出AC平分OB.假D如图，若AC平分OB，无法推理出OB平分AC.假9．（2020·陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小（）A．55° B．65° C．60° D．75°第9题图{答案}B{解析}E是弦BC的中点，由垂径定理的逆定理可知OE⊥BC，连接OB、OC，由∠A＝50°可知∠BOC＝2∠A＝100°，由等腰三角形的“三线合一”可知∠BOD＝50°，在等腰△BOD中，∠D＝(180°－50°)÷2＝65°．第9题答图6．（2020·青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，弧AB=弧AD，AC交BD于点G.若∠COD=126°，则∠AGB的度数为（）A.99°B.108°C.110°D.117°{答案}B{解析}本题考查了圆周角定理及其推论的应用，解答过程如下：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°.∵弧AB=弧AD，∴∠ADB=∠ABD=45°.∵∠COD=126°，∴∠CAD=∠COD=×126°=63°.∴∠AGB=∠ADB+∠CAD=45°+63°=108°.因此本题选B．8．（2020·泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB﹦BC，∠BAC﹦30°，AD是直径，AD﹦8，则AC的长为（）A．4 B．4EQ\R(,3) C．EQ\f(8,3)EQ\R(,3) D．2EQ\R(,3)（第8题）（第8题）{答案}B{解析}本题考查了等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角以及锐角三角函数，因为△ABC中，AB﹦BC，∠BAC﹦30°，所以∠B=120°，因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠D=60°.因为AD是⊙O的直径，所以∠ACD=90°.因为sin∠D=，所以AC=AD·sin∠D=8×=4EQ\R(,3)，因此本题选B．7.（2020·淮安）如图,点A、B、C在⊙O上,∠ACB=54°,则∠ABO的度数是（）A.54° B.27° C.36° D.108°{答案}C{解析}本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系，由已知得∠AOB=2∠ACB=108°，再在等腰三角形AOB中由三角形的内角和定理求出∠ABO的度数．∵∠ACB=54°，∴∠AOB=2∠ACB=108°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=（180°-108°）÷2=36°．故选C．9．（2020·福建）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（）A. B. C. D.{答案}A{解析}本题考查了弧，弦，圆周角等的关系，∵，为中点，∴，∵，∴优弧BAC是240°，∴弧AB是80°，∴=40°，因此本题选A．7．(2020·荆门)如图4，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为()A．14°B．28°C．42°D．56°PPCABO图4{答案}D{解析}连结OA．由垂径定理可知＝，∴∠BOC＝∠AOC．由圆周角定理可知∠AOC＝2∠P＝56°．∴∠BOC＝56°．故选D．16．（2020·镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC=106∘，则A．10∘B．14∘C．16∘{答案}C{解析}本题考查了圆周角相关知识，连接BC，则∠B＋∠D＝180°，∵∠ADC＝106°，∴∠B＝74°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝16°．7．（2020·常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是()A．3 B．4 C．5 D．6(第7题){答案}A{解析}{解析}本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因为∠BHC＝90°，M为BC的中点，所以MH＝BC，而BC的最大值是直径，所以MH的最大值等于3．5．（2020·天水）如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°{答案}B{解析}根据切线的性质和圆周角定理可求，连接OA、OB，则∠ACB＝EQ\F(1,2)∠AOB，又由PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，得到∠PAO＝∠PBO＝90°，所以∠AOB＝180°－∠P＝180°－70°＝110°，从而得到∠ACB＝EQ\F(1,2)×110°＝55°，因此本题选B．5.（2020·张家界）如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（）A. B. C. D.{答案}C{解析}本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．解：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．14．（2020·河北）有一题目:“已知:点O为△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A.”嘉嘉的解答为:画以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图8.由∠BOC=2∠A=130°，得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是A.淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B.淇淇说的不对，∠A就得65°C.嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D.两人都不对，应有3个不同值{答案}A{解析}如图1，当∠A是锐角时，△ABC的外心O在其内部，∠A=65°；如图2，当∠A是钝角时，△ABC的外心O在其外部，∵∠1=2∠A，∴∠A=∠1=×230°=115°.故∠A=65°或115°，答案为A.7.（2020·牡丹江）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5° B．30°C．45° D．60°AABS（第7题图）{答案}C{解析}设圆心为O，连接OA，OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA＝OB，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，根据圆周角定理可得∠ASB＝∠AOB＝45°，故选C．OOABS10．（2020·宜昌）如图，E,F,G为圆上的三点，∠FEG=50°，P点可能是圆心的是（）.A．B．C．D．{答案}C{解析}由圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．当点P为圆心时，根据圆周角定理，可得∠FPG=2∠FEG．故选：C．9．（2020·凉山州）下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等{答案}D{解析}因为顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，圆的切线垂直于过切点的半径，所以A、B、C选项皆为假命题，故选D．11．（2020·凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD﹕AB＝（）A．﹕B．﹕C．﹕D．﹕2第第11题图{答案}B{解析}如答图，连接OA、OB、OD，则∠AOD＝90°，∠AOB＝120°．令OA＝OB＝OD＝r，则AD＝r，AB＝r，从而AD﹕AB＝﹕，故选B．第第11题答图10.(2020·潍坊)如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（）A B. C.1 D.{答案}B{解析}由题意可知，点C、D是定点，点P是边上的动点，PC+PD最小值时，即为将军饮马问题.点点P为点C关于点O的对称点时，PC+PD的值最小，求出OP的长即可.延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，如图，∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°,又，∴∠DCB=∠AOB，∴CD//AO，∴∵OC=2，OB=4，∴BC=2,∴，解得，CD=；∵CD//AO，∴，即，解得，PO=.7．（2020·营口）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD，若∠CAB=40°，则∠ADC的度数是（）A．110°B．130°C．140°D．160°{答案}B{解析}如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠CAB=40°，∴∠CBA=50°，∵∠ADC+∠CBA=180°，∴∠ADC=130°．9．（2020·滨州）在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6B．9C．12D．15{答案}C{解析}本题考查了垂径定理和勾股定理，直径AB=15，∴BO=7.5，∵OC：OB=3：5，∴CO=4.5，∴DC==6，∴DE=2DC=12，因此本题选C．8．（2020·内江）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（）A. B. C. D.{答案}A{解析}本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．连接OB，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，因此本题选A．14．（2020·临沂）如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点.则的大小可能是（）A.10° B.20° C.30° D.40°{答案}C{解析}梳理题目中的已知条件，有直径，可以相应的有90°的圆周角；，则；同时点为弦的中点，则可以考虑利用垂径定理；另外，题目中具体数值较少，的具体值不容易求，那么我们可以根据已有条件探求它的取值范围，从而确定那个值在范围内.解：连接AE，作过OD的直线分别交圆周于点M、N，连接CM，如下图：∵∴∴；又∵点为弦的中点∴∴∵所对的弧大于∴，即：综上：，选C.9．（2020·宜宾）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（）A．π B．π C．π D．π{答案}A{解析}根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠ACB＝90°，由CD⊥AB，根据勾股定理得BC＝＝5，根据相似三角形的判定（两角对应相等的两个三角形相似）得Rt△ABC∽Rt△CBD，再根据相似三角形的三边对应成比例，得＝，即AB＝，∴⊙O的周长是π．8．（2020·广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图4所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm{答案}C{解析}本题考查了垂径定理，解答过程如下：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，连接OA．由题意，OA=OC＝26cm，AD=AB=24cm，再由勾股定理可得：OC=10cm，所以水深CD=OC-OD=26-10=16cm.因此本题选C．9．（2020·武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 （）A． B． C． D．{答案}D{解析}本题考查了圆的垂径定理，弧线圆心角关系，全等判定，中位线等定理，连接OD，交AC于点F，由D是弧AC的中点，易证出OD⊥AC，AF＝CF，又∵O是AB的中点，∴2OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，又∵E是BD的中点，∴易证出△EFD≌△ECB（AAS）∴DF＝BC，又∵半径为3，∴2OF＝DF＝BC＝2，在Rt△ABC中，，因此本题选D．10．（2020·海南）如图，已知AB是⊙O是直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于()A．54° B．56° C．64° D．66°{答案}A{解析}∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又由圆周角定理可知∠A＝∠C，∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－36°＝54°.6.（2020·吉林）如图，四边形内接于．若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【详解】因为，四边形内接于，，所以，=180°-故选：C.9．（2020·黄石）如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（）A．140° B．70° C．110° D．80°{答案}C{解析}先根据四边形的内角和为360°求∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P的度数，最后由四点共圆的性质得结论．如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∵∠DCE＝40°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠P＝EQ\F(1,2)∠AOB＝70°，∵A、C、B、P四点共圆，∴∠P+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°，故选：C．9．（2020·武威）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（）A．2 B． C．2 D．【解析】∵点D在⊙O上且平分，∴，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝2，Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC＝，故选：D．二、填空题13．（2020湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是3．【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=12在Rt△OCH中，OH=516．（2020·遵义）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是_________．{答案}{解析}本题考查圆的基本性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，利用特殊角作垂线构造全等三角形是解题的关键．如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AE于点F，连接BE，则△AHF≌△BHC．∴AF=BC=5．∵∠HAF＝∠HBC，∠HAF＝∠EBC，∴∠HBC＝∠EBC．∵AD⊥BC于点D，∴DE=DF．∵∠CAE＝∠CBE，∠ACB＝∠AEB，∴△ACD∽△BED．∴,即．∴DE=(舍去负值)．故答案为.19．（2020·黔东南州）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为．{答案}2{解析}∵AC＝AD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°.∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠OCD＝45°，∴△OCE是等腰直角三角形.在等腰Rt△OCE中，OC＝2，∴OE=219．(2020·绥化)如图5，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点(点P与点D，点E不重合)，连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于______度．图5图5OPGDECAB{答案}54{解析}连结CE．正五边形的内角∠CDE＝×(5－2)×180°＝108°．∵DC＝DE，∴∠P＝∠DEC＝×(180°－108°)＝36°．∵DG⊥PC，∴∠PDG＝90°－∠P＝54°．14．（2020·聊城）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是．OODABCm{答案}60°{解析}利用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及菱形的对角相等构建方程求解．在菱形OABC中，∠B＝∠O，又∵∠O＝2∠D，∠D＋∠B＝180°，∴∠D＋2∠D＝180°，∴∠D＝60°．14．（2020·贵阳）（4分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．{答案}120．{解析}解：连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°，故答案为：120．16．（2020·黑龙江龙东）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝°．{答案}50．{解析}本题考查了圆周角的性质，解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°，故答案为：50．15．（2020·襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于__________°．{答案}60或120．{解析}如答图，连接OB，OC，由弦BC垂直平分半径OA，得OD＝OA＝OB，∠ODB＝90°，从而cos∠DOB＝，∠DOB＝60°，于是∠DOC＝120°．∴∠BP1C＝∠BOC＝60°．∵∠BP1C＋∠BP2C＝180°，∴∠BP2C＝120°．综上，弦BC所对的圆周角等于60°或120°，故答案为60或120．第15题答图第15题答图（2020·四川甘孜州）14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为________．{答案}3{解析}本题考查了垂径定理和勾股定理．连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝10，∴OC＝OA＝5．∵弦CD⊥AB于点H，CD＝8，∴CH＝4．在Rt△OCH中，由勾股定理得OH＝＝＝3．故答案为3．14.（2020·盐城）如图，在中，点在上，则14．130°，解析：本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半和圆内接四边形对角互补等知识，因此在⊙O上取一点D，连接CD，BD，则∴∠BDC＝∠BOC＝50°∵四边形ABDC为圆内接四边形∴∠BAC+∠BDC＝180°∵∠BDC＝50°∴∠BAC＝130°此本题答案为130°．（2020·济宁）15.如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D.AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2.则BO的长是_________.

{答案}4{解析}：连结OC，如图，∵CD2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4， ∴OB＝4．16．（2020·岳阳）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B，点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①；②的长为；③；④；⑤为定值.{答案}②⑤{解析}∵M，C是半圆上的三等分点，∴∠BOC＝，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BPC＝∠BOC＝，∵BD与半圆O相切于点B，∴∠ABD＝90°∵P是上一动点，∴∠PBA角度不确定，∴∠PBD不确定，∠D也不确定，所以PB＝PD不成立，结论①错误；∵直径AB＝8，∴半径为4，∴，∴结论②正确；∵BE⊥OC，∴∠BEO＝90°，∴∠OBE＝180°－90°－60°＝30°，∴∠DBE＝∠ABD－∠OBE＝90°－30°＝60°，∴结论③错误；∵∠PFB＝∠FCB＋∠FBC，所以∠PFB＞∠FBC，∴△BCF和△PFB不可能相似，∴结论④错误；∵OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵BE⊥OC，所以∠CBE＝∠CBO＝30°，∴∠CBF=∠CPB，又∵∠BCF=∠PCB，∴△BCF∽△PCB，∴，∴，∵△OBC是等边三角形，∴CB＝OB＝4，∴，为定值，∴结论⑤正确．综上，结论正确的是②⑤.12．（2020·随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC=120°，则∠CAD的度数为.{答案}30°{解析}本题考查了圆周角定理、角平分线的定义，解答过程如下：∵∠BOC=120°，∴∠BAC=∠BOC=×120°=60°.∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠BAC=×60°=30°.12．（2020·南通）⊙O的半径为13，弦AB的长度是10，则圆心O到弦AB的距离为▲．{答案}12{解析}过圆心作弦AB的垂线，连接OA，由垂径定理和勾股定理可求出距离．作OC9．(2020·青海)已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为______cm．{答案}7或1{解析}过圆心O作OM⊥AB于M，交CD于点N，连结OB，OD．∵AB∥CD，∴MN⊥CD．由垂径定理可知MB＝4，ND＝3．∴OM＝＝3，ON＝＝4．(1)当圆心O在AB，CD之间时，如图#(1)，MN＝OM＋ON＝7；(2)当圆心O在AB，CD同侧时，如图#(2)，MN＝ON－OM＝1．O图#(1)O图#(1)DCABMNO图#(2)ODCABMN⊥AB于点C，∴AC＝，∴．13．(2020·成都)如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，则∠A的度数为．{答案}30°{解析}首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．解：∵OB＝OC，∠B＝55°，∴∠BOC＝180°﹣2∠B＝70°，∵∠AOB＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+50°＝120°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA=180°-120°14.（2020·安顺）如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是度.第14题图第14题图{答案}120{解析}连接OA，OB.∵是的内接正三角形，∴，.又∵AD=BE,OA=OB，∴△OAD≌△OBE.∴.即=.第14题答图第14题答图16．（2020·滨州）如图，是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与相交于点M，则sin∠MFG的值为________{答案}{解析}本题考查了圆周角的性质及锐角三角函数的概念，设正方形的边长为a，∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，AE=AB=a，AD=EG=BC=a，DE=a，根据圆周角的性质可得：∠MFG=∠MEG．∵sin∠MFG=sin∠MEG=，∴sin∠MFG=，因此本题填．19．（2020·临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离.依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_________.{答案}{解析}连接OA交圆周于点N，过点A作x轴的垂线，垂足为点M：∵点∴OM=2,AM=1∴.∴.14．（2020·宜宾）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos∠A＝．{答案}{解析}利用等边三角形的性质、圆周角定理、特殊角的三角函数值求解．∵△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝30°，∴cos∠A＝cos30°＝．15.（2020·攀枝花）如图，已知锐角三角形内接于半径为2的，于点，，则.{答案}1{解析}如图，连接、，则易知，由垂径定理可知，则，∴.三、解答题22．（2020·温州）如图,C,D为⊙O上两点,且在直径AB两侧,连结CD交AB于点E,G是上一点,∠ADC＝∠G.(1)求证:∠1＝∠2(2)点C关于DG的对称点为F,连结CF.当点F落在直径AB上时CF＝10,tan∠1＝求⊙O的半径.{解析}本题考查了垂径定理及解直角三角形．（1）由∠ADC＝∠G得到＝,从而得到，从而∠1＝∠2；（2）根据圆是轴对称图形可知CF＝DF，又由点C关于DG的对称点为F得到CD＝DF，从而求得DE＝5，分别解Rt△AED和Rt△BDE，求得AE和EB，从而得到直径AB。{答案}解：（1）∵∠ADC＝∠G，∴＝.∵AB为⊙O的直径，∴，∴∠1＝∠2.（2）连结DF，∴＝,AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10.∵点C，F关于GD对称，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5.∵tan∠1＝，∴EB＝DE·tan∠1＝2,∵∠1＝∠2，∴tan∠2＝，∴AE＝,∴AB＝AE＋EB＝,∴⊙O的半径为.21（2020·衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6．连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA；（2）求OE的长．{解析}（1）证明圆中两个圆周角相等可以证明这两个角所对的弧相等，而两条弧相等最常用的方法是垂径定理；（2）由已知长度的线段和要求的线段分布在两个三角形中，考虑通过相似三角形来解决问题.{答案}解：（1）证明∵OC为半径，点E是AD的中点，∴，∴∠CAD=∠CBA.（2）解∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90˚.∵点E是AD的中点，∴OC⊥AD，∴∠AEC=90˚,∴∠AEC=∠ACB，又∵∠CAD=∠CBA，∴△ACE∽△BAC，∴,即，∴CE=3.6.又∵OC=AB=5,∴OE=OC－CE＝5－3.6=1.4.23．（2020台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．（1）求证：△BEF是直角三角形；（2）求证：△BEF∽△BCA；（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．【分析】（1）想办法证明∠BEF＝90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．（2）根据两角对应相等两三角形相似证明．（3）证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ=12BD=m2，EF＝m，由△ABC∽△CBM，可得BM=m【解答】（1）证明：∵∠EFB＝∠∠EDB，∠EBF＝∠EDF，∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BEF＝90°，∴△BEF是直角三角形．（2）证明：∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠EFB＝∠EDB，∴∠EFB＝∠BCD，∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB⊥CD，∴∠AMC＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠BCD＝∠CAB，∴∠BFE＝∠CAB，∵∠ACB＝∠FEB＝90°，∴△BEF∽△BCA．（3）解：设EF交AB于J．连接AE．∵EF与AB互相平分，∴四边形AFBE是平行四边形，∴∠EFA＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，∵BD⊥AD，∴EF∥BD，∵AJ＝JB，∴AF＝DF，∴FJ=12BD∵△ABC∽△CBM，∴BC：MB＝AB：BC，∴BM=m∵△BEJ∽△BME，∴BE：BM＝BJ：BE，∴BE=m2，∵△BEF∽△BCA，∴即36-m2m23．（2020·杭州）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF；②若DF＝EF，求∠BAC的度数．{解析}本题考查了含30°的直角三角形的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，三线合一等知识．（1）由已知可得△AOE是含30°的直角三角形，于是有∠AOE＝60°，AE＝，OE＝OF＝，所以△OEF是底角为30°的等腰三角形．在△AEF中，利用“等角对等边”得到EF＝AE＝．（2）①作FG⊥AB于点G，与BO交于点H，连接EH．先证FG∥BC，得到△OFH∽△OCB，于是得到FH＝BC，同理得到OE＝BC，所以FH＝OE，又FH∥OE，所以四边形OEHF是平行四边形，于是问题获证．②利用OE∥FG∥BC证明EG＝GB，又FG⊥AB，于是由线段垂直平分线的性质得EF＝BF，而DF＝EF，所以DF＝BF，即△DBF是等腰三角形，利用“三线合一”得OF⊥BD，所以△AOB是等腰直角三角形，于是∠BAC＝45°．{答案}解：（1）∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝．∵点F是半径OC的中点，∴OF＝OC＝，∴OE＝OF，∴∠OFE＝∠AOE＝30°，∴∠BAC＝∠OFE，∴EF＝AE，∴EF＝．（2）如答图，作FG⊥AB于点G，与BO交于点H，连接EH．①∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE．又∵FH∥OE，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝BF．∵DF＝EF，∴DF＝BF．∵DO＝BO，∴FO⊥BD，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．23．（2019·上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．{解析}（1）连接BC，根据AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；（2）根据相似三角形的判定和性质求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出BD＝AB，再根据菱形的判定推出即可．{答案}证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴，又∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．20．（2020·安徽）如图，AB是半圆O的直径，C,D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．{解析}（1）由AB是半圆O的直径，得到∠ADB＝∠BCA＝90°，又AD＝BC，根据直角三角形全等的判定可得到结论；（2）由BE是半圆O所在圆的切线，得到∠ABE＝90°，结合∠BCA＝90°，进而得到∠EBC＝∠EAB.已知BE＝BF，BC⊥EF

，由“等腰三角形的三线合一”得到∠EBC＝∠FBC.又∠DAE＝∠FBC，等量代换可得∠EAB＝∠DAE，问题得证.{答案}

(1)证明:∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝∠BDA＝90°.在RtCBA与RtDAB中，∵BC＝AD，BA＝AB，∴CBA≌DAB.(2)证明:方法一：∵BE＝

BF.又由(1)知BC⊥EF

，∴BC平分∠EBF.∵AB为半圆O的直径，BE为切线，∴BE⊥AB.于是，∠DAC＝∠DBC＝∠CBE＝90°－∠E＝

∠CAB

，∴AC平分∠DAB.方法二：∵BE＝

BF，∴∠E＝∠BFE.∵AB为半圆O的直径，BE为切线，∴BE⊥AB.∴∠CAB＝90°－∠E＝90°－∠BFE＝90°－∠AFD＝∠CAD,∴AC平分∠DAB.26．（2020·哈尔滨）.已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F.（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为，求线段CG的长.{解析}本题考查了几何的综合能力，（1）根据垂径定理与三角形外角性质就能证出；（2）垂径定理推论可以得出DH＝HG，OH⊥DG，∵BF∥DG∴∠BOD＝∠ODG之后易证得△OBE≌△DOH，即可得到结论；（3）把面积条件变成边长条件是本问的关键，根据（2）问结论与DG＝DE，可知DG：DE：OE：半径＝2：2：1：3，再利用勾股定理、三角函数和三角函数之间关系就能从面积得出DH＝1、OD＝3、BE＝CE＝OH＝、AE＝4、AC＝，最后解斜三角形AGC．{答案}(1)证明:如图1，∵直径AD⊥BC∴弧BD＝弧CD,BE＝CE∴∠BAD＝∠CAD∵∠BOD＝2∠BAD∴∠BOD＝2∠CAD.∵∠AOF＝∠BOD∴∠AOF＝2∠CAD∵∠BFC＝∠AOF＋∠CAD,∴∠BFC＝2∠CAD＋∠CAD＝3∠CAD(2)证明:如图2，∵H为DG的中点∴DH＝HG，OH⊥DG∴∠OHD＝90°∵BF∥DG∴∠BOD＝∠ODG∵AD⊥BC∴∠BEO＝∠OHD＝90°∵OB＝OD,∴△OBE≌△DOH∴BE＝OH(3)解:如图3，连接AG，过点A作AM⊥GC交GC延长线于点M过点F作FN⊥AD于点N由(2)得DH＝OE∵DG＝2DH＝2OE，DE＝DG∴DE＝2OE设OE＝m则DE＝2m∴OB＝OD＝OA＝3m∴AE＝4m在Rt△OBE中BE＝＝∴CE＝BE＝tan∠BOE＝＝＝tan∠EAC＝＝＝,∵tan∠AOF＝tan∠BOE＝∴＝设ON＝a则NF＝a,∴tan∠EAC＝＝＝∴AN＝4a∵AN＋NO＝AO,∴4a＋a＝3m∴a＝∴FN＝×＝,∵＝OA∙FN＝∴×3m×＝∴＝1∴m＝±1∵m＞0∴m＝1∴DH＝1OD＝3由(2)得：BE＝CE＝OH＝AE＝4在Rt△AEC中，AC＝＝,∵OD＝OA，DH＝HG∴AG＝2OH＝∵∠ADG＋∠ACG＝∠ACM＋∠ACG＝,∴∠ADG＝∠ACM∴cos∠ADG＝cos∠ACM∴,∴∴CM＝在Rt△ACM中,AM＝＝在Rt△AGM中GM＝＝＝,∴CG＝GM－CM＝28.（2020·苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，.动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动.连接，交于点.经过、、三点作圆，交于点，连接、.设运动时间为，其中.（1）求的值；（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（3）求四边形的面积.{解析}（1）分别表示OP与OQ，再计算的值；（2）作，利用平行线分线段成比例建立方程求得OB长度与时间t的二次函数，根据函数性质求得时间t及线段的最大长度;（3）法一：利用求得四边形的面积；法二：连接，由SAS证明，利用的面积=求解.{答案}解：（1）由题可得：，.∴.（2）当时，线段的长度最大.如图①，过作，垂足为，则.∵平分，∴，∴，.设线段的长为，则，，.∵，∴，∴，.∴.∴当时，线段的长度最大，最大为.（3）解法一：∵，∴是圆的直径.∴.∵，∴是等腰直角三角形.∴.在中，.∴四边形的面积.∴四边形的面积为.解法二：如图②，连接.∵，∴是圆的直径.∴.∵，∴是等腰直角三角形，.∵四边形内接于圆，∴，又∵，∴.∵，∴.∴，.∵，∴，∴是等腰直角三角形.∴四边形的面积.∴四边形的面积为.23．（2020·贵阳）（10分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD．（1）求证：AD＝CD；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．{答案}解：（1）证明：∵∠CAD＝∠ABD，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD；（2）∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠FAD＝90°，∴∠ABD＝∠FAD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠FAD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，∵AB＝4，BF＝5，∴AF=B∵S△ABF=1∴DE=AE2∵∠AED＝∠BED，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴BEAE∴BC=BE⋅ADAE=282524．（2020·南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F.求证：(1)四边形DBCF是平行四边形；(2)AF＝EF.{解析}(1)由圆周角定理证明AB∥CF，结论DF∥BC即可证明结论；(2)连接AE，结合内接四边形的性质、平行线的性质和圆周角的性质进行等量代换，推理∠AEF＝∠EAF即可.{答案}证明：(1)∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B.∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B.又∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF.又DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形.(2)如图，边接AE.∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B.∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF＋∠EAF＝180°，∴∠EAF＝∠B,∴∠AEF＝∠EAF,∴AF＝EF.27．（2020·扬州）如图1.已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F.

（1）求证：OC∥AD；

（2）如图2，若DE=DF，求的值；

（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求DE的值.

（第27题图1）（第27题图2）{解析}本题考查了平行线的判定与性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次函数最值、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题的关键是作出适当的辅助线，找到解题的思路与途径.（1）利用角平分线性质与外角知识证明∠BOC=∠OAD=∠BOD即可；（2）以O为圆心，OA为半径作辅助圆，先利用直径所对圆周角是直角证∠ADB＝90°，再利用互余关系得出∠AOF＝90°，从而求得AD的长，最后由△ADE∽△AOF求得的值；（3）如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H.过E作EQ⊥CD于Q.先证△ACB≌△ACH得AB=AH=4，BC=HC，于是DC=CB=CH，再由△HCD∽△HAB得到HD与BC的关系式，最后，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，通过二次函数的最值求得BC的长，从而可借助余弦函数求得DE的长.{答案}解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BOD是△AOD的外角，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∴∠OAD=∠ODA，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠BOD，∴∠BOC=∠OAD，∴OC∥AD；（2）如答图1，以O为圆心，OA为半径作圆，∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF，∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAE=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，又∠DFE=∠AFO，∴∠OAC+∠AFO=90°，∴∠AOF＝90°，AD=，∵∠AOF＝∠ADB＝90°，∠DAC=∠OAC，∴△ADE∽△AOF，∴；（第27题答图1）（第27题答图2）（第27题答图3）（3）如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H.过E作EQ⊥CD于Q.∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACH＝90°=∠ACB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，在△ACB和△ACH中，∠ACB＝∠ACH，AC＝AC，∠BAC=∠HAC，∴△ACB≌△ACH，AB=AH=4，BC=HC，又∠BDH=180°-∠ADB＝90°，∴DC=HB=CB=CH，∵点A、D、C、B共圆，∴∠HCD＝∠HAB，又∠H＝∠H，∴△HCD∽△HAB，∴，即，∴HD=BC2，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，则y=AB+AD+CD+BC=4+4-BC2+BC+BC=-x2+2x+8=，∴当x=2时，y有最大值，当BC=x=2时（答图3），AD=CD=BC，∴，且它们所对圆心角都为60°，∴∠DCA=∠CDB=30°，∴ED=EC，∴DQ=CD=1，在Rt△DQE中，=COS∠CDE，=，∴DE=.17．（2020·广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为.{答案}{解析}本题考查了直角三角形斜边上的中线、确定圆的条件、点与圆的位置关系、最短路线问题、勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，首先连接BE，因为∠ABC＝90°，所以BE为直角三角形MBN斜边上的中线，故有，由于MN不变，所以点E到点B的距离为定长2，故以点B为圆心，BE长为半径作圆，连接BD交⊙B于点F，则，根据两点之间，线段最短，此时线段DF为所求的最短距离，过点D作DG⊥BC，垂足为G，根据条件可得：，，根据勾股定理得：，故，因此本题答案是．23．（2020·咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为______；证明：（2）如图1，是的直径，点在上，，相交于点D．求证：四边形是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．{解析}本题考查了对余四边形的定义、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，（1）分当∠A和∠C互余时，当∠B和∠D互余时，两种情况求解；（2）由圆周角定理得出∠BAM+∠BCN=90°，即∠BAD+∠BCD=90°，即可得出结论；（3）对余四边形的定义得出∠ADC=30°，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，则△BCD≌△BAF，∠FBD=60°，得出BF=BD，AF=CD，∠BDC=∠BFA，则△BFD是等边三角形，得出BF=BD=DF，易证∠BFA+∠ADB=30°，由∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF=180°，得出∠AFD+∠ADF=90°，则∠FAD=90°，由勾股定理即可得出结果．{答案}解：（1）∵四边形是对余四边形，当∠A和∠C互余时，∠A+∠C=90°，当∠B与∠D互余时，∠B+∠D=90°，则∠A+∠C=360°-90°=270°，故答案：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN=90°，即∠BAD+∠BCD=90°，

∴四边形ABCD是对余四边形；

（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2=BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠ADC=30°，∵AB=BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图