药学高数应用

若曲线由参数方程：给出，且

(t),(t)在[t1,t2]上有连续的一阶导数，则弧微分第一页，共二十三页，2022年，8月28日例4-20

求星形线的周长。

解：星形线第二页，共二十三页，2022年，8月28日星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)第三页，共二十三页，2022年，8月28日由参数方程：x=-3acos2t·sinty

=3acost·sin2t第四页，共二十三页，2022年，8月28日例4-21旋轮线x=R(-sin),y=R(1-cos)的第一拱

[0,2]的弧长解:第五页，共二十三页，2022年，8月28日当曲线由极坐标方程：r=r()(≤≤)给出时若r()在(,)内连续，则弧微分第六页，共二十三页，2022年，8月28日例4-22求心形线

r=a(1+cos)(a>0)

的周长解:由对称性求(0<<)第七页，共二十三页，2022年，8月28日三、定积分在物理上的应用(一)变力沿直线所做的功物体在恒力F作用下沿直线移动的距离为s那么力F所作的功为W=F·s得到功的微元:dW=F(s)ds所求的功为ass+dsb物体在变力F(s)作用下,沿s轴从s=a移动到s=b.在[a,b]内任取一点s,[s,s+ds]s处的F(s)看作恒力，第八页，共二十三页，2022年，8月28日例4-23某种定量气体密闭在附有活塞的圆筒内，在等温条件下,由于气体的膨胀,把活塞从点a处推移到点b处,求移动过程中气体压力所作的功.等温条件下,PV=C,

又有V=xS,ba解:设容器的底面积为S,内部的压强为P,则F=PSx第九页，共二十三页，2022年，8月28日例4-24

一圆台形容器内贮满了水,其高为5m,上底圆半径为3m,下底圆半径为2m,问欲将容器内水全部抽出,需作多少功?解:在深度为y处抽取厚度为dy的薄层水所受的重力为

G=gV=gx2dyg=9.8,=1000kg/m3直线AB的方程为:xyxy5(3,5)0(2,0)BA第十页，共二十三页，2022年，8月28日第十一页，共二十三页，2022年，8月28日（二）液体的静压力一平置于液体内的物体受到液体静压力F=·g·h·S设一薄板由y=f(x)，x=a,x=b及x轴围成垂直置于液体中任取[x,x+dx],得压力微元：

dF=·g·x·f(x)dxxyxx+dxy=f(x)第十二页，共二十三页，2022年，8月28日例4-25在水坝中有一等腰三角形闸门,长为3m的底边BC平行于水面且距水面为4m,高DA为2m,求这闸门所受压力解：AC的方程xyA(6,0)C(4,1.5)BxD4第十三页，共二十三页，2022年，8月28日(三)引力质量分别为m1,m2且r的两质点间引力的大小为其中G为引力系数,引力的方向沿着两质点的方向.例4-26设有一质量为M的均匀细棒,长为l,另有一质量为m的质点和细棒在一条直线上,它到棒的近端的距离为a,计算细棒对质点的引力ma0dxlx第十四页，共二十三页，2022年，8月28日解：任取一小区间［x,x+dx]，相应细棒段看成

质点，其质量为ma0dxlx第十五页，共二十三页，2022年，8月28日四、定积分在其他方面的应用例:求函数y=1-x2在区间[-1,1]上的平均值.（一）连续函数的平均值第十六页，共二十三页，2022年，8月28日例4-27

胰岛素平均浓度的测定在一临床实验中,先让病人禁食,以降低体内血糖水平,然后通过注射大量的葡萄糖.经测定血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为其中,时间t的单位是分钟.求血液中的胰岛素在一小时内的平均浓度第十七页，共二十三页，2022年，8月28日解由函数平均值公式:第十八页，共二十三页，2022年，8月28日(二)脉管稳定流动中的血液流量例4-28

血管中血液的流动,把一段静脉或动脉管讨论单位时间内通过该截面的血流量Q.设想成为一根圆管.长为L,半径为R,其左端动脉端的血压为P1,右端相对静脉的血压为P2(P1>P2),血液黏滞系数为.在血管的截面上距离血管中心r处的血液流速为L第十九页，共二十三页，2022年，8月28日rr+dr血液量等于血流流速×截面积的,由于血液流速随流层而变化,故在横截面上任取一个内径为r,外半径为的小圆环.在该小圆环上血液流速可近似认为是相等的,所以单位时间内通过该小圆环的血流量即小圆环面积第二十页，共二十三页，2022年，8月28日于是第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日内