2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)

2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)LtDPAGEPAGE42009年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）1.已知集合，，则＝（A）。A．B．C．D．空集解：由于，所以。答案为A。2.已知椭圆上一点P到点（4,0）距离等于4，则P点到直线的距离为（C）。A．4B．6C．D．解：因为，则。于是P到另一个焦点的距离等于。由于直线为椭圆的左准线方程，则P到直线的距离为。答案为C。3.等差数列中，，，则部分和中最大的是（C）A．B．C．D．解：由题意知，。所以是单调递减数列。又。由此可得当时，最大。A．1B．C．D．解：答案为C。10.问下述计算机程序的打印结果为（D）A．B．C．D．开始是开始是输出否打印解：答案为D。二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共计49分）11.－8。解：由于，所以。12．直线与函数的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围为。解：通过作图可知，实数b的取值范围为。13．对任意正整数n，数列满足，则。解：由题意得，。于是。所以14．已知，则。解：。15．实数满足，则的最大值为。解：。由此可得，其中等号成立当且仅当。16．在边长为1的正方体中，分别为，上的点，且，则四边形的面积最小值为。解：由题意，可得当E，F分别是，的中点时，四边形的面积可取到最小值。17．设，则自然数x，y，z的乘积能被10整除的情形有72种。解：（1）x，y，z的取法有种；（2）x，y，z不取2，4，6的取法有种；（3）x，y，z不取5的取法有种；（4）x，y，z不取2，4，5，6的取法有种。由容斥原理得，x，y，z的乘积能被10整除的情形有＝72。三、解答题（本大题共3小题，每小题17分，共计51分）18．三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，，。求SC与平面ABC所成夹角的正弦值；求B到平面ASC的距离；求平面SBC与SAC所成锐二面角的大小。解：在平面ABC上，过A作。以A为原点，以向量AB，AD，AS的方向分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。于是有，，，。因为SA平面ABC，所以SC与平面ABC所成夹角就是。在直角△SAC中，，于是。（5分）设平面ASC的法向量为，则且，而，所以，从而有。于是B到平面ASC的距离为。（11分）设平面SBC的法向量为，则且，而，所以，从而有。设平面SBC与SAC所成锐二面角为，则，即。（17分）已知抛物线（）上两个动点，O为坐标原点，。（1）求线段AB中点的轨迹方程C；（2）若在C上的点到直线的距离为d，求d的最小值。解：设，，则。又因为，所以。从而有，即有。（5分）（1）设AB的中点坐标为，则。于是有，即为该中点的轨迹方程。（11分）（2）。当时，，。（17分）设函数，其中，b为任意常数。证明：当时，有。证：已知，所以为其极小值点，此时，而.（7分）1）；此时有.(i)当时，；（此不等式显然成立）于是有。(ii)当时，；此时同样有。于是有。(iii)当时，，此时考虑于是有。（12分）2)；此时有。由于，所以。于是有。3）；此时有。由于，所以。于是有。当时，；当时，。综合1），2），3），有当时，有。（17分）四、附加题（本大题共2小题，每小题25分，共计50分）注：附加题每题的得分只能是：0，5，10，15，20，25，即5分为一个档次。21．设（）且。试求，并证明之。解:由于。（5分）令，则对任意，有。即有，（10分）从而有。由于，所以。（15分）上式等号成立的充要条件是，即。因此。（25分）评分标准：求出最小值得5分；中间过程20分。22．用一个数列取遍走遍复平面上所有整点：令，，然后按逆时针方向逐格前进。再令，其中i为虚数单位。求的最简洁的统一表达式。k+1个k+1个解：由于，所以应是模4的同余式。为了寻找规律，我们首先去求k+1个k+1个的表达式。