4.1.1 n次方根与分数指数幂（教学课件） 高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

4.1.1n次方根与分数指数幂第4章指数函数与对数函数人教A版2019必修第一册良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现.这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑。考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年~前2300年，你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？

实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数函数。指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用。例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律。

通过幂函数的学习，我们已经体验了研究一类函数的过程和方法。在本章，我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较。在此基础上，通过解决简单实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律.01n次方根的定义与性质02分数指数幂的运算性质目录1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)学习目标3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.

初中已经学过整数指数幂。在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数

记作.像

这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义人手展开研究.我们知道：如果

，那么x叫做a的平方根.例如，±2就是4的平方根；如果

，那么x叫做a的立方根。例如，2就是8的立方根.类似地，由于，我们把±2叫做16的4次方根；由于

，2叫做32的5次方根.1.n次方根的概念我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.例如，±2就是4的平方根.如果x3=a，那么x叫做a的立方根.如2就是8的立方根.类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根.由于25=32，所以2叫做32的5次方根.一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.

其中n>1，且n∈N*.2.n次方根的性质

【3】负数没有偶次方根.【4】0的任何次方根都是0.记作：因为在实数的定义里，任意实数的偶次方是非负数.因此负数没有偶次方根.

3.根式的概念

根指数被开方数

注：

①当n为奇数时，

②当n为偶数时，

不一定总结：

注意：当n为偶数时，a≥0；当n为奇数时，a∈R.

n次方根的定义与性质

解：

思考

当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式，例如：

4.分数指数幂规定正数的正分数指数幂的意义是：

规定正数的负分数指数幂的意义是：

例如，

规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.

5.分数指数幂的运算性质

②当a<0,b<0时运算法则不一定成立.只有当a>0,b>0时运算法则才一定成立.

注意：①法则的逆用：

同底数幂相除，底数不变，指数相减2.分数指数幂的运算性质

解：

解：

例3用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中a>0).

例4计算下式各式(式中字母均是正数).解：课本练习1.用根式的形式表示下列各式（a>0）.解：2.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式.解：3.计算下列各式.解：3.计算下列各式.解：随堂检测1、n次方根和根式的概念。2、3、当n为奇数时，a的n次方根是。当n为偶数时，正数a的n次方根是负数没有偶次方根。0的任何次方根都是0当n是奇数时，