高中数学第3章概率32古典概型教学案苏教版必修3苏教版高一必修3数学案

古典概型预习课本P100～103，思虑并达成以下问题1．什么叫基本领件？什么叫等可能事件？2．什么叫古典概型？古典概型有什么特色？3．古典概型的概率计算公式是什么？[新知初探]1．基本领件与等可能事件(1)基本领件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本领件发生的可能性都同样，则称这些基本事件为等可能基本领件．[点睛](1)基本领件是试验中不可以再分的简单的随机事件，其余事件能够用它们来表示．(2)任何两个基本领件是不会同时发生的．(3)任何事件都能够表示成基本领件的和．2．古典概型(1)特色：①有限性：全部的基本领件只有有限个；②等可能性：每个基本领件的发生都是等可能的．(2)定义：将知足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)古典概型概率的计算公式：假如1次试验的等可能基本领件共有n个，那么每一个等可能基本领件发生的概率都是1；假如某个事件

A包括了此中

m个等可能基本领件，那么事件

A发生的概率为

P(A)nm＝n.即P(A)＝事件A包括的基本领件数.试验的基本领件总数[点睛]mmm古典概型的概率公式P(A)＝n与事件A发生的频次n有实质的差别，此中P(A)＝n是一个定值，且对同一试验的同一事件m，n均为定值，而频次中的m，n均随试验次数的变化而变化，但跟着试验次数的增添频次总靠近于P(A)．[小试身手]1．一个家庭中有两个儿童，则全部等可能的基本领件是________．(列举出来)答案：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)2．从字母a，b，c，d中随意拿出两个不一样字母的试验中，有哪些基本领件？这些基本领件是等可能基本领件吗？解：共有6个基本领件：A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d}．每个基本领件取到的概率都为1，属于等可能基本领件．6[典例]以下概率模型是古典概型吗？为何？古典概型的判断(1)从区间[1,10]内随意拿出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上投掷一枚不平均的旧硬币，求正面向上的概率；(3)从1,2,3，，100这100个整数中随意拿出一个整数，求取到偶数的概率．[解](1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无穷多个实数，拿出的那个实数有无穷多种结果，与古典概型定义中“全部可能结果只有有限个”矛盾．不是古典概型，因为硬币不平均致使“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性同样”矛盾．是古典概型，因为在试验中全部可能出现的结果是有限的，并且每个整数被抽到的可能性相等．只有同时知足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只需有一个不知足就不是古典概型．[活学活用]以下随机事件：①某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，，10环；②一个小组有男生5人，女生3人，从中任选1人进行活动报告；③一只使用中的灯泡寿命长短；④抛出一枚质地平均的硬币，察看其出现正面或反面的状况；⑤中秋节前夜，某市工商部门检查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．这些事件中，属于古典概型的有________．分析：题号判断原由剖析①不属于命中0环，1环，2环，，10环的概率不必定同样②属于任选1人与学生的性别没关，还是等可能的③不属于灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无穷多种可能④属于该试验结果只有“正”“反”两种，且时机均等⑤不属于该品牌月饼评“优”与“差”的概率不必定同样答案：②④[典例]从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两放回”与“不放回”问题次．(1)若每次拿出后不放回，连续取两次，求拿出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次拿出后又放回，求拿出的两件产品中恰有一件是次品的概率．[解](1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其全部可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，此中小括号内左侧的字母表示第1次拿出的产品，右侧的字母表示第2次拿出的产品．由6个基本领件构成，并且能够以为这些基本领件的出现是等可能的．用A表示“拿出的两件中恰巧有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A由4个基本领件构成．因此42P(A)＝＝.63(2)有放回地连续拿出两件，其全部可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本领件．因为每一件产品被取到的时机均等，所以能够以为这些基本领件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．4事件B由4个基本领件构成，因此P(B)＝.9抽取问题是古典概型的常有问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题能否需要将被抽取的个体进行划分才能知足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对基本领件的总数是有影响的．此外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．[活学活用]从1,2,3,4,5五个数字中随意有放回地连续抽取两个数字，求以下事件的概率：(1)两个数字不一样；(2)两个数字中不含有1和5；(3)两个数字中恰有一个1.解：全部基本领件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．4(1)设A＝“两个数字不一样”，则P(A)＝25＝5.9(2)设B＝“两个数字中不含1和5”，则P(B)＝25.8(3)设C＝“两个数字中恰有一个1”，则P(C)＝25.[典例]有A，B，C，成立D概四率位模贵型宾解，决应问分题别坐在a，b，c，d四个席位上，此刻这四人均未留神，在四个席位上随意就座．(1)求这四人恰巧都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰巧都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[解]将A，B，C，D四位嘉宾就座状况用以下图的图形表示出来．a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位由图可知，全部的等可能基本领件共有24个．(1)设事件A为“这四人恰巧都坐在自己的席位上”，则事件A只包括1个基本领件，所以P(A)＝241.(2)设事件B为“这四人恰巧都没坐自己的席位上”，则事件B包括9个基本领件，所93以P(B)＝24＝8.(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包括8个基本领件，1所以P(C)＝24＝3.关于一些比较复杂的古典概型问题，一般能够经过分类，有序地把事件包括的状况分别排列出来，进而清楚地找出知足条件的状况．在列举时必定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果了然，而树状图则是解决此类问题的较好方法．[活学活用]甲、乙、丙、丁四名学生按随意序次站成一排，试求以下事件的概率：(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．解：利用树状图来列举基本领件，以下图．由树状图可看出共有24个基本领件．(1)甲在边上有12种情况：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．1故甲在边上的概率为P＝24＝2.(2)甲和乙都在边上有4种情况：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，1故甲和乙都在边上的概率为P＝24＝6.(3)甲和乙都不在边上有4种情况：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，1故甲和乙都不在边上的概率为P＝24＝6.古典概型的综合应用[典例]海关对同时从A，B，C三个不一样地域入口的某种商品进行抽样检测，从各地区入口此种商品的数目(单位：件)以下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地域ABC数目50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地域商品的数目；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进前进一步检测，求这2件商品来自相同地域的概率．[解](1)因为样本容量与整体中的个体数的比是6＝1，所以样本中包括三50＋150＋10050111个地域的个体数目分别是50×50＝1,150×50＝3,100×50＝2.所以A，B，C三个地域的商品被选用的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地域的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这件商品构成的全部基本领件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的时机均等，所以这些基本领件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自同样地域”，则事件D包括的基本领件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B，B}，{C，C}共4个．所以P(D)＝15.231244即这2件商品来自同样地域的概率为15.(1)概率问题经常与统计问题联合在一同考察，在此类问题中，概率与频次的差别其实不是十分显然，往常直接用题目中的频次取代概率进行计算．(2)波及方程或许函数的相关概率问题，考察的是怎样计算要求的事件A所包括的基本事件的个数，往常需要将函数与方程的知识应用此中．解决此类问题，只需要利用函数、方程知识找出知足条件的参数的范围，进而确立基本领件的个数，最后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[活学活用]把一枚骰子投掷2次，察看出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，试就方程组ax＋by＝3，x＋2y＝2解的状况，解答以下各题：(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．解：若第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b记为有序数值组(a，b)，则全部可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，共36种．由方程组

ax＋by＝3，x＋2y＝2，

可得

2a－bx＝6－2b，2a－by＝2a－3，(1)若方程组只有一个解，则

b≠2a，知足

b＝2a的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故合适

b≠2a的有

36－3＝33个．其概率为：

331136＝12.6－2bx＝＞0，2a－b(2)方程组只有正数解，需知足b－2a≠0且2a－3y＝＞0.2a－b3a＞2，分两种状况：当2a＞b时，得b＜3，3a＜2，当2a＜b时，得b＞3.易得包括的基本领件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，所以所求的概率p132[层级一学业水平达标]1．一枚硬币连续掷三次，基本领件共有________个．分析：画树形图：共8种．答案：82．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．分析：此题中基本领件有{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}共三个，此中甲被选中包括两2个基本领件，故甲被选中的概率为3.答案：

233．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率为________．分析：基本领件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共15个．此中切合要求的有{1,2}，{1,4}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共12个．故P＝12415＝5.答案：454．一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完整同样，从中摸出2个球，则1个是白球，1个是黑球的概率是________．分析：这四个球记为白1，白2，黑1，黑2.则基本领件为{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{黑1，黑2}共6个．此中切合要求的为{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}共4个．故P426＝3.答案：

235．设会合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，P?Q，若b，c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}．(1)求b＝c的概率；(2)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．解：(1)因为P?Q，当b＝2时，c＝3,4,5,6,7,8,9；当b＞2时，b＝c＝3,4,5,6,7,8,9，基71本领件总数为

14.此中

b＝c的事件数为

7种，所以

b＝c的概率为：

14＝2.(2)记“方程有实根

”为事件

A，若使方程有实根，则

＝b2－4c≥0，即

b＝c＝4,5,6,7,8,9共6种.3所以P(A)＝14＝7.[层级二应试能力达标]1．同时掷两枚骰子，点数之和大于9的概率为________．1分析：P＝36＝6.答案：162．某班委会由3名男生和2名女生构成，现从中选出2人担当正副班长，此中起码有一个女生入选的概率为________．分析：这五名同学分别表示为男1，男2，男3，女1，女2，用(x，y)表示基本领件，此中x是正班长，y是副班长，则基本领件为(男1，男2)，(男2，男1)，(男1，男3)，(男3，男1)，(男1，女1)，(女1，男1)，(男1，女2)，(女2，男1)，(男2，男3)，(男3，男2)，(男2，女1)，(女1，男2)，(男2，女2)，(女2，男2)，(男3，女1)，(女1，男3)，(男3，女2)，(女2，男3)，(女1，女2)，(女2，女1)共20个．7此中切合要求的有14个，故P＝20＝10.答案：7103．在正六边形的6个极点中随机选择4个极点，则构成的四边形是梯形的概率为________．分析：如图，在正六边形此中构成的四边形是梯形的有

ABCDEF的6个极点中随机选择ABEF，BCDE，ABCF，CDEF

4个极点，共有，ABCD，ADEF

15种选法，，共6种情2况，故构成的四边形是梯形的概率P＝15＝5.答案：254．假如3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不一样的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．分析：基本领件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，1(2,4,5)，(3,4,5)共10个．此中勾股数只有(3,4,5)，∴P＝10.答案：1105．一个袋子中装有六个形状完整同样的小球，此中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3，现从中任取一球记下编号后放回，再任取一球，则两次拿出球的编号之和为4的概率为________．分析：用列表法列出全部基本领件共36个，此中和为4的有10个.105故P＝36＝18.答案：1856．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，则甲站在乙的左侧的概率为________．分析：我们不考虑丙、丁、戊详细站在什么地点，只考虑甲、乙的相对地点，只有甲站1在乙的左侧和甲站在乙的右侧，共2个等可能发生的结果，所以甲站在乙的左侧的概率为2.答案：127．在5瓶饮猜中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全部是已过保质期的饮料的概率为________．分析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为：(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P＝1.10答案：110A8.以下图方格，在每一个方格中填入一个数字，

数字能够是

1,2,3,4

中

B的任何一个，同意重复，则填入

A方格的数字大于

B方格的数字的概率为

________．分析：只考虑

A，B两个方格的填法，不考虑大小，

A，B

两个方格有

16种填法．要使填入

A方格的数字大于

B方格的数字，则从

1,2,3,4中选

2个数字，大的放入

A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共

6种，故填入

A方格的数字大于

B方格的数字的概率为

6316＝8.答案：

389．一个盒子中装有三张卡片，分别标志有数字

1,2,3，这三张卡片除标志的数字外完整同样．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字挨次记为(1)求“抽取的卡片上的数字知足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完整同样”的概率．

a，b，c.解：由题意知(a，b，c)全部可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)