考研辅导讲课题

考研辅导题(数二)

第二章、导数与微分

一、导数概念

1.一点的导数

2.左右导数

3.区间上可导函数

4.f(x)在Xo可导=左右导数存在且相等。

/(x+Ar)-/(x-A.r)

例1：hm1一02-----J°0------=

&Ax

「m/a)=

例2：设广(°)=AJ(0)=0,则a。sinx

r/(X).

lim----=A

反过来，若已知f(x)连续且i°sinx,问/'(0)=.

例3：设f(x)=lx-al火x),其中夕在x=a连续,且求

例4：设f(x)是偶函数，广(0)存在,求/'(0)。

例5：/(x)=x(x-l)(x-2)---(x-9),^/(0)。

二。、导数的几何意义与物理意义

1.几何意义：切线斜率。特别，导数为无穷大，对应切线是铅直的。

(二元函数偏导数的几何意义是什么？)

2.物理意义：变化率。

注：隐函数，由参数方程确定的函数的曲线的切线放在相关部分讲。

例6：(10年，4分)曲线y=x)与y="lnx(aH0)相切，贝U

a=A)4e8)3eC)2eD)e

例7：设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x,于是分布在区间［0,11上细棒

的质量si是％的函数m=m(x)■应怎样确定细棒在点x()处的线密度(对于均匀细棒来说，

单位长度细棒的质量叫作这细棒的线密度)？

例8：(10年，4分)已知一个长方形长/以2c，〃/s速率增加，宽卬以3c加/5速率增加。当

/=12cm,w—5cm时，其对角线增加的速率是.

三、导数计算

1.四则运算法则

2.反函数求导法则

3.复合函数求导法则

4.隐函数求导法则，对数求导法

5.参数方程表示的函数的求导法则

6.抽象函数的求导

7.用定义求导

例9：用定义求导

(1)已知f(x)是(一8,8)上非零函数，对(一8尸)，有/(x+y)=/(x)・/(y),且

/(0)=1,求广(幻

(2)次(x)=x[文求/").

例10：复合函数求导

(1)求函数y=Ju+777^的导数

-sin2-

(2)y=ex

.2t

(3)y-arcsin---

l+t2T

(4)y=sec22X.

例11.隐函数求导

⑴.y=y(x)由2冲=x+y确定,则力。=()。(00-2)

d2y=

y[>2------------

(2)(09年，4分)设y=y(x)由方程孙+&】确定，则

(3)(08年，4分)曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在(0,1)处的切线方程是

_(.+1)办-1

⑷)‘一(-4)2"'求导

(5)设y=x(sinx)o°",求y'.

例12.参数方程求导

x=2t2+td-y.

设)=5r+41Rz

(I)

(2)证明x=e'sinf，y=e'cost满足方程(x+y)?仁^=2(x@—y)

dxdx

(3)(02数2)已知曲线的极坐标方程是r=l—cose,求该曲线上对应于菅处的切线与法线的直角

坐标方程。

x=(l-cos^)cos^

注意:曲线的极坐标方程可化为直角坐标下的参数方程。化为参数方程:

y=(l-cos^)sin<9

例13.抽象函数求导。

设f(u)是二阶可导函数，求下述函数的二阶导数

⑴y=f(ex);(2)y=/(sinx)

四、高阶导数

1.直接法

2.间接法

3.四则运算法则

(“.丫严=£c”i)产

k=0

4.五大公式

("严=e，

(sinfcc严=k"sin(fct+〃・马(coskx)(n}=k"cos(kx+n--)

22

(xa)(,,)=«(«-1)•••(«-/?+l)xa-n

(Inx)<">=(-I)-1笥？4严>=(-1)M多

例14：莱卜尼茨法则

设y=x2e2，，求y。。)

例15.间接法

⑴设y=£求严.

(2)y=sin*23xcos5x,求

例16.直接法

设y=*lnx,求/(")(1)。

五、微分

1.微分的概念

2.可微条件

3彳散分计算

微分法则：

J(M±v)—du±dvd(Cu)-Cdu

⑴」,、.,」/〃、vdu-udv

a{uv)=van+adva(—)=----z--------

vv

(2)微分形式的不变性

无论x是自变量还是中间变量，函数y=/(x)的微分形式总是dy=f'(x)dx

例17.微分概念

若函数/(*)为可微函数，则功()

(A)与心无关；(B)为Ax的线性函数;

(C)当Ax10时为Ax的高阶无穷小；

(D)与Ar为等价无穷小.

例18.微分计算

(1)设y=e'_3xcosx,求dy.

(2)y=(1)求函数的微分；

2)求dy；(3)求函数在x=0点的微分;

4)求函数在x=0,Ax=0.1时的微分；

5)填空dy=e2*d+x2d

第三章、导数应用

一、中值定理

1.极值、最值概念

2.费马定理及其证明

证明：对极小点考虑。£(Xo)=lim小)二"小20,f；(x0)=lim

XTXoX—XQ*TX+()X—XQ

而一(X。)存在，所以,/'(%)=£(%)=6(%),从而八%)=0.

3.三个中值定理的几何解释

4.泰勒定理的条件及两个不同的余项表示

定理涉及的函数定理条件结论的意义备注

RolleThf(x)3个条件切线斜率

LagrangeThf(X)2个条件

CauchyThf(x)和g(x)3个条件分母不为零的

条件如何保证

TaylorThf(X)1个条件用多项式近似函数

注：中值定理是大范围成立的结论。尤其是泰勒定理，有多种表述方式。

定理：设f(x)在区间(a,b)中有直到n+1阶的导数，则对区间中任一点/,函数f(x)可以用泰

勒多项式来近似,这一近似的误差(余项)是

A=Ok!

4(尤)=--------(x-10)向，在x与%之间--------Lagrange余项

(〃+1)!

把区间缩小为毛的邻域，则可用pien。余项：Rfl(x)=o[(x-xQy].

由于只在飞的邻域中讨论问题，这一余项主要用于处理极限问题。

例1：泰勒中值定理本身题

(1)(03年，4分)y=2、的麦克洛林公式中/的系数是

⑵把f(x)=6按x-4的事展开为Lagrange余项的3解泰勒公式。

例2.讨论“存在一点”的问题

(1)(08,4分)设—I)。—2),则广(光)的零点个数是

A)0B)1C)2D)3.

(2)设f(x)在(0,1)上可导，在［0,1］上连续，f(0)=f(l)=0,求证：至少存在一点Je(0,1),

使/'C)+/C)=o.

证明:一般先考虑用罗尔定理。为此要构造函数。令F(x)=e"(x),F(0)=F(l)=0则满足罗

尔定理条件，根据/'(x)=e%/(x)+/'(x)),立即得证。

(3)设f(x)在［0,1］上可微，对［0,1］上每个x,函数f(x)的值都在(0,1)内，且/求证：

在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x.

(4)设f(x)在［1,2］上可微。证明：存在一点共(1,2),使/(2)-2/⑴=疗'0-/《).

证明：因为筲所以考虑构造函数歹(x)="»。但分母去不掉,

X

,一'(X)--(X)

因此重新考虑用Cauchy定理，令F(X)=3,G(X)=L则学。=-----£-----

XX(J(X)

二、极限计算

常用结论:

limyjn=1,limyfk=1,

“—>8M->oo

lim'/=0,lim—=0,ykeN+

〃―>8〃〃一e"

例3：(1)lim(———y)

sin-xx

(2)limInxln(l-x)

(3)limx2(l-xsin—)2.

A：—>+©o]

(4)lim(---arctann),nw.

“T82

三、方程根

方程根的问题用零值定理证明存在性，用单调性或洛尔定理证明唯一性。如果要判别根的个

数，就要利用函数图形。

例：方程x3-3x+l=0的实根的范围与个数

解：令/(x)=x3-3x+l,fXx)=3x2-3,/"(x)=6x。驻点x=±l.分别是极小

与极大值。f(-l)=3,f(l)=-l.而/(-8)=一8,/(8)=8.草图是

例4.求证：方程x"+x"T+…+》=1(〃>1)在©I］上有且只有一个实根。

证明：令/(x)=x"+x"T+…+x-i(rt>1),则f(0)=-l,f(l)=n,根据零值定理，存在根。

f(x)=nx"~'+(n-l)x"-2+-■•+2x+1(n>1),在［0,1］上/'(x)>0,所以函数单调，因此

只能有一个零点。

例5.讨论方程xe-'=a(a>0)有几个实根。

解：令/(工)=犯-*-。(a>0),则/'(x)=eT(l-x)J"(x)=—eT(2-x),驻点x=l对应

Y

极大点，/(I)=e-1-a,/(-oo)=lim(xe~x-a)=-0o,/(oo)=lim(--a)--a.

X—>-coX-g'

例6.使/(x)=2x3—9f+I2x-a恰有两个不同零点的a应等于

A)2B)4C)6D)8.

解：f\x)=6x2-18x+12=6(x2-3x+2),/"(x)=6(2x-3),

x=l是极大点,x=2是极小点。f(l)=是a,f(2)=6-a,f(-<»)=-<»,f(oo)=oo.

四、等式与不等式

可以用中值定理，单调性，凹凸性，最大最小值，泰勒定理等等一系列手段处理不等式，注

意区分。

例7.设a>b>0,求证：-~-<In—<-——.

abb

证明：令/(x)=Inx,在g,a］上,f"a)=［［1,1］.

b-aWab

x+y„„、

例8.求证:xlnx+yIny>(x+y)ln—^-,zU>0,y>0,x^y)

证明：令f(x)=xlnx(x>0),则/"(x)=L>0,所以，对应曲线是凹的。根据凹函数定义,

X

〃x+y:/(x)+/()，)

J22

例8'：求证:当0<x<l时,4/+,23

x

I।7

证明：令/。)=4父+——3J'(x)=8x--+F>0.所以，在[0,1]上函数

XXX

是凹函数，驻点x=l/2取最小值f(l/2)=0,既然是最小值就有/(x"0.

例9：设xe(0,1),求证：(l+x)ln2(l+x)<x2»

证明：令/(x)=(l+x)ln2(l+x)-炉，则广(x)=ln2(l+x)+21n(l+x)-2x

/〃/、21n(l+x)2_21n(l+x)2x

j(x)=--------------+----------2=-------------------------

l+xl+xl+x1+X

12x7T

例10.求证：当冗21,arctanx——arccos——=—.

21+V4

]2x

证明：令/(x)=arctanx——arccos-r，贝U

21+x2

,1112(1+/)-2，.2%

'"=仃+/1/2X、2(1+7)2

[I"

1,12(T)11c

1+x22ll-x2l(l+x2)1+x21+X2■

ITT7T

所以，f(x)为常数。因为,⑴二arctanl-^arccosl=^一0二^，

该常数就是工TT。

4

五、函数性态

单调区间与凹凸区间

极值与最值，(可导函数与不可导函数的求法有区别)

斜渐近线

2x3

例11.(10,4分)y=上行的渐近线方程是.

1+x~

例12.(07,4分)曲线y=L+ln(l+/)的渐近线的条数

X

A)0B)1C)2D)3

例13.(01,3分)y=(x-l)2(x-3)2的拐点个数

A)0B)1C)2D)3

例14.求证：/(x)=(l+，)'在0+8)内单调增加。

x

例14：求方程+y=0所确定的函数的极值。

2x!yz

解：(2xy+xy')e+y=0»解出/=~~2型］,得驻点x=o或y=0.把x=0代入方程得y=-l,把y=0

1+一户

代入知不满足方程，因此驻点只有一个：(0,-1).

,,_(-2y-2到'-2x)，(2xy+x2y'))产-户(2x+/(2孙+-'))_

y小(1+八"电T>一

或者在(2xy+x2y)exy+/=0上再求导，(2y+2xy+2xyr+x2yr)exy+(2xy+x2y')2ex2y+y/z=0>

(-2)e°+(0)2e°+y"=0ny”=2«因此，(0,-1)对应极小。极小值是-1.

例15,设(x)的导数在x=a连续，又1而上凶=一1,贝口

Xux-a

A)x=a是f(x)的极小值点B)x=a是f(x)的极大值点

C)(a,/(a))是函数的拐点D))x=a不是极值点，色，/伍))也不是函数的拐点

例16.f(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=0,lim=2,则在x=0处

XT。l-cosx

A)不可导B)可导且广(0)HOC)取得最大值D)取得最小值

例17.y=f(x)是)，〃—2y'+4y=0的一个解，且/(x0)>0J'(x0)=0,则在丫处

Ao

A)取得最大值B)取得最小值C)某邻域内单调增加D)某邻域内单调减少。

六、曲率

弧微分：ds=[1+y"dx,ds=y/(p2+l///2dt

曲率：KI3U-dU\

例18.求》=?一¥在仪》)处的曲率半径。

例19.求y=lnx上曲率最大的点。

第四章、一元积分学

1.原函数概念

2.定积分的牛顿-莱卜尼茨公式

3.变上限积分的性质

4.广义积分收敛的概念

一、原函数，不定积分

例1.已知/'(Inx)=1+Inx,则/(x)=.

例2.己知f(x)的一个原函数是h?x，则\xf\x)dx=

例3./'(")=xe-\f(X)=0,则f(x)=.

二、定积分的性质

例4.(03,4分)设《==贝iJ

A)I]>/2>1；>12;C)/2>/,>1;£>)1>/,>/,.

三、变上限积分

d0

例5.—jxcosrJz

x2

d*x

例6.—卜—

dxo

1U>0).

例7.设/(x)=0(x=O),E(x)=J/⑺力，则

-l(x<0)°

A)F(x)在x=0不连续；B)F(x)在(-8,8)连续但在x=0不可导;

B)F(x)在(-8,8)可导且尸'(x)=/(x)；D)F(x)在(一8尸)可导但不一定有f'(x)=/(x).

例8j(x)=fsin/力,g(x)=J+J,则当X70时f(x)是g(x)的

056

A)低阶无穷小；B)高阶无穷小；。等价无穷小；D)同阶但不等价的无穷小。

X।

例9.求/(X)=j产号节力在区间上的最大值。

四、积分计算

例10.分部积分

•lnx-1

(1)---------dfx

x

,rlnO+x)

(2)

2

x-arctanx.

(3)-------z-dx

1+x2

42

XCOS

(4)—dx

s.nr3x

例11.换元积分

1

(1)jx3《2-x2dx

o

1/4

⑵J注dx

1-yfx

0

例12.指数函数积分

dx

(1)

ex+e2~x

i

，nrexylex-ldx

(2)

eA+3

例13.代数函数积分

3分)1r/dx口

rr+5

(2)(99,3分)[----------dx

JX2-6X+13

r1

(3)(01,6分)dx

(2x2+l)Vx2+l

例14.分段函数积分

(2)Jmin(——,x2)dx.

-2।%।

例15.分部积分应用

X

/(x)=^e~rdt1

(1)设।,求]7(x)dx

0

x~1

(2)f(x)=J，*力，求^xf(x)dx.

1'0

例16.积分证明

XXM

(1)设f(x)连续，求证：j/(w)(x-w)^w=j(Jf(t)dt)du.

ooo

aa

(2)设f(x)连续，求证：j/(x)Jx=^f(a-x)dx

oo

五、广义积分

1dx

例17.(1)(97,3分)

J+4x+8

3/2I

(2)J,9dx

1/2\lX—XI

六、定积分应用

1.函数平均值

2.用于计算极限

例18.求y=在J,亚］上的平均值。

11"22

1

例19.用定积分定义计算\x2dx.

七、定积分的几何与物理应用

平面图形的面积，立体体积，旋转体侧面积

功，水压力，引力

例20.（98,3分）曲线丁=一/+/+23与x轴围成图形的面积=

例21.（03,4分）曲线极坐标方程是0=e""a>O）,则该曲线上相应于。从0变到2万的一

段弧与极轴围成图形的面积是.

例22.设曲线/1：），=1一/（0工；（:《1）与乂轴，丫轴围成区域被曲线/2»=以2色>0）分成面

积相等的两块，试确定a.

例23.若沙的比重是2.为倒满一个半径为r,高h的圆锥形沙堆，要做功多少？

例24.半径为r的球沉入水中与水面齐平相切。球比重是1.问把球捞出要做功多少？

第五章、多元微分学

除了方向导数与几何应用外都要。

一.偏导数、全微分

1.初等函数用公式求

2.分段函数用定义求

3.复合函数的导数：三种类型2个记号。

⑴z=f(u,v),u-(p(x,y),V=y)

(2)z=f(u,v),u=v=»全导数

(3)z=/(〃),〃=火x,y)

2个记号涉及：(1)z=/(x,〃,y),“二夕(也》)/=夕(苍)，)其中Z》与£•的区别

⑵fH

例1.(04,10分)2=/，一y2,二),其中£有连续偏导数，求

oxoyoxoy

例2.(09,10分)设％=f(x+y,x-y,xy)t其中f有二阶连续偏导数，求dz及2J

uxdy

例3.〃二一y2"，求dz.

例4.设f(u)可微且/(0)=；，则z=/(4%2一〉2)在([,2)处的全微分dz,2)=

(x+ay)dx+ydy

例5.已知——上~~为某函数的全微分，贝Ua=—

(中)2

A)-lB)0C)1D)2.

：、化简表达式或偏微分方程

^2^2^2

例6.(01,11分)设u=f(x,y)有二阶连续偏导数且满足4T+12＜〈-+5W=0,确定a,b使等式在

oxdxdyoy~

变换J=x+ay,rj-x+by之下化简为、…=0

■喇

2\2^\2Q%

例7.设Z=〃(X,y)e"E,其中u(x,y)满足=0.求a使：一—•一卓+z=0.

dxdyoxoyoxoy

三、隐函数求导

不需要方程组的形式。

例8.(07,11分)已知f(u)有二阶导数，广(0)=1,而y=y(x)由y-找'"=1确定。设

1=/(111了一$皿幻,求・1=0，，

例9.z=z(x,y)由方程z-y-x+xe'-'T=0确定，求dz.

例10.u=f(x,y)有连续偏导数，y=y(x0和z=z(x)分别由e"—y=0,和e‘一位=0确定,

四、极限，连续，可导与可微的关系

1.二重极限与二次极限的区别

2.二重极限lim/(P)存在的充要条件是对与邻域中任意点P以任意方式趋近马时,

函数f(P)的极限都相等。

(二重极限lim/(P)不存在的充分条件呢？)

-%

3.可微的概念。

例11.求证：(1)极限lim」坦一不存在。

x+y

XT0

y-»0

(2)极限lim—―不存在。

X+/

XTO

JTO

例12.证明：/(x,y)=J由在(0,0)连续，可导但不可微。

2

xy

例13.求证：/(x,y)=<x4+y2在(0,0)不连续但可导。

0(x,y)=(0,0)

五、极值、最值应用

例14.求z=/y(4—x—y)在直线x+y=6,x轴，y轴围成的闭区域D上的极值与最值。

例例求隐函数留一6盯+10/一2户一/+18=0的极值。

P

例16.生产某种产品要投入两种要素。X1,%2是两要素的投入量,Q为产出量。若生产函数为Q=2X^X2,

其中常数a,4满足a+£=1。假设两要素价格分别是P1,外。问：当产出量是12时，两要素

各投入多少可使总投入费用最少？

例17.求/。,y)=》2->2+2在椭圆/)={0,)91》2+)-<1}上最值。

4

第六章、重积分

一、重积分性质

例1.根据几何意义确定积分值

(1)JJ(〃-+J)dxdy,D:x2+y2<a2.

D

(2)jj(/?-y/x2+y2)dxdy,D:x2y2<a2(b>a>O').

D

例2.比较积分大小

22222

Ix=jj(x-y)dxdyj2=-y)dxdy,£):(x-2)4-y<1.

DD

例3.估计积分值jj(x+y)dxdy,D:(x-2)2+(y-l)2<2.

D

二、直接计算重积分

例4.^ydxdy,D\x,y轴与曲线二1围成的区域，a>0,b>0.

D

例5,jj(x+y)dxdy.D:x2+y2<x+y+1.

D

三、特殊表示

例6.设f(x)在(0,1)上连续，并设=A，求JdxJ/(x)/'(y)dy.

0Ox

例7.D:x2y2<y,x>0./在区域D上连续且/(x,y)=^l-x2-y2^f(u,v)dudv,

71D

求f(x,y).

四、交换积分次序或坐标系

例8.计算JJ(++

x2+y2^R2“

22

例9.计算^dx^e~ydy,

oA.

-1y+2oy2

例io.换序JdyJ/(x,y)Jx+jdyJf(x,y)dx.

-2o-io

0

例11.用极坐标计算

五、分段计算

例12.(08,11分)Jjmax{xy,£)={(x,y)10<x<2,0<y<2}.

D

[x2(Ixl+lyKl)

例13.(07.11分)/(x,y)=(1(iqH+lv&2)求IIf(x,y)dxdy.

六、利用对称性

例14.(06,10分)Z)={(x,y)lx2+VWl,x20},计算]―,dxdy.

jfl+x-+y-

1,x2+y2<l

例15,求f(x,y)dxdy.其中f(x,y)=<