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文档简介
附录平面图形的几何性质§1静矩与形心§2惯性矩、惯性积、极惯性矩§3惯性矩和惯性积的平行移轴定理§4转轴定理·主惯性轴*
平面图形的几何性质§1静矩与形心一、静矩:
任意平面图形如图所示,其面积为A,x轴和y轴为图形所在平面内的坐标轴。在坐标(x,y)处,取为面积dA,则遍历整个图形面积A的积分附录dAxyyx定义为该平面图形对x轴和y轴的静矩也称为平面图形对x轴和y轴的一次矩静矩的数值:可能为正,可能为负,也可能为负静矩的量纲:[长度]3,单位:m3二、形心坐标与静矩:(等厚均质板的质心与形心重合。)累加式dAxyyx等厚均质质心形心若某坐标轴通过形心,则图形对该轴的静矩必然等于零。反之,若图形对某一轴的静矩等于零,则该轴必然通过图形的形心例1试确定下图的形心。附录801201010xyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)解:1.组合截面法图形分割及坐标如图(a)yyxxyxyx2.用负面积法求解,图形分割及坐标如图(b)图(b)C1(0,60)C2(5,65)C2负面积C1xy801201010§2惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩:惯性半径:分别称为图形对x和y
轴的惯性矩,也称为图形对x和y
轴的二次矩。dAxyyxrO惯性矩和极惯性矩恒为正值定义为图形对x
轴的惯性半径定义为图形对y
轴的惯性半径二、极惯性矩:称为截面对极点O的极惯性矩dAxyyxrO惯性矩和极惯性矩恒为正值;其量纲为长度的四次方,常用单位:m4惯性矩和极惯性矩的关系dAxyyxr三、惯性积如果若坐标轴x、y
轴有一个是图形的对称轴,如y
轴,则称为图形对x、y
轴的惯性积yxodAdAxxy
y
讨论惯性积可为正值or
负值or
零例2求矩形对其对称轴x、y的惯性矩解:先求取微面积dAdyyyxoh
b
同理圆环截面内径d
,外径Dxy组合图形的对某轴的惯性矩§3惯性矩和惯性积的平行移轴定理一、平行移轴定理:dAbaxyoycyxcxxcycC取另外一对坐标轴:
x
和
y,且
x//xc
相距
b,y//yc相距
a
对x
和
y轴的惯性矩为:对形心轴xc和yc的惯性矩和惯性积为:注意:C点必须为形心
a
和
b
可正、可负、可为零同理,可得:例2求图示圆对其切线AB的惯性矩。解:两种方法:一是按定义直接积分;二是用平行移轴定理等知识求。B建立形心坐标如图,求图形对形心的极惯性矩。A圆xyOdd§4转轴定理·主惯性轴*一、惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxax1y1x1y1坐标轴x
y
绕O点逆时针旋转角,得到新的坐标系x
1
y1
O同理,可得:二、截面的主惯性轴和主惯性矩上式可以求出两个相差90°的两个角度0,与两个0对应的坐标轴x0和y0称为主惯性轴;简称主轴;平面图形对主惯性轴之惯性矩称为主惯性矩。将Ix1对取导数,得若=0,使,则对应于0所确定的坐标轴,图形的惯性矩为最大值或最小值。将0代入上式并令其等于零,则得三、形心主轴和形心主惯性矩
通过平面图形形心C的主惯性轴,称其为形心主惯性轴。
平面图形对形心主惯性轴的惯性矩,称为形心主惯性矩形心主惯性矩:杆件横截面的形心主惯性轴、形心主惯性矩和杆件的形心主惯性平面,在杆件的弯曲理论中有重要意义。截面对于对称轴的惯性积等于零,截面形心又必然在对称轴上,所以截面的对称轴就是形心主惯性轴,它与杆件轴线确定的纵向对称面就是形心主惯性平面。求截面形心主惯性矩的方法①建立坐标系②计算面积和面积矩③求形心位置④建立形心坐标系;求:IyC,IxC,IxCyC⑤求形心主轴方向—0
⑥求形心主惯性矩例3在矩形内挖去一与上边内切的圆,求图形的形心主轴。(b=1.5d)解:①
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