高中数学第一章集合与函数概念131单调性与最大(小)值第1课时函数单调性教案数学教案

第1课时函数的单一性[目标]1.记着函数的单一性及其几何意义，会证明简单函数的单一性；2.会用函数的单一性解答有关问题；3.记着常有函数的单一性．[要点]函数的单一性定义及其应用；常有函数的单一性及应用；函数单一性的证明．[难点]函数单一性定义的理解及函数单一性的证明.知识点一增函数与减函数的定义[填一填]设函数f(x)的定义域是I：假如对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有12f(x)<f(x)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．设函数f(x)的定义域是I：假如对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x，x，当x<x时，都有1212f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．[答一答]1．在增函数与减函数的定义中，可否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？提示：不可以，以下图：固然f(－1)<f(2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．2．设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，假如f(x)知足以下条件，该函数f(x)能否为增函数？对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)；(2)对任意x，x，都有[f(x)－f(x)](x－x)>0；121212(3)对任意x、xfx1－fx2都有>0.12x1－x2提示：是增函数，它们只可是是增函数的几种等价命题．3．由2推行，可否写出减函数的几个等价命题？提示：减函数(x1，x21<2f(x1f(x2fx1－fx2<0?[f(x1Mxxx1－x2f(x2)](x1－x2)<0.知识点二函数的单一性与单一区间[填一填]假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y＝f(x)在这一区间拥有(严格的)单一性，区间D叫做y＝f(x)的单一区间．[答一答]4．函数的单一区间与其定义域是什么关系？提示：函数的单一性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单一区间是定义域的子集．15．函数f(x)＝x的单一减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)吗？提示：不是．比如：取x1＝1，x2＝－1，则x1>x2，这时f(x1)＝f(1)＝1，f(x2)＝f(－1)＝－1，故有f(x1)>f(x2)．1这样与函数f(x)＝x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单一递减矛盾．1事实上，f(x)＝x的单一减区间应为(－∞，0)和(0，＋∞)．知识点三常有函数的单一性[填一填]1．设一次函数的分析式为y＝kx＋b(k≠0)，当k>0时，函数y＝kx＋b在R上是增函数；当k<0时，函数y＝kx＋b在R上是减函数．2．设二次函数的分析式为y＝ax2＋＋(≠0)．若a>0，则该函数在(－∞，－b]上bxca2a是减函数，在[－b，＋∞)上是增函数．若<0，则该函数在(－∞，－b]上是增函数，在2aa2ab[－2a，＋∞)上是减函数．k

k3．设反比率函数的分析式为

y＝x(k≠0)．若

k>0，则函数

y＝x在(－∞，0)上是减函k数，在(0，＋∞)上也是减函数；若k<0，则函数y＝x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上也是增函数．[答一答]6．函数y＝x2－x＋2的单一区间怎样区分？提示：函数在

1(－∞，2]上是减函数，在

1[2，＋∞)上是增函数．种类一判断或证明函数的单一性9[例1]证明函数y＝x＋x在(0,3]上递减．[证明]设0<1<2≤3，则有y1－2xxy＝(x1＋999x1－x2)－(x2＋)＝(x1－x2)－x1x2x1x2＝(x1－x2)(1－9)．∵0<x1<x2≤3，x1x2∴x1－x2<0，9>1，即1－9x1x2x<0，1x2y1－y2>0，即y1>y2.9∴函数y＝x＋x在(0,3]上递减．函数单一性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤：第一步：取值.即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.第二步：作差.正确作出差值fx1－fx2[或fx2－fx1].第三步：变形.经过因式分解、配方、分子分母有理化等方法，向有益于判断差的符号的方向变形.第四步：确立fx1－fx2[或fx2－fx1]的符号.当符号不可以直接确准时，可经过分类议论、等价转变，而后作差，作商等思路进行.第五步：判断.依据定义作出结论.,以上五个步骤能够简记为“取值——作差——变形——定号——判断”.1[

变式训练

1]

判断并证明函数

f(x)＝－x＋1在(0，＋∞)上的单一性．12是(0，＋∞)上的任意两个实数，且1212－1＋1－解：设x，xx<x，则f(x)－f(x)＝x1－1＋1x21x1－x2＝－x1＋x2＝x1x2.由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0.又由x1<x2，得x1－x2<0.于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．1所以，f(x)＝－x＋1在(0，＋∞)上是增函数．种类二利用图象确立函数的单一区间[例2]画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单一区间．[剖析]去绝对值→化为分段函数→作图象→求单一区间[解]y－x2＋2x＋1，x≥0，＝2－2x＋1，x<0，－xx－12＋2，x≥0，即y＝－x＋12＋2，x<0.函数图象以下图，单一增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单一减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．利用函数图象确立函数的单一区间，详细做法是：先化简函数分析式，而后画出它的草图，最后依据函数定义域与草图的地点、状态，确立函数的单一区间.,注意：当单一性同样的区间多于一个时，用“和”“或”连结，不可以用“∪”连结.x2＋4x＋3，－3≤x<0，[变式训练2]已知f(x)＝－3x＋3，0≤x<1，－x2＋6x－5，1≤x≤6.画出这个函数的图象；求函数的单一区间．x2＋4x＋3，－3≤x<0，解：(1)f(x)＝－3x＋3，0≤x<1，－x2＋6x－5，1≤x≤6，作出其图象以下：(2)由f(x)的图象可得，单一递减区间为[－3，－2)，[0,1)，[3,6]；单一递加区间为[－2,0)，[1,3)．种类三函数单一性的应用命题视角1：利用函数的单一性比较大小3[例3]已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单一递减的，试比较f(a2－a＋1)与f4的大小．[剖析]要比较两个函数值的大小，需先比较自变量的大小．[解]∵a2－＋＝a－12＋3≥3，a124432∴4与a－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单一递减的，3∴f4≥f(a2－a＋1)．利用函数的单一性能够比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单一性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转变到同一个单一区间上.[变式训练3]设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若∈R，则(D)aA．()>f(2a)B．(2)<f()fafaaC．f(a2＋a)<f(a)D．f(a2＋1)<f(a)分析：选项D中，∵a2＋1>，(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(a2＋1)<f(a)．而af其余选项中，当a＝0时，自变量均是0，应取等号．应选D.命题视角[例4]

2：利用函数的单一性解不等式已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且

f(x－2)<f(1－x)，求

x

的取值范围．[解]∵f(x)在[－1,1]上为增函数，且f(x－2)<f(1－x)，1≤x－2≤13∴－1≤1－x≤1，解得1≤x<2.x－2<1－x3∴x的取值范围是1≤x<.2对于x1<x2?fx1<fx2函数fx为增函数，要注意“双向性”；左到右两边同“加”“f”不等号方向不变，右到左两边同“脱”“f”不等号方向也不变，若fx为减函数则恰好相反.[变式训练4]已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，则实数a的取值范围是18－∞，－5.分析：由题意3－7>11＋8a，解得a<－18.a5命题视角3：利用函数的单一性确立参数的值或取值范围2[例5]函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2，若函数f(x)的单一递减区间是(－∞，4]，则实数a的值(或范围)是________．(2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单一递减，则实数a的值(或范围)是________．[剖析]说函数的单一递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单一递减，则指此区间是相应单一区间的子集．[答案](1)－3(2)(－∞，－3][分析](1)由于函数f(x)的单一递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.(2)由于函数f(x)在区间(－∞，4]上单一递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1a，所以1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．已知函数的单一性，求函数中参数的取值范围的一般方法：将参数当作已知数，求函数的单一区间，再与已知的单一区间作比较，求出参数的取值范围．运用函数的单一性的定义成立对于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围，马上函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转变．[变式训练5]已知函数f(x)＝42－xx>1，若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，务实数a的取值x2＋2ax－3a＋3x≤1，范围．解：令

42g(x)＝2－x，h(x)＝x＋2ax－3a＋3.明显，函数

4g(x)＝2－x在(1，＋∞)上递4增，且

()>2－1＝－2；函数h(x)＝x2＋2ax－3a＋3在[－a,1]上递加，且h(1)＝4－a，故若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，－a≤－7，a≥7，则即∴≥7，h1≤g1，4－a≤－2，∴a的取值范围为1．以下函数在区间

[7

，＋∞)．(0，＋∞)上不是增函数的是

(

C)A．y＝2x＋1

B．y＝x2＋1C．y＝3－x

D．y＝x2＋2x＋1分析：函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则(D)A．1B．1><k2k2C．k>－1D．k<－1221k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数．分析：当2k＋1<0，即k<－时，函数y＝(223．若函数y＝f(x)的图象以下图，则函数f(x)的单一递加区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．分析：由题图可知函数f(x)的单一递加区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．4．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a－3)>f(5＋6a)，则实数a的取值范围是(－∞，－4)．分析：由题意，知4－3>5＋6，<－4.aaa15．求证：函数f(x)＝x2在(0，＋∞)上是减函数．证明：对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2.x－x1x＋x122有f(x1)－f(x2)＝22.x1x220<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x1x2>0.f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．1∴函数f(x)＝x2在(0，＋∞)上是减函数．——本课须掌握的两大问题1．对函数单一性的理解单一性是与“区间”密切有关的观点，一个函数在定义域的不一样的区间上能够有不一样的单一性．单一性是函数在某一区间上的“整体”性质，所以定义中的x1、x2有以下几个特点：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不可以扔掉，证明单一性时更不行任意以两个特别值替代；二是有大小，往惯例定x1<x2；三是属于同一个单一