考研高数整理

「定义：几何意义、微元法

£[«/,(%)+bg(x)]dx=a^f(x)dx+“g(x)dx

ff(x)dx=1f(u)du+ff3dt

性质比较定理：f(x)>g(x)=>ff(x)dx>fg(x)dx

JaJa

积分中值定理：，/(x)dx=

定义：原函数

Q/（x）为奇函数

黑器法定积小If(x)dx=<

不定积分J-a2「/（x）dx,/（x）为偶函数

积分法

分部积分法

⑺力“34’扩展了求导公式

微积分基本定理

〔将定积分转化为不定积分

f/(x)dx="b)—尸⑷

"平面图形的面积

简单儿何体的体积

儿何

应用曲线弧长*（数学一、二）

旋转曲面面积*（数学一、二）

物理*（数学一、二）：功、质心、压力...

定义与性质

.1选择积分次序(被积函数、积分区域)

直角坐后q定限

二重积分，化为累次积分•适用范围：/(x,y)中含区域为圆或与圆相关

计算＜

极坐标:，转换公式y)dxdy=jj/(rcos^,rsin3)rdrd0

DD

.定限

对称性：奇偶性，轮换对称性

重积分

定义与性质

.先一后二：定积分+二重积分

直角坐标或柱面坐标•

先二后一：二重积分+定积分

三重积分*(数学一)，化为累次积分•适用范围：中含/+；/+*区域为球体椎体或与之相关

计算•

球面坐标r转换公式y,z)dv=jjj/(rsinpcos0,rsin°sin9,rcos(p)r2sin(pdrdcpdO

Qc

、定限

对称性：奇偶性，轮换对称性

物理意义：曲线型物件的质量、曲线弧长

定义，

性质

第一类

,[f(x,y,z)ds=f/(x(f),y"),z«))J(x⑺,+()，())一+卜,"))\2dt

计算:

对称性：奇偶性，轮换对称性

物理意义：变力沿曲线做功

定义性质

两类曲线积分的关系jPdx+Qdy+Rdz=j[Pcosa+Qcos夕+Rcos丹ds

曲线积分*（数学一乂

计算：jPdx+Qdy+Rdz=f[xQ)P+y'(f)Q+〃(注意上下限)

第二类

’积分曲线不闭合：补上简单曲线

计算曲线积分

被积函数不连续：补上闭合曲线圈出不连续点

积分与路径无关的条件与啜

格林公式£Pdx+Qdy=jj

DdxdyJ

二元函数的全微分

’物理意义:曲面型物件的质量、曲面面积

定义＜

性质

第一类

先代入再投影JJ7(x,y,z)dS=J]7(x,y,z(x,y))Jl+z；+zjdxdyt

计算:SD

对称性：奇偶性，轮换对称性

物理意义：单位时间内通过曲面的流体体积、通量

性质

定义，

|JPdydz+Qdzdx+Rdxdy=Pcosa+Qcos/3+Rcosy]dS

曲面积分*（数学一〉两类曲面积分的关系

(dydz,dzdx,dxdy)=(cosa,cos/3,cosdS

第二类＜计算（先代入再投影）：=JjR（/,y,z（x,y））dxd）（上侧）

一|2分

（dPdQ积分曲面不闭合：补上简单曲面

高斯公式JJ,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=

dydz）［被积函数不连续：补上闭合曲面圈出不连续点

dydzdzdxdxdy

斯托克斯公式JP”x+Qt/y+/Wz=口祟一学dydz+俘-用dz“x+俘一明dxdy='

*②&Jydzox)Sxdy)yoxdydz

PQR

力〃

-、

定义y台“=…lim白Va.,

绝对收敛、条件收敛

80000

E（%+）=aZ+匕Z匕，

?i=ln=\"=|

收敛的级数可以任意加括号

性质•

改变有限项不影响收敛性

8

收敛：=0

”一>8

”=1

常数项级数，

lim—<oo,^匕，收敛n“收敛

匕？n=\/i=l

极限判别法■

lim—>0,^〃“收敛n£匕,收敛

、匕।n=\〃=1

正项级数（比较），l1,£应,收敛

判别法《

”=1

级数*（数学一、三）■

比值与根植：lim%±L=r或lim57=广r>1,£M“发散

〃一>8IJH—>00”

unM=1

r=l,未定

、交错级数：莱布尼兹判别法

‘阿贝尔定理T收敛半径T收敛域

性质■逐项求导

逐项积分

lim“,+1=0或北01也］=/7,R=—

募级数£a”(x-a)”,〃一>8

收敛土或的计算・““

M=1

函数项级数.将端点代入

常见函数的泰勒级数

逐项求导与逐项积分定理

傅里叶级数*（数学一需晶雪既臂

狄利克雷收敛定理

f基本概念：方程的阶数、通解、特解

可分离变量方程：g(y)d)，=f(x)dx-^^Jg(y)"y=\f(x)dx

齐次方程:@=/仕]-^^“=2

dx\xJx

jQ(x)J™dx+c]e乎a

一阶方程-阶线性微分方程:虫+P(x)y=Q(x)求解方法一＞A式法：＞=

dX常数变易法

伯努利方程*(数学一、二)：y'+p(x)y=q(x)y"—求解＞z=y~

求解方法」特殊路径法(结合曲线积分)

全微分方程*(数学一)：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

不定积分法

微分方程

y=f(x,y)求”">p=y，y.=半

dx

可降阶*(数学一、二)

yJ/(y,y)3M^p=y,炉=乎=半？=^p

dxaydxay

二阶方程

’性质：叠加原理

线性微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)<‘齐次：特征根

常系数方程的求解

‘非齐次：待定系数法

欧拉方程*(数学一)：x2y'+xpy+qy=f(x)—求解"">x=e'

应用：综合运用微分、积分的知识列方程

定义：不同行不同列所有元素乘积的代数和

'交换行与列，行列式的值不变

定义与性质LH交换两行（列），行列式变号

性质4

某行（列）有公倍数k,可以将k提出

某行（列）的k倍加至另一行，行列式的值不变

按行展开:£阳.+q2Ai2+…+%小“=o,(，人)

a>1Al+%242+…+。"出"=|41

；=1(i=k)

展开定理

aA

按列展开:之％A\<\k+%-&+…+%4*=°，(i*k)

4^J,Ajk

j=la]iAu+a2iA2j+...+aniAni=\A\,g)

|川=,[,回=《同,恒同=同忸|=|网

行列式

矩阵IA-11=—,IA>1=1Ar'

IAl

常见公式

ACAO08T#B

mn=(-ir|A||B|

OBCB

4*,"cII。

特征值：网=「［4

1=1

矩阵A可逆<=>M/0

AA*==

a,3=，有唯一解=kl*o

应用，

〃维向量组,a“线性无关o\a।,...,a,\丰0

计算矩阵A的特征值"E-A|=0

实对称矩阵正定的充要条件：顺序主子式全为正

概念：%X〃的数表

内容：A+B,kA,AT,AB

定义与运算

运算AB*BA

运算法则

AB=O时，不一定有A=。或8=。

概念：AB=BA=E

定义与性质常见公式：（AT]==（47）,=B'A-',(kA)-1=k-'A'

(A0}~{_(0小、

分块矩阵：o]

<0B)、0B"=mO,

••4”、

定义:

A'=(Ay(.)=

伴随矩阵・k4〃A

矩阵逆矩阵

AA*=A*A=|A|E

公式■

A*=⑷A-i(A可逆时)

定义与性质

计算逆矩阵，借助伴卜道矩阵：4T=|A「A”

利用初等变换：（AE）—j（EA'）

矩阵A可逆o⑷工0oA满秩oA的列（行向量组）线性无关oAx=0仅有零解

oAx=b有唯一解。4的特征值不含0。4=尸外…匕，其中R是初等矩阵

。4"正定。4的列（行）向量组能线性表出任意“维列（行）向量

定义：单位矩阵经一次初等变换（行/列）所得矩阵

初等矩阵■定理：矩阵左（右）乘初等矩阵等于做相应的行（列）变换；左行右列

公式：E；=E/E小=E；（：）,（E°（k）[=E^-k）

定义：3kk,...keR使得0=%%+ka+...+ka

，能由向量组四,a?，…,a,“线性表出■v2m22m

结合方程组：线性方程组(/,%,•••,a,,)x=£有解

相关与表出

定义：三不全为零的左,%使得%14+&2a2+…+%/=0

向量组四,。2,…,a,”线性相关，

结合方程组：齐次方程组a.）x=O有非零解

,a2,..„a“，线性相关oa,,%,…a“，中至少有一个能由其余线性表出

名,。2,T线性相关=>«,。2,…，%，线性相关（部分相关=>整体相关）

相关定理，“线性无关，a,,a2,"线性相关=>解自由%,。2，...,区“线性表出

四,能由4,力线性表出，s>r=>必,见线性相关

〃+1个〃维向量必线性相关

'定义

极大线性无关组

向量组的秩，性质：与原向量组等价；同一向量组任两个极大无关组所含向量个数相同

向量《（火十］,…4）:极大线性无关组中所含向量的个数

矩阵的秩：非零子式的最高阶数

r（AB）<min{r（A）,r（B））

4可逆=>r（A8）=r（8）,r（AB）=r（A）

AB^0=>r（A）+r（B）<n

常见公式

n,r（A）=n

r（A*）=<=

0,r（A）<n-\

'矩阵的秩=行秩=列秩

相关定理，若A,8均为"zx〃矩阵，则4三8or（A）=r（8）

四,...0,能由4,…,力线性表出=>4r（4火...，月）

Ax=b有解（A=

。用高斯消元法将方程组化为阶梯型方程组后，不出现矛盾方程（0=d）

ob能由%，…,a”线性表出

。向量组a,a与“巧,...,%,8等价

=r(al,a2,...,an)=r(al,a2,...,a,l,b)

<=>r（A）=r（A,b）

已知Ax=b有解，则其解唯一

=用高斯消元法将方程组化为阶梯型方程组后，非零方程数=n

<=>Ax=0仅有零解

线性方程组解唯一的条件。。由%线性表出的方式唯一

&线性无关

=r^ai,a2,...,an)-n

or(A)=n

解的性质

定义：都是Ax=0的解，线性无关，能线性表出Ar=0所有解

解的结构基础解系1定理：Ax=0的基础解系中含有个向量

计算方法：求r（A）；求Ax=0的〃-r（A）个线性无关的解

Ax=0的通解：用/+k2r）2+...+kn_rrjn_r

,X=b的通解：々跖+42%+…+女“_力“一+〃（）

定义:Aa-Aa.a*0

求法：|A-1E|=0,（A-/lE）x=0

‘不同特征值的特征向量线性无关

Aa-Aa=>f（A）=f=）］（4可逆时）

定义与性质

“A）=On/⑷=0

常见性质

£4="（A）,fl4TAi

2有k个线性无关的特征向量=>2至少为k重特征值

AB^\A-AE\=\B-AE\

〃阶矩阵A可相似对角化=A有〃个线性无关的特征向量

特征值充要条件oA的每个特征值重数都等于其线性无关的特征向量个数

。对4的每个特征值几都有人的重数=

相似对角化判断矩阵A是否可对角化：求出特征值；找到所有重根九检验力的重数=〃-/'（A-aE）

A与P的计算：计算矩阵的特征值与特征向量

相关计算反求矩阵A:利用等式4=PAP-i

求A"或（A+kE）":A"=PA"p-',（A+kE）"=P（A+AE）"P''

‘特殊性质：特征值全为实数，不同特征值的特征向量正交，可相似对角化

・定义：A=QA0T,Q为正交矩阵

实对称矩阵求出所有特征向量

正交相似对角化"

。的计算将同一特征值的特征向量正交化

单位化

.人］定义：〃元二次齐次多项式

概念4,

矩阵表示：/=为实对称矩阵）

xZx与y7By合同：存在可逆矩阵C,使得xZx>/方;或3=（5?^

［求合同变换x=Cy,将二次型变成标准型（只含平方项）

定义•

合同标准型，.求可逆矩阵C,使得C/C=A为对角矩阵

xlx的合同标准型,

.正交变换法（结合特征值，重要!）

求法<

、配方法

二次型的合同标准型中正项的个数（正特征值个数）

惯性指数

二次型惯性定理：同一二次型不同的合同标准型的惯性指数相同

合同规范型合同规范型（由惯性指数唯一确定）：正项系数全为1,负项系数全为T

合同规范型相同，正负惯性指数相同

两二次型合同的充要条件

正负特征值个数相同

定义：对任意〃维非零列向量x,『Ax>0

xrAx正定（A，=A）<=>xlx的正惯性指数为"

oA的特征值全为正

正定二次型4

oA的合同规范型为£

0三可逆矩阵P,使得A=P「P

。A的所有顺序主子式全为正

'概念：样本空间的子集，部分结果组成的集合

、一侬」内容+5=AU8,A3=AC8,A—8

随机事件运算《__________________

［法则：（A+B）C=AC+8C,AU5=Xn及=火

关系：包含，相等，互斥，对立，完备事件组

公理化定义：P（A）＞0,P（Q）＞0,可列可加性

概率条件概率：P（AI3）=:丁）（B（3）＞0）

独立：P（A8）=P（A）P（B）」^A,B,C相互独立

古典概型（有限等可能）：概率=样本点数之比

简单概型几何概型：概率=面积（长度）比

随机事件与概率伯努利概型：独立重复试验

「(4+B)=P(A)+P(3)—尸(48)

推广：P(A+fi)=P(A)+P(B)(A,BKJ5).P(1)=1—P(A)

加法公式

P(A+B+C)=P(A)+P(8)+P(C)-P(A8)-P(8C)

+P(AC)-P(ABC)

减法公式:P(A—3)=P(A)—P(AB)

常用公式

乘法公式：P(AB)=P(A)P(BIA),P(A)>0

全概率公式：P（8）=EP（BI&）p（4）

k=l

全概率与贝叶斯

贝叶斯公式：尸（4期）=P（*A,）P（A,）

£P（3I4）P（&）

k=l

'定义：F(x)=P(X<x)^^F(x,y)=P(X<x,Y<y)

分布函数，性质［充要条件：单调不减;尸(-oo)=0/(+oo)=l;右连续

人［其它性质：P(X<a)=F(a-O),P(X=a)=F(a)-F(a-0)

定义：F(x)=f(t)dt——~>F(x,y)=£Jvf(u,v)du

充要条件：/(x)>0,£f{x}dx--->f(x,y)>0,y)dxdy=1

概率密度R2

性质〈仍（x）连续（连续型），P（X=a）=0

其它性质jpg<x<。)=I*f(x)dx-^_>P{(X,y)cO}=JJ/(x,y)dxdy

Ja

D

定义：P(X=xj=pi——>p(x=x;,y=%)=Pjj

分布，分布律4

充要条件：Pi>0，EPi=1期TPuN0，EPij=1

iij

边缘分布函数：七（》）=/*,+8）

边缘分布边缘概率密度：fx（x）=[f（x,y）dy

J-co

边缘分布律：Pi=£Pu

边缘与条件

随机变量ij

条件概率密度：

fx（x）

条件分布

条件分布律：p（y=x।x=x）="

PL

尸（x，y）=F*（x）4（y）

独立性：联合分布=边缘分布x边缘分布，f（x,y）=A（x）/r（y）

Pa=Pi.P.j

一维离散：0-l,B（M,p）,G（p）,P（2）

内容，一维连续：U

二维：夕）

常见分布彳基本要求（记忆）：概率密度或分布律（二维正态除外），期望方差（一维）

B（n,p）,G（p）：独立重复试验

要求1

均匀分布（一维与二维）：概率=长度（面积）比

特殊方法

正态分布：标准化，对称性

二维正态：x,y的线性组合仍为正态分布；x,y独立op=o

£gMf(x)dxJJg(x，y)/(x,y)dxdy

E(g(X))=-i：E(g(X/))=R2

3g(x,)P,£#(七,匕也

基本计算公式

i，j

22cov(x,y)

DX=EX-(EX),cov(X,Y)=EXY-EXEY,pXY

NDXDY

f常见分布的期望方差

DE(kX)=kE(X),O(kX)=/£)(x),cov(kX,y)=kcov(X,y)

2)E(X+y)=E(x)+E(y),o(x+r)=r>(x)+D(y)+2cov(x,y)

数字特征特殊性质（记忆）《

重要公式cov(X+Y,Z)=cov(X,