2023届湖南省三湘名校高三上学期第二次大联考数学理试题(word版)

PAGE三湘名校教育联盟·2023届高三第二次大联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.已经集合，，那么A.B.C.D.【答案】C2.复数的共轭复数为A.B.C.D.【答案】C3.以下有关命题的说法正确的选项是A.假设为假命题，那么均为假命题B.是的必要不充分条件C.命题假设那么的逆否命题为真命题D.命题使得的否认是：均有【答案】C4.等差数列的前项和为，，，那么数列的前2023项和为A.B.C.D.【答案】A5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，那么共有分配方案A.81种B.256种C.24种D.36种【答案】D6.2023年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜测，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为?论小于某值的素数个数?的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜测.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.假设根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为〔素数即质数，，计算结果取整数〕A.1089B.1086C.434D.145【答案】B7.满足，且，那么的最小值为〔〕A.B.C.D.10【答案】C8.某几何体的三视图如下图，其中，正视图中的曲线为圆弧，那么该几何体的体积为A.B.64－4πC.64－6πD.64－8π【答案】B9.直线，，点P为抛物线上的任一点，那么P到直线l1，l2的距离之和的最小值为A.2B.C.1D.【答案】B10.，满足约束条件，假设的取值集合为，且，那么实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】D11.函数，假设方程恰有两个不同的实数根，那么的最大值是A.-1B.C.D.【答案】B12.函数，，对任意的恒有，且在区间上有且只有一个使得，那么的最大值为A.B.8C.D.【答案】C二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.倾斜角为的直线的斜率等于双曲线的离心率，那么__________．【答案】14.在区间内任取一个实数，在区间内任取一个实数，那么点位于曲线的图像上方的概率为__________．【答案】15.如图，在同一平面内，点位于两平行直线，同侧，且到，的距离分别为1，2.点，分别在，上，，那么的最大值为__________．【答案】616.如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且，假设、分别为线段、上的动点，那么的最小值为__________．【答案】三、解答题：共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.〔一〕必考题：60分17.在中，角所对的边分别为，.〔1〕求的值；〔2〕假设为边上的点，且，求的长.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)CD=13．【解析】试题分析:〔1〕先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简可得，最后根据两角和余弦公式求的值；〔2〕先根据正弦定理求得BD，再根据余弦定理求的长.试题解析：(Ⅰ)解：由得：即∵A、B、C是△ABC的内角，∴因此，，又，故由得：∴(Ⅱ)解：由得：由正弦定理得：，∴在△BCD中，∴CD=13．18.如图，菱形与正所在平面互相垂直，平面，，.〔1〕证明：平面；〔2〕假设，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析〔2〕【解析】【分析】〔1〕过点作于，由面面垂直的性质可知平面，又平面，可得，即四边形为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；〔2〕分别以，，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：〔1〕如图，过点作于，连接EH，∴.∵平面平面，平面，平面平面于∴平面.又∵平面，.∴，∴四边形为平行四边形.∴，∵平面，平面，∴平面.〔2〕连接.由〔1〕得为中点，又，为等边三角形，∴.分别以，，为轴建立如下图的空间直角坐标系.那么，，，.，，，设平面的法向量为.由，得令，得.，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】此题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和距离.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大说明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一等品；当时，产品为二等品；当时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.〔以下均视频率为概率〕甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组频数10304020乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组频数1015253020〔1〕假设从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；〔2〕假设该产品的利润率与质量指标值满足关系：，其中，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由.【答案】〔1〕〔2〕甲【解析】【分析】〔1〕先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；〔2〕分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比拟大小即可得到结论.【详解】解：〔1〕由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为，所以.〔2〕甲生产线生产的产品的利润分布列为0.60.4所以，乙生产线生产的产品的利润分布列为0.50.40.1所以，因为，所以所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．【点睛】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法.20.椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？假设过，求出定点坐标，假设不过，请说明理由.【答案】〔1〕〔2〕详见解析【解析】【分析】〔1〕由椭圆离心率结合得到a,b,c之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b的值，从而得到椭圆方程;〔2〕当直线l斜率不存在时，得到为直径的圆的方程，当直线l斜率为0时，得到为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q，然后只需证明当直线的斜率存在且不为0时为直径的圆恒过点Q即可.【详解】解：〔1〕由题意，，，所以，.又，，所以，，故椭圆的方程为〔2〕当轴时，以为直径的圆的方程为当轴时，以为直径的圆的方程为.可得两圆交点为．由此可知，假设以为直径的圆恒过定点，那么该定点必为．下证符合题意．设直线的斜率存在，且不为0，那么方程为，代入并整理得，设，，那么，，所以故，即在以为直径的圆上．综上，以为直径的圆恒过定点．【点睛】此题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.函数.〔1〕求函数在区间上的最大值；〔2〕证明：，.【答案】〔1〕〔2〕证明过程详见解析【解析】【分析】〔1〕对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的最值;〔2〕由题意可知只需证明结合〔1〕的单调性和最值即可得到证明.【详解】解：〔1〕，，知：在和上递减，在上递增，当时，；当时，，故〔2〕由〔1〕知在和上递减，在上递增，①当时，，而，故在上递增，∴，∴，即；②当时，，令，那么，故在上递增，上递减，∴∴，即，综上，，.【点睛】此题考查利用导数求函数的最值和证明不等式问题,考查学生的综合分析能力.〔二〕选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为.〔1〕写出曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；〔2〕假设直线与曲线交于点〔不同于原点〕，与直线交于点，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】(1)先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2)将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】〔1〕∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为〔t为参数〕，∴．∴直线l的极坐标方程为．〔2〕将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】此题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于根底题．23.函数.〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设不等式有解，求实数的取值范围.【答案】〔1〕