三元次方程组解法(教师用)初中数学

第讲

三一方组法例教目：（1）了解三元一次方程组的概念（2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．（3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．（4）通过消元可把“三元”转化为“二元充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路.教重难：（1）会解简单的三元一次方程组．(2)通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．(3)针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．知梳：方程组含有3个相同的未知数个方程式中含未知数的项的次数都是并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。注意:每个方程不一定都含有三个未知数但方程组整体上要含有三个未知数解思：思路:解三元一次方程组的基本思想仍是消元其基本方法是代入法和加减法步骤:①利用代入法或加减法消去一个未知数,得出一个二元一次方程组②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解4:解三元一次方程组同解二元一次方程组类似消元时,选择系数较简单的未知数较好.灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组典例：一、三元一次方程组之特殊型12

①

z22②例1：解方程组

4

③分析：方程③是关于表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。解法1：代入法，消x.类型一：有表达式，用代入法型针对上例进而分析方程组中的方程③里缺z,因此利用①②消能达到消元构成二元一次方程组的目的。解法2：消z.类型二：缺某元，消某元型y

①

②例2：解方程组

z③分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义“轮换方程组采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由①+②+③/

典型例题举例：解方程组解：由①+②+③得类型三：轮换方程组，求和作差型例3：解方程组

:z1:2xz

①②分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解即由得y=2x；x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程2x,组的一般形式，即

x2yz21.③

，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。解法1：由①得y=2x，z=7x，并代入②分析2由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=127，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k并代入②111①

:

②典型例题举例：解方程组

z:③分析：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择4将比例式化成关系式求解，即由②得=y；由③得z=.从而利用代入法求解。解法1：略.分析：受例解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12解法2：由②、③得x:y:z=10:15:12.设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型二、三元一次方程组之一般型

①

y

②例4：解方程组

12.③分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用怎么才能做“目标明确消元不乱归纳出：消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。/

3.3.

①解：

y6

②③（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）①+③得5x+2y=16，④(体现第一次使用在①③后做记号√)②+③得3x+4y=18，⑤(体现第二次使用在②③后做不同记号△)由④、⑤得

3xy

④⑤解得

x2,y把x=2，y=3代人②，得z=1.

x2,y3,z∴是原方程组的解.9,①②典型例题举例：解方程组

513.

③分析：通过比较发现未知项系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：②×2得6x－4y+10z=22，④2x+4y+3z=9①①+④得8x+13z=31.⑤②×3得9x－6y+15z=33，⑥5x－6y+7z=13，③⑥－③得4x+8z=20.x+2z=5.⑦由⑤、⑦得

⑤⑦z解得把x=-1，z=3代人①，得x

.1,∴是原方程组的解三、三元一次方程组的相关变式题型例五、解方程组

yzyz3/

，，求时，代入，，求时，代入

xy9(1)2yz解：原方程组可化为

3z由（1）+（3

z

（4）由（1）+（2）

，得

529

（5）由（4）和（5）组成方程组，得

z5z29(5)解这个方程组，得

x2把

2

代入（1得

9

∴

xy∴是原方程组的解例六、已知

yxz4yz0xy

的值。解：由题意，得

y3xz解这个方程组，得

z当

z

，

xz2222xyz213∴所求代数式的值为xya(1)yz(3)例七、已知方程组的解使代数式

y

的值等，值。解）－（1

2a

（4）（3）+（4

z6,3a把

z

代入（2）和（3

2xa

xy2∴

za

，把

yazax

，得

aaa∴

a

53

∴所求的值为

2例八、甲、乙两同学解方程组，已知甲的正确解答是

x2y4

，乙由于看错了，求出的解是

6.5

，则求

a,b,

的值。/

y4y4解：把代入原方程组，得

2ab

∴

由

满足

by

，得

3a6.52

和（1）组成方程组，得6.5

解得

b

∴

c∴所求

,c

的值分别为

在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。四、三元一次方程组的实际应用例一:甲地到乙地全程是一段上坡，一段平路，一段下坡。上坡每小时行，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么，从甲地到乙地要51分钟乙地到甲地要53.4分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少解：设从甲地到乙地上坡为，平路为Ykm，下坡为Zkm，则X+Y+Z=3.3①X/3+Y/4+Z/5=51/60②Z/3+Y/4+X/5=53.4/60③由②式得到20X+15Y+12Z=51④由③式得到20Z+15Y+12X=53.4⑤由⑤式-④式得到Z-X=0.3,么Z=X+0.3⑥将⑥式带入①式，得到X+Y+X+0.3=3.3,么Y=3-2X⑦将⑥⑦式带入④式，得到20X+15(3-2X)+12(X+0.3)=51,么，X=1.2,所以Y=0.6,Z=1.5所以，从甲地到乙地，上坡千米，平路0.6千米，下坡1.5千米。练习1.甲、乙、丙三数的和是，甲数的2倍比丙数的3倍大3，甲、乙两数的比为。求这三个数。聚中：1.（2011•重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和紫花搭配而成．这些盆景一共用了红花，3750朵紫花，则黄花一共用了4380朵．分析：题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花的朵数丙种盆景所用紫花的朵数=3750．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别x盆、盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有盆、y盆、z盆．由题意有{15x+10y+10z=290025x+25z=3750②，由①得3x+2y+2z=580，由②得x+z=150/

④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=64x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．点评：本题考查了三元一次方程组在实际生活中的应用．解题的关键是发掘等量关系列出方程组，难点是将方程组中的其中一个未知数看作常数，用含有一个未知数的代数式表示另外两个未知数，然后代入所求黄花的代数式．2.某果品店组合销售水果，甲种搭配：千克A水果，4千克水；乙种搭配：3千克A水果，千克B果，1克C果；丙种搭配：克A水果，克B果，l克C果．A果价格每千克2元，水果价格每千克1.2元，C果价格每千克10元．某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116，则C水果的销售额为150元．分析：设甲种搭配、乙种搭配、丙种搭配分别销售了个、y个、z个．根据该店销售三种搭配共得元