七年级数学竞赛培优讲义专题29归纳与猜想

专题29概括与猜想阅读与思虑当一个问题波及相当多的以致无量多的情况时，可从问题的简单情况或特别状况人手，经过对简单情况或特别状况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的门路或方法，这类研究问题的方法叫概括猜想法.概括是成立在仔细而深刻的察看基础上，发现常常是从察看开始的，察看是解决问题的先导，解题中的察看活动主要有三条门路：．数与式的特点察看．．几何图形的构造察看．．经过对简单、特别状况的察看，再推行到一般状况.需要注意的是，用概括猜想法获得的结果，经常拥有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败的试试，需用符合逻辑的推理步骤把它写成十全十美的证明．【例1】以下图是飞翔棋的一颗骰子，依据图中A，B，C三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是___________.（“东方航空杯”上海市比赛试题）(A)(B)(C)解题思路：仔细察看A，B，C三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推测。【例2】如图，挨次连接第一个正方形各边的中点获得第二个正方形，再挨次连接第二个正方形各边的中点获得第三个正方形，按此方法持续下去，若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是____．（湖北省武汉市比赛试题）1解题思路：从察看剖析图形的面积下手，先观察n＝1，2，3，4时的简单情况，从而作出猜想．【例3】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向挨次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，．“17”在射线____上．请随意写出三条射线上数字的摆列规律．“2007”在哪条射线上？（贵州省贵阳市中考试题）解题思路：察看发现每条射线上的数除以6的余数相同．【例4】察看按以下规则排成的一列数：11212312341234511，，，，，，，，，，，，，，，，(※)2132143215432162在(※)中，从左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝2001时，求m的值和这m个数的积．(2)在(※)中，未经约分且分母为2的数记为c．它后边的一个数记为d，能否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000?假如存在，求出c和d；假如不存在，请说明原因．（湖北省比赛试题）解题思路：按分母递减而分子递加的变化规律，对原数列适合分组，明确每组中数的个数与分母的关系、未经约分且分母为2的数在每组中的地点，这是解本例的重点，【例5】在2,3两个数之间，第一次写上2＋32.5之间和5，3之间分别写上2＋57＝5，第二次在2＝和1225＋3＝4，如下图：2第k次操作是在前一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的1k．(1)请写出第3次操作后所获得的9个数，并求出它们的和．(2)经过k次操作后全部的数的和记为S，第k＋1次操作后全部数的和记为kSk＋1，写出Sk＋1与Sk之间的关系式．求S6的值．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：(1)先得出第3次操作后所获得的9个数，再把它们相加即可．(2)找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数2和3以外，中间的n－2个数均重复计算了2次，用Sk表示出Sk＋1依据(1)，(2)可算出S6的值．能力训练1．有数组(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，，则第100组的三个数之和为．（广东省广州市比赛试题）2．如图有一长条型链子，其外形由边长为1cm的正六边形摆列而成．此中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻，若链子上有35个黑色六边形，则此链子有________个白色六边形．（2013年“实中杯”数学比赛试题）．按必定规律摆列的一串数：11231234512398个数是__________.1．－3，3，－3，5，－5，5，－5，5，－7，7，－7，中，第（山东省比赛试题）4．给出以下丽列数2，4，6，8，10,，19946，13,20,27,34,，19943则这两列数中，相同的数的个数是()．A．142B．143C．284（浙江省比赛试题）5．如图，∠AOB＝45°，对OA上到点Ｏ的距离分别为1，3，5，7，9，11，的点作OA的垂线且与OB订交，获得并标出一组黑色梯形，面积分别为S1，S2，S3，，则S10＝.6．一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为4部分，设五条直线最多分平面为ｎ部分，则n等于()A．16B．18Ｃ．24D．31（北京市“迎春杯”比赛试题）7．察看以下正方形的四个极点所标的数字规律．那么2013这个数标在()．A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角C．第504个正方形的左下角D．第504个正方形的右下角（2013年浙江省衢江市比赛试题）8．自然数按下表的规律摆列：求上起第10行，左起第13列的数．数127应在上起第几行，左起第几列．（北京市“迎春杯”比赛试题）49．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55问：这串数的前100个数中（包含第100个数）有多少个偶数？（“华罗庚金杯”比赛试题）10.将一个圆形纸片用直线区分红大小不限的若干小纸片，假如要分红许多于50个小纸片，起码要画多少条直线？请说明原因．（“五羊杯”比赛试题）下边是按必定规律摆列的一列数：第1个数：1－1－(1＋)；22第2个数：11111323第3个数：11111423

2131；4213141511516；411232n1第n个数：1111111．n12342n那么，在第10个数，第11个数，第12个数，第13个数中，最大的数是哪一个？5有挨次摆列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右侧的数减去左侧的数，所得之差写在这两