1.2.1数学必修一函数的概念基础达标

1.2.1数学必修一函数的概念基础达标LtD数学必修一函数的概念基础达标一、选择题1．下列四个方程中表示y是x的函数的是()①x－2y＝6 ②x2＋y＝1③x＋y2＝1 ④x＝eq\r(y)A．①② B．①④C．③④ D．①②④解析：对于①，得y＝eq\f(1,2)x－3，y是x的一次函数；对于②，得y＝1－x2，y是x的二次函数；对于③，得y2＝1－x，当x＝－3时，y1＝2，y2＝－2，y不是x的函数；对于④，得y＝x2(x≥0)，y是x的二次函数．答案：DC．[0,2] D．[－2,4]解析：由题知－2≤3x－2≤4，∴0≤x≤2，即定义域为[0,2]．答案：C二、填空题7．下图中能表示函数关系的是________．解析：(3)中元素2对应着两个元素1和3，不符合函数定义．(1)、(2)、(4)均符合函数定义．答案：(1)(2)(4)8．设f(x)＝eq\f(1,1－x)，则f[f(x)]＝________.解析：f[f(x)]＝f(eq\f(1,1－x))＝eq\f(1,1－\f(1,1－x))＝eq\f(1－x,－x)＝eq\f(x－1,x).答案：eq\f(x－1,x)9．(1)若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为________．(2)若函数f(x2－2)的定义域为[1,3]，则函数f(3x＋2)的定义域为________．解析：(1)－1≤2x－1<1，∴0≤x<1.∴f(2x－1)的定义域为[0,1)．(2)∵1≤x≤3，∴1≤x2≤9.∴－1≤x2－2≤7.∴－1≤3x＋2≤7.∴－1≤x≤eq\f(5,3).∴f(3x＋2)的定义域为[－1，eq\f(5,3)]．答案：(1)[0,1)(2)[－1，eq\f(5,3)]三、解答题10．已知全集U＝R，函数y＝eq\r(x－2)＋eq\r(x＋1)的定义域为A，函数y＝eq\f(\r(2x＋4),x－3)的定义域为B.(1)求集合A，B；(2)求(∁UA)∪(∁UB)．解：(1)函数y＝eq\r(x－2)＋eq\r(x＋1)应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,x＋1≥0，))∴x≥2.∴A＝{x|x≥2}．函数y＝eq\f(\r(2x＋4),x－3)应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋4≥0，,x－3≠0，))∴x≥－2且x≠3.∴B＝{x|x≥－2且x≠3}．(2)∁UA＝{x|x<2}，∁UB＝{x|x<－2或x＝3}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x<2或x＝3}．11．已知f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3)，若g[f(x)]＝x2＋x＋1，求a的值．解：∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3)，∴g[f(x)]＝g(2x＋a)＝eq\f(1,4)[(2x＋a)2＋3]＝x2＋ax＋eq\f(1,4)(a2＋3)．又g[f(x)]＝x2＋x＋1，∴x2＋ax＋eq\f(1,4)(a2＋3)＝x2＋x＋1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,\f(1,4)a2＋3＝1))解得a＝1.创新题型12．已知函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)与f(eq\f(1,2))，f(3)与f(eq\f(1,3))；(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f(eq\f(1,x))有什么关系？利用你的发现求解：f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2010))．解：(1)f(2)＝eq\f(22,1＋22)＝eq\f(4,5)；f(eq\f(1,2))＝eq\f(\f(1,4),1＋\f(1,4))＝eq\f(1,5)；f(3)＝eq\f(9,1＋9)＝eq\f(9,10)；f(eq\f(1,3))＝eq\f(\f(1,9),1＋\f(1,9))＝eq\f(1,10).(2)由(1)的结果发现f(x)＋f(eq\f(1,x))＝1.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2010))＝[f(2)＋f(eq\f(1,2))]＋[f(3)＋f(eq\f(1,3))]＋…＋[f(2010)＋f(eq\f(1,2010))]＋f(1)＝2009＋eq\f(1,2)＝eq\f(4019,2).切莫忽视函数的定义域函数的定义域是函数的三要素之一．在学习过程中同学们往往侧重于定义域的求解，而不注重定义域的作用，常因忽视函数定义域的影响而导致错误，如求值域时因忽略定义域致错，求函数解析式时因忽略定义域而致错，乃至后续即将学习的函数单调性与奇偶性中，求解函数单调区间时因忽略函数定义域致错以及判断函数奇偶性时因忽略定义域关于原点的对称性判断致错等，下面分析几例，望以此引起同学们的重视．【例1】满足y＝eq\r(－x2＋2x－1)＋eq\f(1,x－1)的x与y能构成函数关系吗？误解：因为已经给出了因变量y与自变量x之间的关系式，所以y与x之间可以构成函数关系，其解析式为y＝eq\r(－x2＋2x－1)＋eq\f(1,x－1).诊断：给出关系式不一定就是函数关系，它只是函数的三要素之一，莫忘定义域对函数的影响．正解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x－1≥0，,x－1≠0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12≤0,x≠1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x≠1.))由此可知，满足已知关系式的x取值集合为空集．所以此题只是虚设了x与y的一个关系式，并不能构成函数关系．【例2】已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)．误解：设u＝eq\r(x)＋1，则eq\r(x)＝u－1，x＝(u－1)2，于是f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1，∴f(x)＝x2－1.诊断：通过换元把f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)化