从数概念看数学的逻辑性和数学发展的规律VIP

从数概念看数学的逻辑性和数学发展的规律摘要：作为一种文化,数学科学已成为推动人类文明进步、知识创新的重要因素．大力发展数学教育,已成为一个国家提高科技水平、增强综合国力和持续发展能力的重要战略．因此，要发展数学教育就必须了解数学发展的规律及未来趋势．从数概念的逻辑性来看数学发展的规律，让我们更好地了解数学发展的方向．数学的发展关系到整个科学技术的发展，而科学技术是第一生产力，所以数学的发展是一件国家大事．社会的不断发展，生产的不断提高，为数学提供了无穷的源泉和新颖的课题，促使数和形的概念不断深化．由此推动了数学的不断前进，形成了多种多样的分支，使得数学这一科学日益壮大，在应用方面也越来越广泛深入．关键词：数概念，数学，逻辑性，发展规律.1引言学好数学概念是理解数学思想、运用数学方法、掌握基本技能、提高数学解题能力的前提．教师在教学中要转化观念，使课堂教学由知识型向能力型转化，切实搞好数学概念教学，充分发挥数学概念教学的指导作用，全面提高学生的数学素质．数学的概念从数的概念开始学起,学好了数概念后在从它的逻辑性看数学发展的规律．2什么是数2.1数的概念关于数的概念，到现在还没有统一的定义，不同的书目对数有不同的解释，如：商务印书馆，年版《现代汉语词典》解释：数是数学上表示事物的量的基本概念.而维基百科，自由的百科全书解释：数是种抽象的概念，用作表达数量.起初人们只觉得某部分的数是数，后来随着需要，逐步将数的概念扩大.例如：毕达哥拉斯认为，数必须能用整数和整数的比来表达，后来发现无理数无法这样表达.引起第一次数学危机，但人们渐渐接受无理数的存在，使数的概念得到扩展.数字是表达数的符号，是实质的事物，而数是概念，是抽象的事物.另外，《美国传统辞典》把数解释为：Amemberofthesetofpositiveintegers;oneofaseriesofsymbolsofuniquemeaninginafixedorderthatcanbederivedbycounting.2.2几种数的概念及性质2.2.1自然数自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数,即用数码、、、……所表示的数.简单说就是大于或等于的整数.自然数由开始，一个接一个，组成一个无穷集合.自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数.所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的.自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述.序数理论是意大利数学家皮亚诺提出来的.他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义：自然数集是指满足以下条件的集合：①中有一个元素，记作.②中每一个元素都能在中找到一个元素作为它的后继者.③不是任何元素的后继者.④不同元素有不同的后继者.⑤（归纳公理）的任一子集，如果，并且只要在中就能推出的后继者也在中，那么.2.2.2整数序列…，，，，，，…中的数称为整数.整数的全体构成整数集，它是一个环，记作．环的势是阿列夫.在整数系中，自然数为正整数，称为零，称、、、…、、…为负整数、正整数、零与负整数构成整数系.正整数是从古代以来人类计数的工具.可以说，从「一头牛,两头牛」或是「五个人、六个人」抽象化成正整数的过程是相当自然的.事实上，我们有时候把正整数叫做自然数.零不仅表示「无」，更是表示空位的符号.中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件.印度-阿拉伯命数 法中的零来自印度的字，其原意也是「空」或「空白」.中国最早引进了负数.《九章算术．方程》中论述的「正负数」，就是整数的加减法.减法的需要也促进了负整数的引入.减法运算可看作求解方程，如果,是自然数，则所给方程未必有自然数解.为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系..正整数、零、和负整数合称整数.整数是人类能够掌握的最基本的数学工具.十九世纪德国伟大数学家因此说：只有自然数是上帝创造的，其他的都是人类自己创造的．2.2.3有理数整数和分数统称为有理数.数学上，有理数是两个整数的比，通常写作，这里不为零.分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为的分数，当然亦是有理数.数学上，有理数是一个整数和一个非零整数的比，通常写作，故又称作分数.所有有理数的集合表示为，有理数的小数部分为有限或为循环.对于有理数的性质我有以下几点认识：⑴最大数和最小数：在正整数集合里，谁是最大数，谁是最小数呢？显然是最小数，但是没有最大数.比如说数是最大数，那么就比要大，所以正整数集合里没有最大数.在正有理数集合里，不但没有最大数，也没有最小数，没有最大数是比较明显的，可是也找不到最小数.例如：如果说最小,那么就更小了，再把这个除以、……，那就越来越小了，可是这种除法可以无限进行下去，所以在正有理数集合里没有最小数.但有人可能会说是最小数，这就错了，因为并不属于正有理数集合.然而在非负有理数集合里，就成为最小数了.在有理数集合里，既没有最大数，也没有最小数.因为如果说最大，那么就比大，所以没有最大数；如果说最小，那么就比小，所以也没有最小数.⑵稠密性：假如我们把所有的有理数都画在数轴上，那么在数轴上密密麻麻的都是有理数的对应点.说得准确些，在数轴上任意找出两个有理数点，那么在这两个有理数点之间还能找到一个有理数点.例如：这两个点对应的有理数分别是、，那么就在、之间，而且也是有理数.按照这个找平均数的方法就可以在、之间找到无数多个有理数点.可是，对于正整数集合来说就没有这个性质了.例如：在与之间，就再也找不到正整数了；在和之间也只有个正整数.因此，正整数集合并不具有稠密性.有理数集合往后发展，我们又学习了无理数，在数轴上添加了无理数点以后，数轴上的点就可以连在一起，没有间隔了.⑶顺序性：对于有理数集合中的任意两个有理数，我们都可以比较它们的大小，也就是可以按由大到小或由小到大的顺序把有理数排列起来.正整数集合和正有理数集合也都有这个性质.⑷四则运算：在有理数集合里除不能做除数以外，加、减、乘、除、乘方运算都可以实施.这就是说，两个有理数的和、差、积、商（不能做除数）都是有理数.一个有理数的正整数次幂也是有理数（实际上，非零有理数的次幂和非零有理数的负整数次幂都是有理数）.可是在正整数集合里就不是这样了，两个正整数的和与积是正整数，但是两个正整数的差就不一定是正整数了，如就不是正整数；两个正整数的商也不一定是正整数，如.所以，在正整数集合里只能实施加法、乘法、乘方运算.对正有理数集合来说，除了可以实施加法、乘法、乘方运算之外，对于除法（不能做除数）运算也可以实施了，可是减法运算还是不可以的.如，，这两个差都不属于正有理数集合.2.2.4无理数无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周率、的平方根等.有理数与无理数有如下区别：⑴把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如、、…而无理数只能写成无限不循环小数，

比如…根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数.⑵所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能，无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比.若将它写成小数形式，它会是有无限位数、非循环的小数.常见的无理数有大部分的平方根、和（其中后两者同时为超越数）等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式.无理数：无限不循环十进小数.例如…，圆周率…等.无理数是由于人们度量线段长度的需要而产生的，大约在年前，古希腊人发现以一个正方形的边为长度单位去量这个正方形的对角线，对角线的长度不能用有理数表示.原因是，根据勾股定理，能证明任何一个有理数的平方都不等于，从而证明了没有一个有理数能表示对角线的长度.为了使任意线段的长度都能用数表示，只好引进一种新的数，即无限不循环的十进小数，并称为无理数.有理数与无理数的关系：设为有理数，为无理数，则：，是无理数.2.2.5实数实数是相对于虚数的概念，是一种能和数轴上的点有一对一的对应关系的数.数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数.本来实数只唤作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”.实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类.实数集合通常用字母表示,而表示维实数空间.实数是不可数的.实数是实分析的核心研究对象.实数可以用来测量连续的量.理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）.在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后位，为正整数）.在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示.2.2.6复数⑴复数的代数形式：形如(，)的数叫复数，实数、

分别叫做实部和虚部.时，为实数；时，为虚数；若

且

时，叫做纯虚数.{复数}={实数}{虚数}，，，，，，.

复数

(，)可与直角坐标平面上的点建立一一对应的关系，建立了直角坐标平面来表示复数的平面叫做复平面，轴叫实轴，轴除去原点的部分叫虚轴.

复数

也可以用向量

来表示（其中为原点，为对应的点），要特别注意相等的向量表示相同的复数，

正半轴为始边，为终边的角叫做复数

的辐角，满足

的辐角叫辐角的主值，记为.复数

的模.

复数的模和辐角是研究复数问题的重要几何要素.

⑵复数的三角式：，其中为模，为辐角，显然，和分别就是实部和虚部.

⑶、，和

互为共轭复数，共轭复数的几何特征是复平面上对应的点关于实轴对称，

，这时复平面上对应点在实轴上；若且，为纯虚数，这时复平面上对应点在虚轴上.

共轭复数的代数特征是：

①；

②，（纯虚数或零）；

③.⑷由于复数集是实数集的扩充，数系扩充后，各种运算律（加法、乘法的交换律、结合律，加法对乘法的分配律）都全部保持，掌握这点对理解复数中的各运算法则，并灵活地运用很有好处.①不全是实数的两个复数之间没有大小关系.②复数的加减法的几何意义，分别是平行四边形的两条对角线，要注意所代表向量的方向：，，其中、、是平行四边形的四个顶点，当、、

三点共线时，可看成退化的平行四边形.③模的运算性质：，，.

④复数的开方：设，其中，则的次方根有个，它们是：

，，，…

其对应复平面上的点是把原点为圆心，为半径的圆分成

等份的点.3从数概念看数学的逻辑性和数学发展的规律逻辑通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合理的结论的规律.逻辑又有演绎逻辑、归纳逻辑、形式逻辑、非形式逻辑等不同类型.用符号表示命题、谓词、量词得到符号逻辑.符号逻辑常用来研究数学中的推理，也叫数理逻辑.二十世纪，数理逻辑发展迅速，它的四个主要分支：集合论、模型论、递归论、证明论已成为数学的重要学科.逻辑的含义是太丰富了.已成为数学、哲学、计算机科学，甚至每一门学科的基础.3.1数概念的逻辑性和数学学习的逻辑性借助于逻辑学的帮助而建立起来的数学体系，具有一个突出的特点，就是它在逻辑上的严密性.无论是在高等数学还是初等数学中，严密性都是至关重要的.虽然严密性是相对而言的，它随着科学及数学的发展在变化着.过去被大数学家认为是严密的证明，今天却因其不完善而被抛弃的情形也屡见不鲜.然而，严密性的要求毕竟在始终不断推进着数学研究的向前发展，它使数学（特别是在数学基础方面）在实质上和面貌上发生了很大的变化.基于这种意义，可以认为，现今以一组不证明的命题、一组不定义的术语为基础的公理数学，才是最严格最广泛最抽象的科学体系.今天，我们在大学或中学中学习数学，虽然没有必要过分强调演绎论证的训练，但必要的逻辑推理训练是不可少的，因为它是创造性数学思维中不可少的工具.3.2数学发展的规律数学是从数数、测量等人类生活的实际需要中发展起来的.在数学的发展过程中，包含着数学本身许多根本的变化，或者说是质的变化，而不是一些新定理的简单积累.因此，数学发展时产生的新理论总是把先前的成就包括到自身中来，把先前的成就加以精确化、补充和推广.数学发展的一般规律可以概括为以下几个方面：⑴数学不是任何一个历史时代、任何一个民族的单独产物，它是若干个时代、许多民族共同劳动的产物.数学最初的概念和原理早在远古时代就产生了，但是经过几千年世界各民族的共同努力，才发展到今天这样内容丰富、分支重多、应用广泛的庞大系统.⑵数学越发展，它的领域越广阔，概念越抽象，分支越重多，应用越广泛.而它的基础也就更加深化、更加牢固.数学在自己的发展中把新的材料添加到已经形成的领域中，形成新的方向，升到新的高度，产生广阔的边缘学科，彼此相互渗透，并使它的基础更加深化和坚实.⑶社会实践在数学的发展中起着重要的作用.社会实践向数学提出新的问题，刺激数学向某个方向发展，并且提供验证数学结论的真实性的唯一标准.从数学分析产生的这个例子可以清楚地看到这一点.正是力学和技术的发展提出了从一般的形态上研究变量间的依赖关系的问题.古代虽然也有朴素的极限思想，但是那时候的科学技术不发达，研究都停留在静力学和固定不变的范围内.到了研究运动的时候，变量的概念出现了，并且成了数学的研究对象，同时也产生了函数的概念.数学向研究变量和函数方面发展，随着就产生了微积分等数学分支.证明它反映了科学技术发展的某些客观规律，而在中世纪以前，生产水平的客观实际没有也不可能提出这些问题，因此当时也不可能产生微积分.数学发展的各个时期、各个分支的产生和发展都说明了这一点.⑷数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的.整个数学就是围绕着这两个概念的提炼、演变和发展而发展的.数学在各个领域中千变万化的应用也是通过这两个概念进行的.社会的不断发展，生产的不断提高，为数学提供了无穷的源泉和新颖的课题，促使数和形的概念不断深化，由此推动了数学的不断前进，形成了多种多样的分支，使数学这一科学日益壮大，在应用方面也越来越广泛深入.⑸数学以现实世界的空间形式和数量关系作为对象，为了在纯粹基础上研究这些形式和关系，必须和内容割裂开来.但是离开内容的形式和关系是不存在的，数学的形式和关系不能绝对地同内容无关.因此，数学按它的本质企图实现这种割裂，是企图实现一种不可能的事情，这就是数学的本质中的根本矛盾.这种矛盾是认识的普遍矛盾在数学方面的特殊表现.在越来越接近现实的各个认识阶段上不断解决和重复上述的矛盾，就是认识发展的本质.数学就是这样认识的，依上升的路线前进着，发展着，不断克服它的不精确性和局限性.⑹社会条件影响着数学的发展.数学受社会和政治影响很大，几何在古希腊最发达时期的辉煌进步，代数在意大利文艺复兴时期的成就，数学分析在英国产业革命后的发展，数学在法国资产阶级革命时代的进展，苏联十月革命后的成就，我国解放后数学面貌焕然一新，这些都说明社会的进步、经济的繁荣会极大地推动数学的发展.而在中世纪黑暗的欧洲，在国民党反动统治下的中国，数学却停滞不前.3.3逻辑与数学的关系一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学.数学与逻辑的发展是密切相关的，它们相互影响互相推进反过来逻辑发展.总之，不论是从数学与逻辑学的关系看，还是从中国数学史研究现状、中国古代逻辑史研究现状看，把中国传统数学与中国古代逻辑结合起来研究不仅具有理论、方法论的创新意义，而且有可能找到解决一些悬而未决问题(例如“李约瑟之谜”)的突破口，也有可能通过这一主题的研究，为今天我国之数学创新与进步或逻辑学研究与发展提供某种借鉴.3.4数学发展规律对学生逻辑思维能力的培养逻辑思维是借助于概念、判断、推理等思维形式所进行的思考活动，是一种有条件、有步骤、有根据、渐进式的思维方式，是小学生数学能力的核心.因此，在小学数学教学中必须着力培养学生的逻辑思维能力.⑴要重视思维过程的组织要培养学生的逻辑思维能力，就必须把学生组织到对所学数学内容的分析和综合、比较和对照、抽象和概括、判断和推理等思维的过程中来.教学中要重视下列思维过程的组织:第一，提供感性材料，组织从感性到理性的抽象概括.从具体的感性表象向抽象的理性思考启动，是小学生逻辑思维的显著特征、随着学生对具体材料感知数量的增多、程度的增强，逻辑思维也渐次开始.因此，教学中教师必须为学生提供充分的感性材料，并组织好他们对感性材料从感知到抽象的活动过程，从而帮助他们建立新的概念.第二，指导积极迁移，推进旧知向新知转化的过程.数学教学的过程，是学生在教师的指导下系统地学习前人间接知识的过程，而指导学生知识的积极迁移，推进旧知向新知转化的过程，正是学生继承前人经验的一条捷径.数学教材各部分内容之间都潜含着共同因素，因而使它们之间有机地联系着：挖掘这种因素，沟通其联系，指导学生将已知迁移到未知、将新知同化到旧知，让学生用已获得的判断进行推理，再获得新的判断，从而扩展他们的认知结构.为此，一方面在教学新知时，要注意唤起已学过的有关旧知.另一方面要为类比新知及早铺垫.第三，强化练习指导，促进从一般到个别的运用.学生学习数学时、了解概念，认识原理，掌握方法，不仅要经历从个别到一般的发展过程，而且要从一般回到个别，即把一般的规律运用于解决个别的问题，这就是伴随思维过程而发生的知识具体化的过程.因此，一要加强基本练习，注重基本原理的理解；二要加强变式练习，使学生在不同的数学意境中实现知识的具体化，进而获得更一般更概括的理解；三要重视练习中的比较，使学生获得更为具体更为精确的认识；四要加强实践操作练习，促进学生“动作思维”.第四，指导分类、整理，促进思维的系统化.教学中指导学生把所学的知识，按照一定的标准或特点进行梳理、分类、整合，可使学生的认识组成某种序列，形成一定的结构，结成一个整体，从而促进思维的系统化.例如出示各种类型的循环小数，让学生自定标准进行分类，使之在学生头脑中有个“泛化----集中”的过程，以达到思维的系统化，获得结构性的认识.⑵要重视寻求正确思维方向的训练首先指导学生认识思维的方向问题，逻辑思维具有多向性.①顺向性.这种思维是以问题的某一条件与某一答案的联系为基础进行的，其方向只集中于某一个方面，对问题只寻求一种正确答案.也就是思维时直接利用已有的条件，通过概括和推理得出正确结论的思维方法.②逆向性.与顺向性思维方法相反，逆向性思维是从问题出发，寻求与问题相关联的条件，将只从一个方面起作用的单向联想，变为从两个方面起作用的双向联想的思维方法.③横向性.这种思维是以所给的知识为中心，从局部或侧面进行探索，把问题变换成另一种情况，唤起学生对已有知识的回忆，沟通知识的内在联系，从而开阔思路.④散向性.这种思维，就是发散思维.它的思维方式与集中思维相反，是从不同的角度、方向和侧面进行思考，因而产生多种的、新颖的设想和答案.4数学的发展与未来世纪数学的发展是空前的，特别是最近年，可以说是数学发展的黄金时代,数学的基本理论更加深入和完善.计算机的发展给数学带来革命性变革，数学的应用更加广泛和直接，今日的数学已不再是代数、几何等传统分支的简单集合.如果说物理学是研究时间、质量和能量的话，则当代数学是研究模式、结构和模拟现实的科学、数学的研究方式产生了巨大的变化.今天的数学研究已不再是仅仅靠一张纸、一支笔便可完成的，计算机对于数学家，已经像显微镜对于医学家，望远镜对于天文学家一样不可缺少.计算机是数学家的实验室，数学实验已成为大学生的必修课.计算机的作用在于使数学原理得以实现，为数学的应用开辟了无限广阔的天地.作为整个科学技术基础的数学，正突破传统的范围而向人类一切知识领域渗透，促进着科学和经济的快速发展.作为一种文化，数学科学已成为推动人类文明进化、知识创新的重要因素，将更深刻地改变着客