高中数学3章空间向量与立体几何31空间向量其运算314空间向量坐标表示1数学

3．1.4

空间向量的坐标表示[对应学生用书

P56]空间向量的坐标表示在棱长为

1的正方体

ABCD－A1B1C1D1中，成立空间直角坐标系

(如图)，在

x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量

i，j，k.问题

1：用

i，j

，k表示

AC

，

AD1.提示：AC＝i＋j，AD1＝j＋k.问题2：若AC1＝xi＋yj＋zk，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？提示：∵AC1＝i＋j＋k，∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)

与C1的坐标同样．在空间直角坐标系

O－xyz中，分别取与

x轴、y轴、z轴方向同样的单位向量

i、j

、k作为基向量．关于空间随意一个向量

a，依据空间向量基本定理，

存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使

a＝xi

＋yj

＋zk，有序实数组

(x，y，z)叫做向量

a

在空间直角坐标系

O－xyz

中的坐标，记作

a＝(x，y，z).空间向量的坐标运算一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧迫赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，2，3，它们两两垂直，且|1|＝3000N，|2|＝2000N，|3|＝20003N.FFFFF问题1：若以F1，2，3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴成立空间直角坐标系，巨FF石受协力的坐标是什么？提示：＝(3000,2000,20003)．F问题2：巨石遇到的协力有多大？提示：|F|＝5000N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)?b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确立空间向量的坐标的方法：向量的坐标可由其两个端点的坐标确立，可先求其两头点的坐标．经过向量间的坐标运算求得新向量的坐标．2．空间向量的坐标运算：向量的加减等于对应坐标的加减，其结果还是向量．向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果还是向量．[对应学生用书P57]空间向量的坐标表示[例1]如下图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，而且PA＝AB＝1.求向量MN的坐标．[思路点拨]以AB、AD、AP为单位正交基底成立空间直角坐标系，用AB、AD、AP表示MN，得其坐标．[精解详析]PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP是两两垂直的单位向量．设AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3，以{e1，e2，e3}为基底成立空间直角坐标系A－xyz.法一：∵MN＝MA＋AP＋PN＝－1AB＋AP＋1PC22＝－1AB＋AP＋1(PA＋AC)22＝－1AB＋AP＋1(PA＋AB＋AD)2211112AP＋2AD＝2e2＋2e3，1MN＝0，2，2.法二：如下图，连接AC、BD交于点O.则O为AC、BD的中点．1MO＝2BC＝2AD，1ON＝2AP，∴MN＝MO＋ON＝1AD＋1AP＝1e2＋1e3，2222∴MN＝0，1，1.22[一点通]用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，成立如下图的空间直角坐标系，试写出DB1，DE，DF的坐标．解：设x、y、z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴上的正方向同样，则DB1＝DA＋AB＋BB12e1＋2e2＋2e3，∴DB1＝(2,2,2)．DE＝DA＋AB＋BE＝2e1＋2e2＋e3，DE＝(2,2,1)．又∵DF＝e2，DF＝(0,1,0)．π2.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如下图的空间直角坐标系中，求DO、A1B的坐标．解：(1)∵DO＝－OD＝－(OO＋OD)111＝－[OO1＋2(＋)]1＝－OO1－2－2.又|OO1|＝4，||＝4，||＝2，∴DO＝(－2，－1，－4)．(2)∵A1B＝－OA1＝－(＋AA1)＝－－AA1.又||＝2，||＝4，|AA1|＝4，A1B＝(－4,2，－4)．3．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．解：由已知p＝2a＋3b－c，设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc.由向量分解的唯一性，x＋y＋z＝2，得y＋z＝3，z＝－1，

解得

x＝－1，y＝4，z＝－1.∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1).空间向量的坐标运算[例2]已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求：a＋b，a－b,3a＋2b.[思路点拨]空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法近似．[精解详析]a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)．a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．3a＋2b＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通]空间向量的加、减、数乘运算是此后利用向量知识解决立体几何知识的基础，一定娴熟掌握，而且可以灵巧应用．4．已知a＝(1，－2,4)，b＝(1,0,3)，c＝(0,0,2)．求：(1)a－(b＋c)；(2)4a－b＋2c.解：(1)∵b＋c＝(1,0,5)，∴－(b＋)＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)．ac(2)4a－b＋2c＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)(3，－8,17)．5．已知O为原点，A，B，C，D四点的坐标分别为：A(2，－4,1)，B(3，2,0)，C(－2,1,4)，D(6,3,2)，求知足以下条件的点P的坐标．＝2(AB－AC)；AP＝AB－DC.解：(1)AB－AC＝＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)，∴＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)，∴点P的坐标为(10,2，－8)．设P(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋4，z－1)，又AB＝(1,6，－1)，DC＝(－8，－2,2)，AB－DC＝(9,8，－3)，(x－2，y＋4，z－1)＝(9,8，－3)，x－2＝9，∴y＋4＝8，z－1＝－3，

解得

x＝11，y＝4，z＝－2.因此点P的坐标为(11,4，－2).空间向量的平行[例3]已知四边形ABCD的极点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．[思路点拨]证明AB∥且AD不平行BC，或证AB∥且|AB|≠||即可．[精解详析]∵AB＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，－23－34＝－6＝6，AB与共线，即AB∥CD，又∵AD＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，－41－2≠－1≠－2，∴AD与BC不平行．∴四边形ABCD为梯形．[一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应当按照的步骤是：成立空间直角坐标系，写出相应点的坐标；写出相应向量的坐标；证明两个向量平行；证明此中一个向量所在直线上一点不在另一直量所在的直线上，进而证得线线平行．6．设a＝(1,2，－1)，b＝(－2,3,2)．若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值．解：∵ka＋b＝(k,2k，－k)＋(－2,3,2)(k－2,2k＋3,2－k)，a－3b＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)．(ka＋b)∥(a－3b)，k－22k＋32－k17＝－7＝－7，∴k＝－3.如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是棱O1B1、AE的中点．求证：PQ∥RS.证明：如图，成立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O(0,0,2)，A(3,0,2)，B(0,4,2)．111PA＝2PA1，SB1＝2BS，Q、R分别是棱OB、AE的中点，1142∴P3，0，3，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，3.2于是PQ＝－3，2，3＝.∴PQ∥.R?PQ，∴PQ∥RS.1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：成立适合的空间直角坐标系；求出有关点的坐标；写出向量的坐标；联合公式进行论证、计算；转变为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是成立适合的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在成立空间直角坐标系时，要充分剖析空间几何体的构造特色，应使尽可能多的点在座标轴上或坐标平面内．[对应课时追踪训练(二十一)]1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝________.分析：b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，此中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．分析：由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．已知向量a＝(2，－1,3)，＝(－1,4，－2)，＝(7,0，λ)，若、、c三个向量bcab共面，则实数λ＝________.分析：由a、b、c共面可得c＝xa＋yb，7＝2x－y，∴0＝－x＋4y，解得λ＝10.＝3x－2y，答案：104．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，则x＝_______________，y＝________.分析：∵a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，又∵a∥b，明显y≠0，2x131＝－2y＝9，3x＝6，y＝－2.3答案：6－25．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且AC＝1AB，则C点坐3标为________．分析：设C点坐标(x，y，z)，则AC＝(x－4，y－1，z－3)．∵AB＝(－2，－6，－2)，∴1122，3AB＝(－2，－6，－2)＝－，－2，－333210x－4＝－3，x＝3，∴y－1＝－2，解得：y＝－1，27z－3＝－3.z＝3.7答案：(，－1，)336．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，而且PA＝AD＝1，试成立适合的坐标系并写出向量MN，DC的坐标．解：如图，由于PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，因此可设AD＝e1，AB＝2，AP＝3，以{1，2，3}为基底成立空间直角坐标系-.eeeeeAxyz由于DC＝AB＝e2，1MN＝MA＋AP＋PN＝MA＋AP＋2PC＝－1AB＋AP＋1(PA＋AD＋DC)2212313121113＝－2e＋e＋2(－e＋e＋e)＝2e＋2e.11因此MN＝－2，0，2，DC＝(0,1,0)．7．已知A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P的坐标，使：1(1)＝2(AB－AC)；1(2)AP＝2(AB－AC)．解：AB＝(2,6，－3)，AC＝(－4,3,1)．13(1)＝2(6,3，－4)＝3，，－2，2则点P的坐标为3.3，，－22设P为(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋1，z－2)13＝2(AB－AC)＝3，2，－2，11∴x＝5，y＝2，z＝0，则点P的坐标为5，2，0.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么地点时，PE∥A1B?解：以D为原点，成立空间直角坐标系，如下图，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，