新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1空间向量及其运算1空间向量及其运算第2课时空间向量的数量积学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE8第2课时空间向量的数量积课标解读课标要求素养要求1.掌握空间向量的夹角的概念及表示方法.2.理解两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量的夹角和判断向量垂直.1.数学抽象——能理解两个向量的数量积的定义及运算规律.2.直观想象——能根据图形与数量积的定义计算两个向量的数量积.3.数学运算——能根据向量的数量积判定两个向量垂直.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一空间向量的夹角与垂直1.向量的夹角平面内，给定两个非零向量a,b，①任意在平面内选定一点O，作OA=a，OB=b，则大小在[0,π]内的2.向量的垂直如果⟨a,b⟩=π2，则称向量a与要点二空间向量的数量积1.数量积的定义平面内，两个非零向量a与b的数量积（也称为内积）定义为a⋅2.数量积的几何意义两个向量数量积的几何意义与④投影有关，如图所示，过a的始点和终点分别向b所在的直线作⑤垂线，即可得到向量a在向量b.上的投影a'，a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的⑥乘积.特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'3.向量在直线（或平面）上的投影一般地，给定空间向量a和空间中的直线l（或平面α），过a的始点和终点分别作直线l（或平面α）的垂线，假设垂足为A,B，则向量AB称为a在直线l（或平面α）_上的投影.4.数量积的性质空间向量的数量积具有以下性质：（1）a⊥（2）a⋅（3）|a（4）(λa（5）a⋅（6）(a自主思考1.若两个向量的夹角为0或π，则这两个向量分别是什么关系？答案：提示若两个向量的夹角为0，则这两个向量方向相同；若两个向量的夹角为π，则这两个向量的方向相反.2.若a∥b，a,b为非零向量，且a⊥答案：提示π23.两个向量的数量积是一个实数还是一个向量？若是一个实数，其符号是由什么确定的？答案：提示两个向量的数量积是-一个实数，其符号由cos⟨a,b⟩决定，即当⟨a,b⟩是锐角时，a4.已知|a|=13,a答案：提示向量b在向量a方向上的投影的数量为a⋅5.若a在e上的投影a'的数量为1，且|a|=2，则a答案：提示60∘名师点睛数量积运算的关注点（1）数量积运算不满足消去律.若a、b、c(b≠0)为实数，则ab=bc⇒a=c；但对于向量不正确，即a⋅（2）数量积运算不满足结合律.数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a⋅b)⋅c不一定等于a⋅(b⋅c).这是因为(a（3）空间向量没有除法运算.对于三个不为零的实数a、b、c，若ab=c，则a=cb或b=ca；但对于向量a、b，若a⋅互动探究·关键能力探究点一空间向量的夹角自测自评1.如图所示，已知四面体ABCD的每条棱长都等于a，点E、F、G分别是棱AB、AD、DC的中点，求下列向量夹角的大小.（1）⟨AB,BA⟩；（2）（4）⟨BC,BD⟩；（5）答案：（1）⟨AB（2）因为EF∥BD且方向相同，所以（3）因为GF∥AC且方向相反，所以（4）因为△BCD是等边三角形，所以⟨BC（5）因为AC与CD首尾相接，所以⟨AC（6）因为GF∥CA，所以2.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，分别求向量AC与向量A'答案：连接BD，如图，则在正方体ABCD-A'B'C'D所以⟨AC⟨AC⟨AC⟨AC⟨AC解题感悟找向量的夹角的关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角的大小，注意向量的夹角的范围是[0,π探究点二数量积的计算精讲精练例（1）已知向量e1,e2,e3A.15B.3C.-3D.5（2）已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，答案：（1）B解析：（1）由题意可知6a答案：（2）如图所示，连接BD交AC于点O，连接OO∵AO1在AC上的投影为AO∴|AO|=2取AB的中点E，连接O1易知O1E⊥AB，∴AO1又|AE|=12a变式若本例（2）的条件不变，求A1答案：因为⟨A1B所以A1解题感悟求数量积的两种情况及方法（1）已知向量的模和夹角：利用a⋅（2）在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的数量积运算律展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.迁移应用1.（多选）设a,A.a2=|C.(a⋅答案：A;D解析：由数量积的性质和运算律可知A、D正确；因为a⋅ba2运算后是实数，没有2.三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2，AB⊥AD，AB⊥A.0B.2C.-23D.答案：A解析：因为AB⊥AD，所以AB⋅AD=探究点三数量积性质的应用精讲精练类型1求向量的模例1如图，把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足BP=BA-A.3B.4-2C.4D.答案：A解析：取BD的中点M，连接MC,MA，如下图所示：则MC⊥BD，AM⊥BD，因为MA∩MC=M，MA,MC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC，所以AC⊥BD，所以CA⋅又由题意可知CM⊥平面ABD，AM⊂平面ABD，所以CM⊥AM，所以△AMC所以AC又BP=BA-BC+类型2求向量的夹角例2（2021山东滨州高二期中）已知空间向量a,b，|a|=1,|b|=2，且a-A.60∘B.30∘C.135答案：D解析：∵a-b与a垂直，∴(∴cos⟨a,b类型3解决垂直问题例3设e1,e2是互相垂直的单位向量，已知a=2e1A.-6B.6C.3D.-3答案：B解析：由a⊥b，得a⋅所以2k-12=0，所以k=6.解题感悟利用数量积的性质可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.（1）a⊥（2）cos⟨（3）|a迁移应用1.已知a+b+c=A.30∘B.C.60∘答案：D解析：∵a+b+c=0∴cos2.在空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，求证：答案：证明如图所示，因为OA⋅BC=评价检测·素养提升课堂检测1.（多选）对于向量a,b,A.若a⋅b=0，则B.若λa=0，则C.若a2=D.若a⋅b>0答案：B;C2.已知|a|=2,|b答案：613.已知正四面体DABC的棱长为1，点E是AB的中点，则EC⋅答案：1素养演练数学运算——利用数量积求向量的夹角1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C