新教材高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数1.3幂函数课件湘教版必修第一册

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4.1.3

幂函数1|幂函数的概念1.概念:一般来说,当x为自变量而α为非零实数时,函数①

y=xα

叫作(α次)幂函

数.2.幂函数的分类当α是正整数时,函数y=xα是正整数次幂函数,y=x-α(x≠0)是负整数次幂函数;当α

是分数时,函数y=xα是分数次幂函数.其中正整数次幂函数和负整数次幂函数统称

为整数次幂函数.一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0):当a>0时,它在[0,+∞)上有定义且递增,

值域为②[0,+∞)

,函数图象过(0,0)和(1,1)两点;当a<0时,它在(0,+∞)上有定义

且递减,值域为③(0,+∞)

,函数图象过点(1,1),向上与y轴正向无限接近,向右与

x轴正向无限接近.2|实数次幂函数的性质1.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1).

(

✕)提示:幂函数的图象都过点(1,1),但不一定过点(0,0),如幂函数y=

的图象不过点(0,0).2.幂函数的图象一定不能出现在第四象限,但可能出现在第二象限.

(√)3.当α取1,3,

时,幂函数y=xα是增函数.(√)4.当α=0时,幂函数y=xα的图象是一条直线.

(

✕)提示:当α=0时,幂函数y=xα的定义域为{x|x∈R,且x≠0},因此其图象不是一条直线.5.若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则在定义域内y随x的增大而增大.

(

✕)提示:幂函数y=

的图象关于原点对称,但它不是定义域内的增函数.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.|如何运用幂函数的性质解决相关问题幂函数的性质与参数α可以互相确定:1.幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确

定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.2.反过来,也可由幂函数的性质去限制α的取值:(1)利用幂函数的单调性求出α的取值范围;(2)由奇偶性结合所给条件确定α的值.已知幂函数y=x3m-9(m∈N+)的图象关于y轴对称,且y=x3m-9(m∈N+)在(0,+∞)上单

调递减,求满足

的a的取值范围.思路点拨由幂函数的性质确定参数m的值,再由函数的单调性解不等式.解析

因为幂函数y=x3m-9(m∈N+)在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3.又m∈N+,所以m=1或m=2.因为幂函数y=x3m-9的图象关于y轴对称,所以3m-9为偶数,故m=1,则原不等式可化为(a+1

<(3-2a

.易知y=

在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,且当x<0时,y<0,当x>0时,y>0,所以a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或

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