(经典)高中数学最全数列总结及题型精选

(经典)高中数学最全数列总结及题型精选LtD高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，，，……，，……，简记作。（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：①：1，2，3，4，5，…②：…说明：①表示数列，表示数列中的第项，=表示数列的通项公式；②③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则；(五)、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列)递推公式：例：1.如果等差数列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）352.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于()A．13B．35C．49D．633.（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项 B.12项 C.11项 D.10项5.已知等差数列的前项和为，若6.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则7.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于()C.D.8.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则9．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。(六).对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有项，则①偶奇；②；（2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是_______(七).对与一个等差数列，仍成等差数列。例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为。3．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为4.设为等差数列的前项和，=5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝A． B．C． D．(八)．判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列例：1.已知数列满足，则数列为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列的通项为，则数列为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列的前n项和，则数列为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列的前n项和，则数列为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列满足，则数列为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6.数列满足=8，（）=1\*GB3①求数列的通项公式；7．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列(九).数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值；可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即：若已知，则最值时的值（）可如下确定或。例：1．等差数列中，，则前项的和最大。2．设等差数列的前项和为，已知=1\*GB3①求出公差的范围，=2\*GB3②指出中哪一个值最大，并说明理由。3．（02上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）A.d＜0 B.a7＝0C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值4．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是5.已知是等差数列，其中，公差。（1）数列从哪一项开始小于0？（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．(十).利用求通项．1.数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？2.设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；3.（2010安徽文）设数列的前n项和，则的值为（）（A）15(B)16(C)49（D）644、2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．三、等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：(一)、递推关系与通项公式在等比数列中,，则在等比数列中,,则3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）84.在等比数列中，，，则=5.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（）A33B72C84D189(二)、等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.和的等比中项为()2.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（）A． B． C． D．(三)、等比数列的基本性质，1.（1）（2）（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.例：1．在等比数列中,和是方程的两个根,则()2.在等比数列，已知，，则=3.等比数列的各项为正数，且（）A．12B．10C．8D．2+4.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，（）A.B.C.D.(四)、等比数列的前n项和，例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和2．（2006年北京卷）设，则等于（）A． B．C． D．3．（1996全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；(五).等比数列的前n项和的性质若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列.例：1.（2009辽宁卷理）设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=A.2B.C.D.32.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（）A．83B．108C．75D．633.已知数列是等比数列，且(六)、等比数列的判定法（1）定义法：为等比数列；（2）中项法：为等比数列；（3）通项公式法：为等比数列；（4）前项和法：为等比数列。为等比数列。例：1.已知数列的通项为，则数列为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列满足，则数列为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列的前n项和，则数列为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断四、求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列满足：，求；2.等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式3.已知数列满足（），求数列的通项公式；已知数列满足且（），求数列的通项公式；5.数列已知数列满足则数列的通项公式=（2）累加法1、累加法适用于：若，则两边分别相加得例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。已知数列满足，求数列的通项公式。已知数列满足，求数列的通项公式。（3）累乘法适用于：若，则两边分别相乘得，例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。已知数列满足，，求。3.已知，，求。待定系数法适用于例：1.已知数列中，，求数列的通项公式。（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________3.已知数列满足求数列的通项公式；（5）递推公式中既有分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．2.（2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．(6)取倒数法。 五、数列求和1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。公比含字母时一定要讨论2．错位相减法求和：如：例：1．求和2.求和：3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、