浅谈抽象函数解法

浅谈抽象函数解法——从一道高考题看抽象函数的学习2011年高考数学第22题：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。（I）设求；（II）证明是周期函数。解法举例已知函数f(x)=,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(1)=2,g(x)是增函数.g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)求证：①f(x)是R上的增函数②当nN,n≥3时,f(n)>

设f1(x)f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单增,设f(x)=f1(x)+f2(x),且对于(0,+∞)上的任意两相异实数x1,x2恒有|f1(x1)－f1(x2)|>|f2(x1)－f2(x2)|①求证：f(x)在(0,+∞)上单增.②设F(x)=xf(x),a>0、b>0.求证：F(a+b)>F(a)+F(b).

函数y＝f(x)满足①f(a+b)＝f(a)·f(b)，②f(4)＝16,m、n为互质整数，n≠0求f()的值

定义在（-1，1）上的函数f(x)满足任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)＝f()，②x∈（-1，0）时，有f(x)>0判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由判定f(x)在（-1，0）上的单调性，并给出证明设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,对任意x1、x2[0,eq\f(1,2)]都有f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.①求f(eq\f(1,2))及f(eq\f(1,4));证明f(x)是周期函数

设是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)f(y)①求f(0)，设当x<0时，都有f(x)>f(0)证明当x>0时0<f(x)<f(0).

设是定义在区间上的函数，且满足条件：（i）（ii）对任意的（Ⅰ）证明：对任意的（Ⅱ）证明：对任意的（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得

若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.

参考答案:2011年高考数学第22题：解析：（I）解略。（II）证明：依题设关于直线对称,故又由是偶函数知将上式中以代换，得这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期是偶函数的实质是的图象关于直线对称又的图象关于对称，可得是周期函数且2是它的一个周期

抽象函数解法举例⒈解:①设x1>x2g(x)是R上的增函数,且g(x)>0g(x1)>g(x2g(x1)+1>g(x2)+1>0>>0->0f(x1)-f(x2)=-=1--(1-)=->0f(x1)>f(x2)f(x)是R上的增函数②g(x)满足g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)且g(x)>0g(n)=[g(1)]n=2n当nN,n≥3时,2n>nf(n)=＝1-，＝1-2n＝（1+1）n＝1+n+…++…+n+1>2n+12n+1>2n+2<,即1->1-当nN,n≥3时,f(n)>⒉①证明:设x1>x2>0f1(x)在(0,+∞)上单增f1(x1)－f1(x2)>0|f1(x1)－f1(x2)|=f1(x1)－f1(x2)>0|f1(x1)－f1(x2)|>|f2(x1)－f2(x2)|f1(x2)-f1(x1)<f2(x1)－f2(x2)<f1(x1)－f1(x2)f1(x1)+f2(x1)>f1(x2)+f2(x2)f(x1)>f(x2)f(x)在(0,+∞)上单增②F(x)=xf(x),a>0、b>0aF(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f(x)在(0,+∞)上单增F(a+b)>af(a)+bf(b)=F(a)+F(b)(0)=f(0+0)=f(0)·f(0)=f2(0)f(0)=0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0)·f(4)=0.(矛盾)f(0)=1f(4)=f(2)·f(2)=f(1)·f(1)·f(1)·f(1)=16f(1)=f2()≥0f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)是非负函数.f(0)=f(a+(-a))=f(a)·f(-a)f(-a)=n∈N*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(++…+)=fn()=2f()=f()=[f()]m=4.解:1)定义在（-1，1）上的函数f(x)满足任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)＝f(),则当y=0时,f(x)+f(0)＝f(x)f(0)=0当-x=y时,f(x)+f(-x)＝f(0)f(x)是（-1，1）上的奇函数2)设0>x1>x2>-1f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=0>x1>x2>-1,x∈（-1，0）时，有f(x)>0,1-x1x2>0,x1-x2>0>0即f(x)在（-1，0）上单调递增.5.解:①由f(x)=f(eq\f(x,2)+eq\f(x,2))=[f(x)]20,f(x)a=f(1)=f(2n·eq\f(1,2n))=f(eq\f(1,2n)+eq\f(1,2n)+…+eq\f(1,2n))＝[f(eq\f(1,2n))]2解得f(eq\f(1,2n))=f(eq\f(1,2))=,f(eq\f(1,4))=.②f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称,f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).f(x+2)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(x)=f(-x).f(x)是以2为周期的周期函数.6.解：①②