平面图形的几何性质1

附录平面图形的几何性质§1静矩与形心§2惯性矩、惯性积、极惯性矩§3惯性矩和惯性积的平行移轴定理§4转轴定理·主惯性轴*

平面图形的几何性质§1静矩与形心一、静矩：

任意平面图形如图所示，其面积为A，x轴和y轴为图形所在平面内的坐标轴。在坐标（x，y）处，取为面积dA，则遍历整个图形面积A的积分附录dAxyyx定义为该平面图形对x轴和y轴的静矩也称为平面图形对x轴和y轴的一次矩静矩的数值：可能为正，可能为负，也可能为负静矩的量纲：[长度]3，单位：m3二、形心坐标与静矩：(等厚均质板的质心与形心重合。)累加式dAxyyx等厚均质质心形心若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩必然等于零。反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心例1试确定下图的形心。附录801201010xyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)解：1.组合截面法图形分割及坐标如图(a)yyxxyxyx2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,60）C2（5,65）C2负面积C1xy801201010§2惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：惯性半径：分别称为图形对x和y

轴的惯性矩，也称为图形对x和y

轴的二次矩。dAxyyxrO惯性矩和极惯性矩恒为正值定义为图形对x

轴的惯性半径定义为图形对y

轴的惯性半径二、极惯性矩：称为截面对极点O的极惯性矩dAxyyxrO惯性矩和极惯性矩恒为正值；其量纲为长度的四次方，常用单位：m4惯性矩和极惯性矩的关系dAxyyxr三、惯性积如果若坐标轴x、y

轴有一个是图形的对称轴,如y

轴，则称为图形对x、y

轴的惯性积yxodAdAxxy

y

讨论惯性积可为正值or

负值or

零例2求矩形对其对称轴x、y的惯性矩解：先求取微面积dAdyyyxoh

b

同理圆环截面内径d

，外径Dxy组合图形的对某轴的惯性矩§3惯性矩和惯性积的平行移轴定理一、平行移轴定理：dAbaxyoycyxcxxcycC取另外一对坐标轴:

x

和

y，且

x//xc

相距

b,y//yc相距

a

对x

和

y轴的惯性矩为:对形心轴xc和yc的惯性矩和惯性积为:注意:C点必须为形心

a

和

b

可正、可负、可为零同理，可得：例2求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B建立形心坐标如图,求图形对形心的极惯性矩。A圆xyOdd§4转轴定理·主惯性轴*一、惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxax1y1x1y1坐标轴x

y

绕O点逆时针旋转角，得到新的坐标系x

1

y1

O同理，可得：二、截面的主惯性轴和主惯性矩上式可以求出两个相差90°的两个角度0，与两个0对应的坐标轴x0和y0称为主惯性轴；简称主轴；平面图形对主惯性轴之惯性矩称为主惯性矩。将Ix1对取导数，得若=0，使，则对应于0所确定的坐标轴，图形的惯性矩为最大值或最小值。将0代入上式并令其等于零，则得三、形心主轴和形心主惯性矩

通过平面图形形心C的主惯性轴，称其为形心主惯性轴。

平面图形对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩形心主惯性矩：杆件横截面的形心主惯性轴、形心主惯性矩和杆件的形心主惯性平面，在杆件的弯曲理论中有重要意义。截面对于对称轴的惯性积等于零，截面形心又必然在对称轴上，所以截面的对称轴就是形心主惯性轴，它与杆件轴线确定的纵向对称面就是形心主惯性平面。求截面形心主惯性矩的方法①建立坐标系②计算面积和面积矩③求形心位置④建立形心坐标系；求：IyC，IxC，IxCyC⑤求形心主轴方向—0

⑥求形心主惯性矩例3在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：①