2021-2022学年江西省南昌市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2021-2022学年江西省南昌市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是（）。A.

B.

C.

D.

2.A.A.0B.1/2C.1D.∞

3.设f(x)在x=2处可导，且f'(2)=2，则等于()．A.A.1/2B.1C.2D.4

4.

5.设区域，将二重积分在极坐标系下化为二次积分为()A.A.

B.

C.

D.

6.

7.

8.平面的位置关系为()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合9.若x0为f(x)的极值点，则（）．A.A.f(x0)必定存在，且f(x0)＝0

B.f(x0)必定存在，但f(x0)不－定等于零

C.f(x0)不存在或f(x0)＝0

D.f(x0)必定不存在

10.

11.

12.

13.∫-11(3x2+sin5x)dx=()。A.-2B.-1C.1D.2

14.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

15.点作曲线运动时，“匀变速运动”指的是()。

A.aτ为常量

B.an为常量

C.为常矢量

D.为常矢量

16.A.A.1B.2C.3D.4

17.

18.

19.微分方程(y)2=x的阶数为()A.1B.2C.3D.4

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.微分方程dy＋xdx=0的通解为y=__________．

24.设区域D由曲线y=x2，y=x围成，则二重积分

25.

26.设z=ln(x2+y)，则全微分dz=__________。

27.

28.

29.30.

31.设函数y=x2lnx，则y=__________．

32.设y=3x，则y"=_________。33.

34.方程cosxsinydx+sinxcosydy=O的通解为______.

35.广义积分．36.设y＝3＋cosx，则y＝．

37.设z=x2+y2-xy，则dz=__________。

38.

39.已知f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，则∫01xf"(x)dx=________。

40.三、计算题(20题)41.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．42.43.

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

46.

47.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

48.求曲线在点(1，3)处的切线方程．49.

50.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．53.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．54.

55.

56.证明：57.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．58.59.求微分方程的通解．60.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．四、解答题(10题)61.

62.

63.求由曲线y2=(x-1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.

64.65.将展开为x的幂级数．66.67.

68.(本题满分10分)

69.

70.

五、高等数学(0题)71.求极限

六、解答题(0题)72.求曲线y=在点(1，1)处的切线方程．

参考答案

1.C

2.A

3.B本题考查的知识点为导数在一点处的定义．

可知应选B．

4.D解析：un、vn可能为任意数值，因此正项级数的比较判别法不能成立，可知应选D。

5.A本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分．

由于在极坐标系下积分区域D可以表示为

0≤θ≤π，0≤r≤a．

因此

故知应选A．

6.A

7.B

8.A本题考查的知识点为两平面的关系。两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若时，两平面平行；

当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，应选A。

9.C本题考查的知识点为函数极值点的性质．

若x0为函数y＝f(x)的极值点，则可能出现两种情形：

(1)f(x)在点x0处不可导，如y＝|x|，在点x0＝0处f(x)不可导，但是点x0＝0为f(x)＝|x|的极值点．

(2)f(x)在点x0可导，则由极值的必要条件可知，必定有f(x0)＝0．

从题目的选项可知应选C．

本题常见的错误是选A．其原因是考生将极值的必要条件：“若f(x)在点x0可导，且x0为f(x)的极值点，则必有f(x0)＝0”认为是极值的充分必要条件．

10.C

11.B

12.D

13.D

14.D解析：

15.A

16.D

17.B

18.A

19.A

20.D

21.

22.

23.24.本题考查的知识点为计算二重积分．积分区域D可以表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

25.

解析：

26.

27.2

28.3x2+4y29.2本题考查的知识点为二阶导数的运算．

f'(x)=(x2)'=2x，

f"(x)=(2x)'=2．

30.

31.32.3e3x

33.

本题考查的知识点为隐函数的求导．

34.sinx·siny=C由cosxsinydx+sinxcosydy=0，知sinydsinx+sinxdsiny=0，即d(sinx·siny)=0，两边积分得sinx·siny=C，这就是方程的通解.35.1本题考查的知识点为广义积分，应依广义积分定义求解．

36.－sinX．

本题考查的知识点为导数运算．

37.(2x-y)dx+(2y-x)dy38.2．

本题考查的知识点为二次积分的计算．

由相应的二重积分的几何意义可知，所给二次积分的值等于长为1，宽为2的矩形的面积值，故为2．或由二次积分计算可知

39.2由题设有∫01xf"(x)dx=∫01xf"(x)=xf"(x)|01-|01f"(x)dx=f"(1)-f(x)|01=f"(1)-f(1)+f(0)=3-2+1=2。

40.

41.

42.

43.

44.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

45.

46.

47.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％48.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

49.由一阶线性微分方程通解公式有

50.由等价无穷小量的定义可知

51.

52.

53.函数的定义域为

注意

54.

则

55.

56.

57.由二重积分物理意义知

58.

59.

60.

列表：

说明

61.

62.

63.注:本题关键是确定积分区间,曲线为y2=(x-1)3.由y2≥0知x-1≥0即x≥1,又与直线x=2所围成的图形，所以积分区间为[1,2].

64.

65.本题考查的知识点为将函数展开为x的幂级数．将函数展开为x的幂级数通常利用间接法．先将f(x)与标准展开式中的函数对照，以便确定使用相应的公式．如果f(x)可以经过恒等变形变为标准展开式中函数的和、差形式，则可以先变形．

66