2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准LtD2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设，则（）A.24.B.25.C..D..【答】A.由，得，故.所以.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A..B..C..D..【答】C.延长CA至D，使AD＝AB，则，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.又CE⊥BE，所以，故CBE＝.6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（）A.3.B.4.C.5.D.6.【答】B.设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为正整数），则.验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共8页）因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共8页）二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.【答】.因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以解得.，当时，取得最小值.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.【答】.设△ABC的面积为,则因为△ADE∽△ABC，所以.又因为△BDF∽△BAC，所以.两式相加得，即，解得.所以四边形DECF的面积为.3．如果实数满足条件，，则______.【答】.因为，所以.由可得，从而，解得.从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共8页）把代入计算可得，所以.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共8页）4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.【答】7.设（为正整数），则，故为有理数.令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以.同理可得（其中为正整数），则.又，所以，所以.（1）时，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）.（2）时，同理可求得.（3）时，同理可求得或（1,2）.（4）时，同理可求得.因此，这样的有序数对共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试（A）一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.解（1）易求得点的坐标为，设，，则，.设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共8页）因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).…………………10分2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共8页）（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即.…………………15分又，所以，解得.…………………20分二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.解作E⊥AB于E，F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.…………………5分因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝.…………………10分连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，.…………………15分同理，可求得，.…………………20分所以＝.…………………25分三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：①②2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共8页）证明：以为三边长可构成一个直角三角形.2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共8页）证法1将①②两式相乘，得，即，………………10分即，即，………………15分即，即，即，即，即，…………………20分所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形.……………25分证法2结合①式，由②式可得，变形，得③………10分又由①式得，即，代入③式，得，即.…………………15分，…………20分所以或或.结合①式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形.……………25分第二试（B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共8页）解因为BN是∠ABC的平分线，所以.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共8页）又因为CH⊥AB，所以，因此.…………………10分又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.…………………15分又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.…………………20分同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.…………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试（C）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：①②是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1将①②两式相乘，得，即，………………10分即，即，………………15分即，即，即，即，即，…………………20分2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共8页）所以或或，即或或.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共8页）因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………25分解法2结合①式，由②式可得，变形，得③………10分又由①式