2022-2023学年四川省遂宁市高二强基班上学期第二次半月考数学（文）试题【含答案】

2022-2023学年四川省遂宁市高二强基班上学期第二次半月考数学（文）试题一、单选题1．过点且斜率为的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.故选：B.2．已知直线，若异面，，则的位置关系是（

）A．异面 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面【答案】D【分析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体：和是异面直线，，；和是异面直线，，与是异面直线.所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.故选：D3．圆的圆心坐标与半径分别是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.【详解】由题可知，圆的标准方程为，所以圆心为，半径为3，故选.4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.【详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.故选：C.5．现要完成下列3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从2000名学生中抽取100名进行课后阅读情况调查；③从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是（）A．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 D．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样【答案】D【分析】根据系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念判断．【详解】在①中，由于总体个数较少，故采用简单随机抽样即可；在②中，由于总体个数较多，故采用系统抽样较好；在③中，由于高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显，故采用分层抽样较好.故选：D．【点睛】本题考查抽样的概念，掌握系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念是解题关键．6．为参加CCTV举办的中国汉字听写大赛，某中学举行了一次大型选拔活动，随机统计了甲、乙两班各6名学生的汉字听写的成绩如图所示，设甲、乙两班数据的平均数依次为，，标准差依次为s1，s2，则()A．，s1>s2 B．，s1<s2C．，s1>s2 D．，s1<s2【答案】C【分析】分别求出甲、乙两班数据的平均数和标准差，然后比较大小即可得到答案【详解】，故选【点睛】本题主要考查了平均数和标准差，根据计算方法分别求出结果作出比较，较为基础．7．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点，连接，易证平面，进一步得到线面角，再解三角形即可.【详解】如图，取的中点，连接，三棱柱为直三棱柱，则平面，又平面，所以，又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而，而平面，平面，且，所以平面，则为与平面所成的角.在直角中，.故选：C8．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即，又圆锥的表面积为，则，解得，，则圆锥的高，所以圆锥的体积，故选：D.9．如图，在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解即可.【详解】解：因为在三棱锥中，，所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为，外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故选：.10．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，设学生出来的时间为，家长到达学校的时间为，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率.【详解】解：根据题意，设学生出来的时间为，家长到达学校的时间为，学生出来的时间为17：00-18：00，看作，家长到学校的时间为17：30-18：30，，要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要，则相当于，即求的概率，如图所示：约束条件对应的可行域面积为：1，则可行域中的面积为阴影部分面积：，所以对应的概率为：，即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：.故选：A.【点睛】本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.11．圆：，点为直线上的一个动点，过点向圆作切线，切点分别为、，则直线过定点A． B． C． D．【答案】B【详解】不妨设，画出图象如下图所示，根据直角三角形射影定理可知，即直线方程为，四个选项中，只有选项符合，故选.二、填空题12．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则______.【答案】0.7【分析】利用对立事件概率计算公式求出（B）（C），再由互斥事件概率加法公式能求出．【详解】随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），（B）（C），（A）（B）．故答案为：0.7．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______.【答案】【解析】曲线表示圆心为，半径为的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出的取值范围.【详解】由，解得根据二次函数的性质得出，即曲线可化为，所以该曲线表示圆心为，半径为的半圆因为直线与曲线有公共点，所以它位于之间，如下图所示当直线运动到时，过，代入得：当直线运动到时，此时与曲线相切则，解得或（舍）要使得直线与曲线有公共点，则故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.14．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是__________①存在点，使得平面平面；②存在点，使得平面平面；③的面积可能等于；④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得【答案】①②③④【分析】根据正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及三角形的面积公式和投影的定义，即可求解，得到答案.【详解】①如图所示，当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；②如图所示，取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；③如图所示，作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故正确；④如图所示，设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.故答案为①②③④【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟练应用正方体的结构特征，熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.三、解答题15．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).【答案】（1）；（2）平均数为71，中位数为73.33.【解析】（1）利用频率之和等于1进行求解即可（2）利用平均数和中位数的计算公式进行求解即可【详解】（1）由，得.（2）平均数为，设中位数为，则，得.故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.16．在四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，利用三角形中位线定理可证明BG//EF，由线线平行，可得线面平行；（2根据图像可得，以为底面，证明为高，利用三棱锥的体积公式，可得答案;【详解】（1）取的中点，因为为的中点，所以且，又因为为的中点，四边形为菱形，所以且，所以且，故四边形BFEG为平行四边形，所以BG//EF，因为面面，所以面.（2）因为底面是边长为2的菱形，，则为正三角形，所以因为面，所以为三棱锥的高所以三棱锥的体积.17．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值：（1）直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）代入点到的方程，求解出的第一个关系式，再根据垂直关系求得第二个的关系式，从而求解出的值；（2）根据两直线平行得到的第一个关系式，再根据原点到两直线的距离相等得到第二个的关系式，从而求解出的值.【详解】（1）因为过点，所以，又因为，所以，所以，所以；（2）因为，所以，所以，又因为标原点到的距离相等，所以，所以当时，；当时，，所以或.【点睛】本题考查根据直线的位置关系求解参数值，难度一般.已知（不重合），若，则有；若，则有.18．如图，在正四棱柱中，是上的点，满足为等边三角形.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据题意证明，，然后根据线面垂直的判定定理证明问题；（2）结合（1），进而利用等体积法求得答案.【详解】（1）由题意，，为等边三角形，，∵平面ABCD，∴，则，即为中点.连接，∵平面，平面，∴，易得，则，又，于是，即，同理，即，又平面.（2）设M到平面的距离为d，，∴.易得，取BD的中点N，连接，则，所以，，所以，，.即M到平面的距离为1.19．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收关之年．某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下表：年份20152016201720182019年份代码x12345脱贫户数y55688092100(1)根据2015-2019年的数据，求出y关于年份代码x的线性回归方程，并预测到2020年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；(2)2019年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户．该乡镇某干部打算按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况．为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户中至少有1户是扶贫户的概率．参考数据：，参考公式：，【答案】(1)，能够；(2)【分析】（1）由已知求得与的值，可得关于的线性回归方程，取求得值即可得结论；（2）利用分层抽样可得抽取的5户贫困户中，有1户五保户，1户低保户，3户扶贫户，，，利用枚举法写出这5户中选2户的所有基本事件，得到抽取的2户中至少有1户是扶贫户的事件数，则概率可求．【详解】（1）解：，，．．，．．当时，，即预测到2020年一年内该乡镇约有113户贫困户脱贫．预测6年内该乡镇脱贫总户数有．即预测到2020年底该乡镇500户贫困户能全部脱贫；（2）解：由题意可得，按分层抽样抽取的5户贫困户中．有1户五保户，1户低保户，3户扶贫户，，，从这5户中选2户，共有10种情况：，，，，，，，，，，其中抽取的2户中至少有1户是扶贫户有：，，，，，，，，共9种情况，抽取的2户中至少有1户是扶贫户的概率为．20．已知曲线（1）若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；（2）若曲线表示圆，且直线与圆交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或(即)；（2）【分析】（1）根据垂径定理求出圆心到直线距离为1，再根据点到直线距离公式求直线的斜率，即得直线方程；（2）先根据曲线表示圆得实数