力学与结构课件幻灯片六

第7章

压杆稳定

目录.ppt压杆稳定的概念临界荷载和临界应力压杆稳定性的实用计算提高压杆稳定性的措施习题本章内容

教学要求：熟悉压杆稳定的概念，能够区分稳定平衡状态和不稳定平衡状态；掌握三种杆端支承情况细长压杆的临界荷载及临界应力计算。掌握对受压直杆进行稳定校核和截面选择的方法；了解临界应力随压杆柔度变化的临界应力总图，了解提高压杆稳定性的措施。建筑结构中受压构件的应用十分广泛，如：桁架结构、网架结构中的腹杆和上弦杆，框架结构中的轴心受压柱，都是受压构件。按压力作用位置不同，分为轴心受压和偏心受压两类。工程中常把轴心受压的直杆称为压杆。本章主要介绍压杆稳定的基本概念、三种杆端支承情况的细长压杆的临界荷载及临界应力计算、受压直杆的稳定校核和截面设计以及提高压杆稳定性的一些措施。压杆稳定的概念当压杆的长度较短时，只要满足强度要求，构件就不会发生破坏。但对于较长的轴心受压杆件，仅满足强度要求还不够，还必须验证构件的稳定性，否则，可能会造成压杆的失稳破坏。所谓压杆失稳，就是指构件在发生强度破坏之前，由于杆件比较细长，在一定的压力作用下，构件不能保持稳定的直线平衡状态而失去承载能力。压杆失稳破坏在实际工程中会造成很大的危害，小则使结构发生局部失稳，大则会引起结构的整体坍塌，造成生命和财产的巨大损失。因此，我们必须正确认识压杆稳定问题。现结合图7.1来说明压杆稳定的概念，所谓压杆稳定，就是指压杆所处的平衡状态的稳定性。对于一根处于轴心受压状态的细长直杆，当力P较小时，杆件保持直线平衡状态(如图7.1(a)所示)，如果在垂直于力P的方向上轻推一下压杆(即给一横向干扰力)，它会产生微小弯曲(如图7.1(b)所示)，当干扰力撤去以后，杆件又恢复到原来的平衡状态(如7.1(a)所示)，这时的平衡状态是稳定的，压杆处于稳定的平衡状态。图7.1压杆稳定平衡状态当力P继续增大到某一特定值Pcr时，在与力P垂直的方向上给一微小干扰力，压杆处于微弯曲状态(如图7.2(b)所示)，当干扰力撤去后，压杆不再恢复到如图7.2(a)所示的直线平衡状态，而是处于弯曲的平衡状态(如图7.2(c)所示)，说明在没有施加外干扰力时，压杆所处的直线平衡状态是不稳定的，即压杆处于不稳定的平衡状态，此时，杆件所受的力Pcr远小于按发生材料强度破坏计算的承载力Pcu，即Pcr<Pcu，这就是为什么在其他条件相同的情况下，粗短杆的承载力大于细长杆的原因。如果没有考虑到压杆的稳定问题，仅按照强度破坏来计算压杆的承载力，可能会造成严重的损失。1907年北美洲加拿大魁北克圣劳伦斯河上的一座548m的铁桥，在施工的过程中由于悬臂桁架中一根受压弦杆突然失稳屈曲而倒塌；2001年上海龙门起重机安装过程中由于刚性牛腿的受力失稳发生倒塌事故，造成36人死亡，直接经济损失8000多万元。因此，压杆的稳定性对各类结构都是非常重要的，要保证压杆的正常工作，还必须对它进行稳定性计算。图7.2压杆不稳定平衡状态压杆稳定的概念临界荷载和临界应力一、临界荷载1.材料的连续、均匀、各向同性假设由7.1分析可知，当轴心受压力P<Pcr时，构件处于稳定平衡状态，不会发生失稳破坏，当P>Pcr时，构件处于不稳定平衡状态，往往会发生失稳破坏。因此，压杆的破坏形式是失稳破坏还是材料强度破坏，主要取决于特定力Pcr，我们称Pcr为压杆的临界荷载。临界荷载的大小受很多因素的影响，1744年欧拉最早推导出两端铰支情况下的压杆稳定临界力的计算公式，即欧拉公式：式中，E为材料的弹性模量，I为压杆截面惯性矩，EI为压杆抗弯刚度，l为压杆的计算长度。由式(7-1)可以看出，影响临界荷载的因素有压杆的材料特性，截面几何形状和压杆长度等。在前面章节的学习中可以知道，对截面完全相同的梁，两端固定的梁比简支梁承受的弯矩要大，同理，对同一根细长压杆，两端的约束越强，压杆的轴心受压承载力越大，因而，压杆两端的约束条件对压杆的稳定临界力也有很大的影响。为了考虑这种影响，我们将欧拉公式进行修正，使其适用于各种支承情况，修正的欧拉公式为：(7-1)(7-1)式中，l为压杆的实际长度。μ为长度系数，μl为压杆的计算长度，其他参数同式(7-1)，长度系数μ的选取见表7-1。表7-1压杆的长度系数μ临界荷载和临界应力表7-1中列出的杆端约束，都是典型的理想约束。但在工程实际中，杆端约束情况复杂，有时很难简单地归结为哪一种理想约束。这时应根据实际情况具体分析，参考设计规范来确定值。值得注意的是：欧拉公式在推导过程中假定压杆在微弯平衡状态下，横截面上的应力在弹性范围之内，因此本公式只适用于弹性范围，即只适用于弹性稳定性问题；另外在应用公式时，公式中的I为截面对其中性轴的惯性矩，且当截面对不同主轴的惯性矩不相等时，应取其中最小值。

【例7.1】计算两端铰支情况下的欧拉临界力。如图7.3所示压杆由14号工字钢制成，其两端铰支。已知钢材的弹性模量E＝210GPa，屈服点应力σs＝240MPa，杆长l＝3600mm。(1)试求该杆的临界力Pcr；(2)计算屈服力Ps。解(1)计算临界力，查型钢表得14号工字钢几何特性：压杆应在刚度较小的平面内失稳，故取临界荷载和临界应力由表7-1查得μ=1。将有关数据代入式(7-2)即得该杆的临界力：(2)计算屈服力：由以上计算可知，压杆的屈服力为压杆稳定临界力的5倍多，可见细长压杆在发生强度破坏之前，首先会发生失稳破坏。临界荷载和临界应力二、临界应应力为了消消除截截面尺尺寸和和形状状对临临界力力的影影响，，与杆杆件的的强度度验算算相似似，压压杆稳稳定验验算也也常采采用应应力来来表示示，压压杆在在临界界力作作用下下横截截面上上的平平均压压应力力即为为临界界应力力，通通常用用σcr表示。。在临界界力作作用下下，压压杆横横截面面上的的平均均压应应力即即为式式(7-2)两端除除以杆杆件的的横截截面面面积A，即临临界应应力为为：由截面面图形形的几几何性性质可可知，，截面面的回回转半半径，，将其其代入入式(7-3)得：令(7-3)(7-4)(7-5)临界荷荷载和和临界界应力力则得细细长压压杆临临界应应力公公式：：(7-6)式中，，λ称为压压杆的的柔度度，是是一个个无量量纲的的量。。它包包含了了压杆杆除材材料性性质(E)以外的的所有有截面面几何何性质质、长长度和和杆端端约束束情况况等因因素在在内的的几何何参数数，因因而是是压杆杆稳定定计算算中的的一个个重要要参数数。由由式(7-6)可见，，λ愈大，，即杆杆愈细细长，，则临临界应应力愈愈小，，压杆杆愈容容易失失稳；；反之之，λ愈小，，压杆杆就愈愈不易易失稳稳。由式(7-5)知回转转半径径i是影响响λ的主要要参数数，在在截面面面积积A相同的的条件件下，，采用用不同同形状状的截截面，，其截截面惯惯性矩矩I就不同同，因因而回回转半半径也也不同同，惯惯性矩矩越大大，回回转半半径就就越大大，柔柔度系系数越越小，，压杆杆的临临界应应力就就越大大，因因而，，在其其他条条件相相同的的前提提下，，截面面惯性性矩越越大，，承受受的压压力就就越大大。【例7.2】试计算算例7.1中压杆杆的临临界应应力。。临界荷荷载和和临界界应力力解(1)计算回回转半半径i：(2)两端简简支情情况下下压杆杆的临临界应应力：：临界荷荷载和和临界界应力力三、欧拉公公式的的适用用条件件前面已已述及及欧拉拉公式式适用用于弹弹性稳稳定问问题，，即当当(材料比比例极极限应应力)时才成成立，，由此此可得得的适适用条条件为为：令则式(7-8)是欧拉拉公式式适用用范围围的柔柔度表表达形形式，，表明明只有有当压压杆的的实际际柔度度λ大于或或等于于界限限值λp时，才才能用用欧拉拉公式式来计计算其其临界界应力力和临临界力力。显显然，，λp是应用用欧拉拉公式式的最最小柔柔度。。(7-8)(7-7)临界荷荷载和和临界界应力力压杆的的实际际柔度度λ随压杆杆的几几何形形状尺尺寸和和杆端端约束束条件件变化化，但但λp是仅由由材料料性质质确定定的值值。不不同材材料的的λp可按式式(7-7)计算。。以A3钢为例例，取取其E＝200GPa，σp＝200MPa，代入入式(7-7)得即由A3钢制成成的压压杆，，只有有当实实际柔柔度λ≥≥100时，欧欧拉公公式才才适用用。四、临界应应力总总图由上节节可知知，当当λ≥λλp时，压压杆的的临界界应力力用欧欧拉公公式来来计算算，当当λ＜λp时，其其计算算公式式因柔柔度不不同而而不同同，根根据其其变化化规律律，将将压杆杆分为为大柔柔度杆杆、中中柔度度杆和和小柔柔度杆杆三类类：当柔度度λ≥λλp时，称称压杆杆为细细长杆杆或大大柔度度杆。。满足足欧拉拉公式式的适适用条条件，，压杆杆将发发生弹弹性失失稳破破坏，，其临临界应应力用用来来计计算。。临界荷荷载和和临界界应力力当压杆杆的柔柔度λ＜λp，但大大于或或等于于某一一界限限值时时，称称为中中长杆杆或中中柔度度杆。。对于于中长长杆，，其临临界应应力已已超出出比例例极限限，欧欧拉公公式不不再适适用。。这类类压杆杆的临临界应应力需需根据据弹塑塑性稳稳定理理论确确定，，但目目前各各国多多数采采用以以试验验资料料为依依据的的经验验公式式。常常用的的经验验公式式为直直线型型经验验公式式：(7-9)式中，，a、b为与材材料性性质有有关的的常数数。具具体取取值见见表7-2，λ为压杆杆的实实际柔柔度。。表7-2直线型型经验验公式式的系系数a、b临界荷荷载和和临界界应力力直线型型公式式(7-9)也有其其适用用范围围，即即压杆杆的临临界应应力不不能超超过材材料的的极限限应力力，即即对于于塑性性材料料：令λs是塑性性材料料压杆杆使用用直线线型公公式时时柔度度λ的最小小值，，也就就是说说，塑塑性材材料的的直线线型公公式的的适用用范围围为：：对于脆脆性材材料，，将式式(7-10)中的σs换成σb，λs换成λb，可以确确定相相应的的λb，得到脆脆性材材料的的直线线型公公式的的适用用范围围：(7-10)(7-12)(7-11)临界荷荷载和和临界界应力力例如45钢，其其σs＝354MPa，a＝578MPa，b＝3.744MPa，代入入式(7-10)，得：：即由45钢制成成的压压杆，，当其其柔度度60≤≤λλ<100时，才才可以以使用用直线线经验验公式式。当压杆杆的柔柔度时时，，称为为短粗粗杆或或小柔柔度杆杆。这这类压压杆是是由于于截面面压应应力到到达材材料强强度而而发生生破坏坏。故故其临临界应应力就就是屈屈服强强度或或极限限强度度，即即σcr=σs(或σcr=σb)。综上所所述，，压杆杆的柔柔度不不同，，其临临界应应力的的计算算公式式也不不同，，当λ≤≤λs时，压压杆不不会发发生失失稳破破坏，，不必必进行行稳定定性验验算，，直接接进行行受压压强度度验算算。当时时，，构件件应力力超过过比例例极限限，在在塑性性状态态下发发生失失稳破破坏，，不适适合用用欧拉拉公式式进行行验算算，采采用公公式(7-9)进行计算。。当时时，构件件应力小于于比例极限限，破坏形形式主要为为失稳破坏坏，用欧拉拉公式进行行验算，即即。。临界荷载和和临界应力力根据上述有有关公式，，可做出压压杆临界应应力随柔度度变化的曲曲线，即临临界应力总总图，如图图7.4所示。由图图可见，压压杆的临界界应力随柔柔度的增大大而减小，，表明压杆杆愈细长，，愈易于失失稳，临界界力就愈小小。图7.4临界应力总总图临界荷载和和临界应力力【例7.3】三个圆截面面压杆直径径均为d＝200mm，材料为Q235钢，E＝200GPa，σp=200MPa，σs＝235MPa，各杆两端端均为铰支支，长度分分别为l1＝6m，l2＝4m，l3＝2m。试计算各各杆的临界界应力和临临界力。解(1)有关数据：：查表7-1知：μ＝1，查表7-2知：λp=100，λs=61.6。(2)计算各杆的的临界力和和临界应力力。l杆：。。属细长长杆，用欧欧拉公式计计算，得临界荷载和和临界应力力2杆：。属中长杆杆，用直线线公式计算算如如下：3杆：。属短粗杆杆，其临界界应力为材材料强度，，即：临界荷载和和临界应力力压杆稳定性性的实用计计算由上述各节节可知，只只有当压杆杆的工作应应力小于临临界应力时时，压杆才才能保持其其稳定性，，即：而在实际工工程中，很很多压杆不不可能处于于理想的轴轴心受压状状态，或多多或少有些些偏心，同同时，两端端的支承情情况，材料料本身的缺缺陷，都会会导致临界界应力的降降低，因而而同强度验验算相似，，进行稳定定计算时要要把临界应应力除以安安全系数K，得到容许许临界应力力[σcr]，即：在工程实际际中，为了了简化压杆杆的稳定计计算，将变变化的稳定定容许临界界应力[σcr]与强度容许许应力[σ]联系起来，，得到其实实际的计算算公式：(7-13)(7-14)式中，φ为折减系数数，它是个个随杆件长长度、回转转半径变化化的量，为为简化计算算，它的计计算已被汇汇列成表(见表7-3)，在计算中中，只要求求出长细比比λ，根据表格格即可查出出。基于以以上分析，，对公式(7-13)进行修正，，得到进行行压杆稳定定验算的实实用公式：：该式即为压压杆的稳定定条件。其其中对不同同的材料的的φ可由表7-3查到，如果果表中没有有相应的λ值，可查出出与它最接接近的两个个值，然后后用线性插插值的方法法求得。分析式(7-15)可知，利用用压杆稳定定条件，可可以对压杆杆进行以下下计算。(7-15)压杆稳定性性的实用计计算表7-3折减系数φ压杆稳定性性的实用计计算1.稳定校核假如已知压压杆的截面面形状和尺尺寸，杆件件长度及支支承条件，，杆件的轴轴心压力P，根据公式式(7-15)即可以验证证压杆是否否会发生失失稳破坏，，即验证其其稳定性。。【例7.4】如图7.5所示的两端端固定的圆圆形截面的的混凝土柱柱，其长l=4.5m，截面直径径为20cm，已知混凝凝土的抗压压强度f=13.5MPa，承受的轴轴向压力P=100kN，试验证其其是否安全全。解(1)计算截面面面积、惯性性半径：(2)求柔度系数数：查表7-3中混凝土的的φ值，按线性性插值计算算得：压杆稳定性性的实用计计算(3)校核稳定性性：即该混凝土土柱不会发发生失稳破破坏。2.计算压杆的的承载力(求容许荷荷载)假定已知杆杆件的几何何信息(截面尺寸、、杆件长度度及支承情情况)、材料特性性时，可将将公式(7-15)变换如下：：(7-16)由此可以计计算压杆在在保证稳定定的前提下下，能承受受的最大轴轴压力[P]，当外外加压力小小于[P]时，构件件不会发生生失稳破坏坏，当外加加压力大于于[P]时时，构件将将发生失稳稳破坏，因因而[P]又称为压压杆的临界界荷载或容容许荷载。。压杆稳定性性的实用计计算3.对压杆进行行截面设计计假定已知压压杆的支承承情况，杆杆件长度，，材料特性性及所承受受的实际外外加荷载，，将公式(7-15)变换如如下：(7-17)由此可以计计算压杆在在保证稳定定的前提下下的最小截截面Amin，在对压杆杆进行设计计时，一般般采用试算算法，由公公式(7-17)可可知：要确确定压杆的的截面面积积，首先要要知道压杆杆的长度折折减系数φ，由表7-3可知，，在构件长长度一定的的前提下，，必须预先先知道截面面的回转半半径，因而而，首先根根据经验假假定截面面面积A1，计算回转转半径i，从而得到到折减系数数φ1，再用式(7-17)计算A，通过比比较A与A1，再重新假假定截面面面积，重复复计算，直直至满足误误差要求。。【例题7.5】两端固定的的工字钢(Q235)柱，长4m，轴向压力力N=350kN，试对支柱柱进行截面面设计。解由由截面设设计公式知知，首先选选择折减系系数，可以以假定一个个φ值，也可以以假定一个个截面面积积，本例题题先通过压压杆强度验验算初定一一个截面尺尺寸，然后后再进行试试算。压杆稳定性性的实用计计算压杆稳定性性的实用计计算首先按强度度验算计算算初始面积积：查附表14-2型钢表可知知12.6号工字形钢钢的面积为为A=18.1cm2，最小回转转半径i=1.61cm代入柔度系系数计算公公式中，得得：查表7-3，用线性性插值法计计算得压杆稳定性性的实用计计算这同初定定的A=18.1cm2相差太大大，假定定取查附表14-2可知18号工字形形钢的面面积为A=30.6cm2，最小回回转半径径i=2.0cm，则，折减系数数，且比较计算算结果A=27.0cm2与假定面面积A=27.6cm2相差微小小，显然然，选18号工字形形钢，A=30.6cm2可以满足足压杆稳稳定条件件，且与与计算面面积A=27.0cm2最接近，，18号工字形形钢最合合适。进行截面面设计时时，可按按以下规规律进行行：若某某次循环环计算出出的面积积比假定定面积大大，则该该计算面面积比实实际所需需的截面面面积要要大。因因此，可可取假定定面积和和计算面面积的平平均值再再进行试试算，这这样可以以减少试试算循环环次数，，尽快得得到所需需最终结结果。提高压杆杆稳定性性的措施施由上节可可知，根根据公式式可对压压杆进行行稳定性性验算，，若不能能满足稳稳定性时时，就需需要采取取一些措措施来提提供其稳稳定性，，另外在在进行初初步设计计时，往往往没有有确切的的荷载值值，因而而定性地地判断和和提高压压杆的稳稳定性尤尤为重要要，合理理地选择择截面形形式和确确定结构构方案，，有助于于达到经经济合理理的目的的。因而而我们从从下列几几个方面面来分析析如何提提高压杆杆稳定性性。一、改变材料料特性对细长杆杆，临界界应力为为。。压杆材材料的E愈大，其其临界应应力愈大大。故选选用弹性性模量较较大的材材料，可可以提高高压杆的的稳定性性。对混混凝土材材料，可可以通过过提高混混凝土的的标号来来实现，，但各种种钢材的的弹性模模量E比较相近近，约为为210GPa，故选用用高强度度钢并不不能起到到提高其其稳定性性的作用用，因而而可以通通过其他他措施来来提高稳稳定性。。对于中中长杆，，由临界界应力的的经验公公式可知知，材料料屈服强强度或极极限强度度的增长长可引起起临界应应力的增增长，故故选用高高强度材材料能提提高其稳稳定性。。对于短短粗杆，，本身就就是强度度问题，，选用高高强度材材料当然然可提高高其承载载能力。。提高压杆杆稳定性性的措施施二、改善杆端端约束情情况当材料选选定时，，压杆的的临界应应力随柔柔度的的减小小而增大大。由柔柔度的计计算公式式可知，，压杆的的长度系系数越小小，柔度度就越小小，临界界应力就就越大。。由表7-1可知，杆杆端约束束越强，，长度系系数就越越小，因因此，在在条件允允许的情情况下，，可将两两端简支支的约束束情况变变为一端端简支、、一端固固定的约约束情况况或两端端固定的的约束情情况，即即可以提提高压杆杆的稳定定性，又又不会过过分增加加工程造造价。三、减小压杆杆的长度度在无法改改变压杆杆两端支支承情况况时，减减小压杆杆长度l，可以有有效地提提高其稳稳定性。。如图7.5(a)所示两端端铰支的的细长压压杆，若若在杆的的中点增增加一铰铰支座，，则变为为如图7.5(b)所示的情情形，由由欧拉公公式可知知，图7.6(a)所示的压压杆的临临界力为，，图图7.5(b)所示的压压杆的临临界力为为，显然，，在压杆杆中点加加一支承承，临界力变变为原来来的4倍。图7.5减小压杆杆长度四、选择合理理的截面面形状由柔度计计算公式式可知，，在计算算长度一一定的前前提下，，回转半半径越大大，柔度度就越小小，压杆杆的临界界应力就就越大，，稳定性性越好。。因此，，在保证证材料用用量不变变的情况况下，压压杆截面面的合理理形状应应是使材材料尽量量远离形形心轴，，这样可可以增大大截面惯惯性矩，，从而增增大截面面的回转转半径。。例如：：在面积积基本不不变的情情况下，，空心的的圆截面面(如图7.6(a)所示)比实心的的(如图7.6(b)所示)稳定性要要好，由由槽钢组组合的箱箱形截面面构件比比工字形形截面的的构件稳稳定性要要好。图7.6压杆截面面合理性性提高压杆杆稳定性性的措施施另外，压压杆的失失稳总是是发生在在柔度较较大的平平面内，，因此，，应尽量量使各个个平面内内的柔度度相近，，比如，，当压杆杆在各个个弯曲平平面内的的约束情情况都相相同时，，应尽量量使其截截面对任任一形心心主轴的的惯性矩矩