最小作用量原理分解

张斌1—126宿舍小组成员Pressthenametoseethephoto.Pressthenameagaintoreplace.张津铭张瑞瑞张若洋张英杰0610295张斌0610296张津铭0610297张瑞瑞0610298张若洋0610299张英杰最小作用量原理

最小作用量原理是物理学中描述客观事物规律的一种重要方法。其内容是说：从某一个特定角度比较客体一切可能的运动（经历），认为客体的实际运动（经历）可以由作用量求极值得出，作用量最小的那个经历即为客体的实际历经。正如对称性、守恒律、因果律一样，最小作用量原理将自然规律含蓄地统一在一起。它的高度概括性与简洁的美感将自然科学与自然哲学之美体现得淋漓尽致。本片将带你进入最小作用量原理的奇幻世界，领略它的奇妙与深邃。

序最小作用量原理起初由几何光学和牛顿力学共同启蒙，最后却发展成为适用于整个物理学和自然运动规律的基础性理论。其价值不言而喻，下面就让我们从历史的角度对最小作用量原理作初步的认识。

在对自然定律的思索中，“最小”观念在亚里士多德（Aristoteles，古希腊，384B.C.~322B.C.）那里就有了：“在用很少就可以完成的地方，却用了很多，是无谓的”。这个观念一直以不同的形式盘旋在历代自然哲学家与科学家的头脑中。其中有影响的，是奥卡姆(w．Occan，英国，1300~1349)，他从方法论上提出了“经济原则”——“用较少即可做到的事，多做反而无益”。历史回顾

在物理学中成功使用“最小”观念的最早一个例子，是光学中的“费马原理”。

费马(P．Fermat，法国，1601~1665)在1662年提出一个假设：“不管在什么媒质中，光从一点到另一点传播的真实路线，比起联结这两点的任何别的路线所花费的时间最小”。费马原理作为几何光学的基本原理，它成功地把三条经验定律：均匀媒质中光的直线传播定律，两种媒质分界面上的反射定律和折射定律，转变为费马原理的数学推论。历史回顾1669年莱布尼茨（LeibnizGottfriedWilhelm，德国，1646～1716）在意大利旅行时写了一篇研究动力学基本问题的论文。在此论文中引入了“作用量”这一概念，即质量速度和路径长度的乘积。而路径长度等于速度和时间之积，因此作用量同样确定为质量，速度平方和时间的乘积，即活力（动能）乘上时间。在一封信中（但其真实性曾遭到怀疑）莱布尼茨写道，当物体运动时，作用量通常取极大或极小值。历史回顾1696年，由约翰·伯努利（JohannBernoulli，瑞士，1667~1748）提出并解决的最速落径问题对于变分计算的形成过程有着特别重要的意义。在解决最速落径问题的时候，伯努利提出了一个原理。照这个原理来说，倘若曲线提供了极大值或极小值，那么曲线的每一个无限小的部分也同样具有这一特性。这个原理没有普遍义，在许多情况之下曲线并不具有上述质。可是由于注意到伯努利提出的原理在被证实为正确时的那些条件，这就使欧拉在阐述最小作用量原理上迈出了十分重要的一步。历史回顾1744年．莫泊丢(Maupertuis，法国，1698~1759)完善了“作用量”概念，提出了“最小作用量原理”：“质点系实际发生的运动，是使某一作用量取最小值运动的”．他认为这一原理，能够取代牛顿运动定律，成为力学的理论基础．问题在于寻找作用量的数学描述．然而，莫泊丢笃信上帝，他不但赋予最小作用量原理以目的论的形式，而且还有目的论的色彩。他主张，如此合乎目的组建起来的整个自然界可以用证实了“造物主的存在和智慧”这一目的唯一原则来解释。历史回顾在十八世纪二十年代末到三十年代，欧拉（EulerLeonhard，瑞士，1707～1783）多次致力于变分计算领域内的工作。1744年发表了欧拉的名著《求具有极大值或极小值或是在更广泛的意义上来说，解决等周问题的方法》。欧拉把一篇不长的论文安置在附录工之中，这篇论《用极大值和极小值的方法确定在没有阻力的介质中抛体运动的问题》，他在此论文中指出，当物体在向心力的作用下，从点A以速度v运动到点B时它将描绘出某个轨迹，该轨迹对应于积分的极大值或极小值。欧拉注意到由他所简单阐述的原理只是在适用于活力定律的情况下才能应用。相反，莫培督认为作用量的最小数量原理比活力定律更广泛。欧拉总的结论是在介质无阻力时最小作用原理具有普遍意义。这个原理不仅关系到单个物体，而且也关系到若干物体构成的体系。历史回顾拉格朗日（LagrangeJosephLouis，法国，1736～1813）充分的发展了欧拉的思想。他不仅把欧拉的结论从一个质点推广到了质点系，即作用量变为了。而且，拉格朗日将最小作用量原理提升到了力学根本原理的地位。拉格朗日的最小作用量原理不仅以要求某种积分不变的条件限制质点或质点系的运动，而且还以单值的形式指出了在已知初始条件时系统和质点实际上要如何运动。能量守恒原理所指出的正是什么样的运动是可能的。而可能的条件正是：，其中为作用量，E为机械能，U为势能。

但拉格朗日认为最小作用量原理，纯粹是从动力学方程得到的推论，而反对把它当成是宇宙间的普遍原理的观念。历史回顾1843年，哈密顿(w．R．Hamilton，英国，1805~1865)对作用量的数学形式作以下假设：

（为拉格朗日函数,为广义坐标）并首先把拉格朗日函数表述为广义坐标和广义动量的函数，作用量定义为质点系拉格朗日函数对时间的积分。作用量是一个过程量，哈密顿最小作用量原理表述为：具有理想和完整的质点系在有势力作用下，在所有具有相同起始位置的可能运动历经中，真实运动为哈密顿作用量取得驻值（广义极值）的那个历经，即真实运动对哈密顿作用量的变分等于零：由于真实过程仅要求其作用量是一个极值即可，无需“最小”，故以后称为“作用量原理”，把“最小”删去了。历史回顾1886年，赫姆霍茨(Helmholtz，德国，1821～1894)把这一原理系统地运用于力学，热力学和电动力学等问题。他引入了促进概括这一原理的物理解释的动势的概念。所谓动势，是这样一个量，将它对时间求积分就可以得到作用量。由于动势概念是独立的，因之就可以把最小作用原理认为是物理可逆过程的普遍原理，上这样一来，也用不着把它归结为力学的规律了。换言之，也就是不必把最小作用量原理作为力学原理加以解释。由于在电动力学中无需任何一种力学模型就可以阐述其内容和引用哈米顿原理，所以普朗克(MaxPlanck，德国，1858～1947)这样写道：最小作用量原理所经过的历程和能量守恒原理相同；“能量守恒原理起初同样认为是力学原理，只是由于作为机械论宇宙观的证据而赋予它普遍的意义。目前机械论宇宙观受到强烈的动摇，然而无论什么人都没有开始怀疑能量守恒原理的普遍性。如果现在把最小作用原理看成是纯力学原理，那么可能会不自觉地陷入片面性之中”。历史回顾正是对光学和力学中最小作用量原理的类比，德布罗意（LouisdeBroglie，法国，1892~1987）对波尔的量子化条件做出了合理的解释并提出了物质波的设想。在相对论中，最小作用量原理仍然成立，并被解释为能够从四维空间可能的世界线中挑选出实际的世界线的原理。并且在广义相对论的建立过程中，爱因斯坦（AlbertEinstein，德国，1879~1955）也曾使用它。爱丁顿（ArthurEddington，英国，1882~1994）在广义相对论中指出：对时空连续统而言，作用量扮演着类似于能量在空间关系上所扮演的角色。在四维世界里，作用量是曲率的量度，即决定质点运动的四维连续统的基本特性的量度。历史回顾最小作用量原理指出：满足一定约束条件的物理系统，在其所有的可能状态中，对应于作用量函数取极值的状态，而作用量函数一般和能量相关联。最小作用量原理因其广泛的适用性成为物理学中最为基础而富有意义的基本原理之一。正如之前历史回顾中所述，最小作用量原理不仅在分析力学、几何光学、电动力学和热力学等经典物理中广泛应用，更是在近代物理学直至相对论量子场论中起到了重要作用。由于水平所限，我们不能全面而深刻的剖析最小作用量原理巨大意义，而只能从一个侧面对他的一些简单应用作一些介绍。下面我们将从力学、电学、热学、光学四个方面介绍最小作用量原理的一些简单应用。力学应用电学应用热学应用光学应用高斯最小束缚原理1829年数学家高斯导出了最小束缚原理：在理想束缚条件下，系统在某瞬间时，真实运动与位置、速度、约束条件均相同，但加速度不同的可能运动相比较，其真实运动应使“束缚”Z取最小值，即：

高斯将系统的拘束定义为：式中为系统中质点的质量，分别为作用在质点上的主动力和质点的加速度。在高斯原理中的可能运动是通过改变加速度a得到的，所以这种条件下的变分称为高斯变分。在约束的定义中，项是质点实际加速度与物体处于自由状态（无约束状态）时的加速度之差，可认为是约束作用大小的度量，取其平方便可表征其模的大小。由此“约束”的物理意义可理解为是系统运动偏离自由运动的量度，而高斯最小约束原理说的则是物体的实际运动应是使约束对物体自由运动的影响降到最底的那种状态。

在高斯最小束缚原理中，“约束”就可以理解为这个物理孤傲程中的“作用量”。最小作用量原理的应用——力学高斯最小束缚原理为了加深大家对此原理的感性认识，下面我们举例说明。例应用高斯原理推倒蛋白的运动为分方程。

解：设摆长为L，质点的质量为m，质点的约束为：最小作用量原理的应用——力学最小作用量原理的应用——力学高斯最小束缚原理对Z取变分并令其为零：即为单摆的运动微分方程。哈密顿原理

在“历史回顾”中已经介绍了哈密顿最小作用量原理，这里对它作进一步剖析。

哈密顿原理指出：具有理想和完整的质点系在有势力作用下，在所有具有相同起始位置的可能运动历经中，真实运动为哈密顿作用量取得驻值（广义极值）的那个历经，即真实运动对哈密顿作用量的变分等于零：

其中为拉格朗日函数,定义为：（T为系统动能，U为势能）

若考虑一n各质点的系统，受到d个理想完整的约束，取k(=3n-d)维广义坐标q1,q2,…,qk，则拉格朗日函数L可表示为的函数：哈密原理给出了从所有可能运动中找出真实运动的一个准则，在力学中普遍适用，故成为了力学的一个基本原理。为加深认识，下面举例说明其用法。最小作用量原理的应用——力学最小作用量原理的应用——力学哈密顿原理

例

用哈密顿原理解出行星绕恒星运动微分方程。解设恒星质量为M，行星质量为m。行星动能：势能：由于行星自己构成一个完整系统最小作用量原理的应用——力学哈密顿原理

而同理，，彼此独立即为行星的运动微分方程。容易看出这样算出来的结果就是行星在三个方向上的加速度。静电场电荷分布静电能取极小值

在此虽然我们不能作严格证明，但可以定性理解这个问题。假设我们已知某一电学系统静电平衡时的电荷分布（分布在一定范围内连续），则在这个平衡态附近的非平衡态必将自发的向这个平衡态进行靠拢，最终达到这个平衡态。在这一过程中，从宏观上看电荷在电场作用下产生趋向运动从而产生电流，而平衡后电荷宏观不再有趋向运动电流消失。无论从趋向运动角度还是电流的角度分析，系统均有能量的耗散。即从趋向运动的角度看，趋向运动的停止意味着因趋向运动而产生的平均动能消失；从电流角度看，系统在调整电荷分布的过程中必定会产生电流，而电流以产热的形式耗散能量。可见系统平衡态的电场能小于在它附近非平衡态的电场能，即静电平衡时静电能取得极小值。

电荷离散分布的系统，与普通力学系统无异，可从势能角度证明。由唯一性定理可知这个极值点是唯一的，所以并不用强调在平衡态附近。可见同是变分计算的重要定理的最小作用量原理和唯一性定理的密切联系。

最小作用量原理的应用——电磁学最小作用量原理的应用——电磁学静电场电荷分布静电能取极小值例

设有n只电容器C1，C2，…，Cn组成串联电路，利用静电场电荷分布静电能取极小值原理，证明电容分压公式。

解设电路两端电压为U,对应于一种电压分布有如下约束条件：电路储存的能量：由于电容器充电完毕后电路中电场为静电场，所以可以使用静电场静电能分布取极小值原理。取Lagrange函数：则有：可见这正是我们熟悉的电容串联电路的基本特征。磁作用量

之前我们讲的作用量原理都或多或少用到了势能的概念，即都与机械能守恒有所联系。而在磁场中带电粒子不再有势能之说，那么最小作用量原理还有用武之地吗？答案是肯定的，麦克斯韦找到了这样的作用量，并利用最小作用量原理得到了完整的电磁学定律。下面作一个初步的介绍。定义通过某已知开曲线L和线外任意一点o所构成曲面的磁通量为开曲线ABCD的通量ΦL。则磁场中带电运动粒子的磁作用量可定义为：

作用量

其中ΦL为粒子运动经过某一开曲线通量显然由于线外O点选择的任意性使得ΦL也为一个不确定的值。但可以证明若粒子轨迹的端点一定，则无论O点如何选取，在所有可能的路径中作用量最小的路径是唯一的。即若多某个O点路径L的变分为零，则选取其他的O点L的变分也必为零。而变分计算的结果正对应着粒子受到的洛仑兹力。磁场中作用量选取的成功说明了最小作用量原理比能量守恒具有更普遍的意义。最小作用量原理的应用——电磁学最小熵产生原理

最小熵产生原理是比利时科学家伊利亚.普里高津在1945年提出的，它成为热学系统何时达到定常态的判据。定义在单位体积中、单位时间内的熵产生为熵的产生率σ。则最小熵产生原理告诉我们：在接近平和未能柜台的情况下且σ〉0。而演化的终极