181勾股定理教案2

18．1勾股定理(二)教课时间第二课时三维目标一、知识与技术1．掌握勾股定理，认识利用拼图考证勾股定理的方法．2．运用勾股定理解决一些实质问题．二、过程与方法1．经历用拼图的方法考证勾股定理，培育学生的创新能力和解决实质问题的能力．2．在拼图的过程中，鼓舞学生勇敢联想，培育学生数形联合的意识．三、感情态度与价值观1．利用拼图的方法考证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．2．经历拼图的过程，并从中获取学习数学的快乐，提升学习数学的兴趣．教课要点经历用不同的拼图方法考证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步领会勾股定理的文化价值．教课难点经历用不同的拼图方法证明勾股定理．教具准备每个学生准备一张硬纸板．多媒体课件演示．教课过程一、创建问题情境，引入新课活动1问题：我们曾学习过整式的运算，此中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完整平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是特别重要的内容．谁还可以记适当时这两个公式是怎样推出的？设计企图：回想前面的知识，由此得出用拼图的方法推证数学结论特别直观，上节课已经经过数格子的方法勇敢猜想出了一个命题；在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．但我们不可以对全部的直角三角形一一考证，所以需从理论上加以推证，学生或许会此后活动中获取启迪，采纳近似拼图的方法证明．师生行为：学生着手活动，分组操作，而后在组内沟通．教师深入小组参加活动，聆听学生的沟通，并帮助，指导学生达成任务，得出两个公式的几何意义．在活动1中教师应要点关注：①学生可否踊跃主动地参加活动，②学生可否想到用拼图的方法，经过计算拼图的面积而得出两个公式的几何意义；③学生可否从这两个公式的几何意义联想到直角三角形的三边关系能否也能够近似证明．生：这两个公式都能够用多项式乘以多项式的乘法法例推导．以下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；22222(a－b)＝(a－b)(a－b)＝a－ab－ab＋b＝a－2ab＋b；生：还可以够用拼图的方法说明上边的公式建立．比如：图(1)中，暗影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式即可得图(2)中暗影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2建立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也能够用拼图的方法，经过计算面积证明，如图(3)我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，所以这个正方形的面积为(a＋b)2，也能够表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(ab)2＝a2＋2ab＋b2．师：你能用近似的方法证明上一节猜想出的命题吗?二、研究研究活动2我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，达成以下问题：(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看可否获取一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课对于直角三角形三边关系的猜想吗?(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗?大正方形的面积能够表示为：_______________，又能够表示为________________．对照两种衷示方法，你获取直角三角形的三边关系了吗?设计企图：让学生经过拼图计算面积的方法证明直角三角形的三边关系，培育学生的着手操作能力和创新意识．师生行为：学生在独立思虑的基础上，以小组为单位沟通自己拼图的结果．教师深入小组参加活动，聆听学生的沟通，并帮助、指导学生达成任务，用计算面积的方法比较得出直角三角形的三边关系．在本次活动中，教师应关注：①可否经过拼图计算面积的方法获取直角三角形的三边关系．②学生可否踊跃主动地参加拼图活动．生：我也拼出了图(5)，并且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4×ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12ab＋c2．化简得a2＋b2＝c2．因为图(4)的直角三角形是随意的，所以a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。生：我拼出了和这个同学不相同的图，如图(6)大正方形的边长是c，小正方形的边长为b－a，利用这个图形也能够说明勾股定理．因为大正方形的面积也有两种表示方法，既能够表示为c2，又能够表示为ab×4＋(b－a)2．对照两种表示方法可得222简得c＝a＋b．相同获取了直角三角形的三边关系．

c2＝

ab×4＋(b－a)2．化师：这样就经过推理证明了命题1的正确性，我们把经过证明被确立为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边相关，我国把它称为勾股定理．我国古代的学者们对勾股定理的研究有很多重要成就，不单在好久从前独立地发现了勾股定理，并且使用了很多奇妙的方法证了然它。为了弘扬我国古代数学成就．下边我们一起来赏识我国先人赵爽的证法，大家从中必定会领会到我国古代数学家的智慧．活动3图(6)这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在讲解(周髀算经)时给出的图案如出一辙，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明命题1(即勾股定理)的基本思路以下，如图(7)．把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a2＋b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．把田(7)中左、右两个三角形移到图(9)所示的地点，就会形成一个c为边长的正方形．因为图(7)与图(9)都是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，所以它们的面积相等．所以a2＋b2＝c2上边的证法是我国有资料记录的对勾股定理的最早证法．“赵爽弦图”表现了我国先人对数学的研究精神和聪慧才华．它是我国古代数学的骄傲．正因这样，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．设计企图：认识我国古代数学成就，为我国数学将来的发展发奋作出贡献，培育学生的爱国主义精神．师生行为：在教师的指引下进一步领会我国古代数学家证明勾股定理的聪慧、智慧．师：在全部的几何定理中，勾股定理的证明方法或许是最多的．在西方，一般以为这个定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理．1940年，外国有人采集了勾股定理的365种证法，编了一本书．其实，勾股定理的证法不只这些，作者之所以采纳了365种，或许他是风趣地想让人注意，勾股定理的证明几乎到了每日一种的地步．生：老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统相关系，是这样吗?师：是的．1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，很有兴趣地在《新英格兰教育日记)上发布了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思想体操，并且还俏皮地宣称，他的这个证明是获取两党议员“一致赞成的”．因为1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段美谈．生：能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗?师：能够，以以下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对照一下，有联系．生：总统拼出的图形恰巧是第一个同学拼出的大正方形的一半．师：同学们不如自己从上图中推导出勾股定理．生：上边的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既能够表示为1(a＋b)·(a＋b)，又能够表示为1ab×2＋c2。对此两种表示方法可得1(a＋b)·(a＋b)2221ab×2＋c2。化简，可得a2＋b2＝c2．2师：很好．同学们假如感兴趣的话，不如自己也去找寻几种证明勾股定理的方法．活动4议一议：察看上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系能否知足a2＋b2＝c2．设计企图：前面已经议论了直角三角形三边知足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形三边能否也知足这一关系呢?学生经过数格子的方法能够得出：假如一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不知足a2＋b2＝c2。经过这个结论，学生将对直角三角形的三边的关系有进一步的认识．师生行为：学生疏小组议论沟通，得出结论：教师提出问题后，组织议论，启迪，指引．此活动教师应要点关注：①可否踊跃参加数学活动；①可否进一步领会到直角三角形特别重要的三边关系．师：上图中的△ABC和△A'B'C'是什么三角形?生：△ABC，△A'B'C'在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A'B'C'中，A'B'C'，∠B'C'A'，∠B'A'C'都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A'B'C'是锐角三角形．师：△ABc的三边上“长”出三个正方形．谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子．生：以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2＝9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2＝8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2＝29个单位面积．a2＋b2＝9＋7＝16个单位面积，c2＝29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2＋b2≠c2．师：锐角三角形A'B'C'中，怎样呢?生：以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2＝5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2＝8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2＝9个单位面积．由此我们能够算出a2＋b2＝5＋8＝13个单位面积．在锐角三角形A'B'C'中，a2＋b2≠c2．师：经过对上边两个图形的议论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有a2＋b2＝c2(此中a，b是直角边，c为斜边)这样的关系．生：老师，我发此刻钝角三角形ABC中，固然a2＋b2≠c2，但它们之间也有一种关系a2＋b2＜c2；在锐角三角形A'B'C'中，a2＋b2＞c2．它们恒建立吗?师：这位同学很擅长思虑，确实这样．同学们课后不如考证一下，你必定会收获不小．三．课时小结活动5你对本节内容有哪些认识?会结构直角三角形，并理解结构原理，深刻理解勾股定理的意义．设计企图：这类形式的小结，激发了学生的主动参加意识，调换了学生的学习兴趣，为每一位学生都创建了在数学学习活动中获取成功的体验时机，并为程度不同的学生供给了充分展现自己的时机，尊敬学生的个体差别，知足多样化的学习需要，进而使小结活动不流于形式而拥有实效性，为学生供给更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．小结活动既要着重指引学生领会勾股定理独到的证明方法又要从能力，感情态度方面关注学生对讲堂的整体感觉．师生行为：由学生小组议论小结．在活动5中，教师应要点关注：(1)不同层次的学生对本节知识的认可程度；(2)学生要从我国先人对数学的研究精神和聪慧才华中获取启迪，建立学好数学的信心。板书设计18．1勾股定理(二)1．用拼图法考证勾股定理(1)212由上图得(a＋b)＝ab×4＋c即a2＋b2＝c2；(2)由上图可得c2＝1ab×4＋(b－a)