2022-2023学年广东省惠州市惠阳区金辉实验学校九年级（下）收心考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州市惠阳区金辉实验学校九年级（下）收心考数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．均匀的正四面体的各面上依次标有1，2，3，4四个数字，同时抛掷两个这样的正四面体，着地的一面数字之和为5的概率是（）A． B． C． D．2．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是（）A．x2﹣5x+5＝0 B．x2+5x﹣5＝0 C．x2+5x+5＝0 D．x2+5＝03．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝2104．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线BD的长等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米5．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝06．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．147．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．38．如图所示，小语同学为了测量一幢楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测得PC与地面夹角∠DPC＝38°，测得PA与地面夹角∠APB＝52°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度都是9m，量得旗杆与楼之间的距离DB＝36m，则楼高AB＝（）A．36m B．27m C．25m D．18m9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD•BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：①∠ADG＝22.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG；⑥若S△OGF＝1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中正确的结论个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．一元二次方程x2﹣x＝0的一次项系数为．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点．CD＝2，则AB＝．13．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有个．14．如图，正方形ABCD的各边分别平行于x轴或者y轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点（3，0）出发，同时沿正方形ABCD的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度/秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以1个单位长度/秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后第三次相遇点的坐标是．15．已知：如图，矩形ABCD的长和宽分别为2和1，以D为圆心，AD为半径作AE弧，再以AB的中点F为圆心，FB长为半径作BE弧，则阴影部分的面积为．16．若方程（m﹣1）x2+mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．17．如图，正方形ABCD边长为4，F为BC上一点，BF＝1，以AF为斜边在正方形内部作等腰Rt△AEF，∠AEF＝90°，则DE＝．三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题8分，第24，25小题10分。18．用因式分解法解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．19．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？20．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．21．如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．22．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形沿AC折叠后，点D落在点E处，且CE与AB交于F．（1）判断△AFC的形状，并说明理由．（2）求△AFC的面积．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8．①求菱形ABCD的面积．②求四边形ABED的周长．24．如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA＝4，OC＝2，∠COA＝45°．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接AC，CD．（1）试求反比例函数的解析式；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）如图2，连接OD，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC＝S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．25．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式；（3）在（2）的条件下，若点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，若△PCF的面积恰好等于矩形OABC的面积，求P点的坐标．

参考答案一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．均匀的正四面体的各面上依次标有1，2，3，4四个数字，同时抛掷两个这样的正四面体，着地的一面数字之和为5的概率是（）A． B． C． D．【分析】列举出所有情况，看着地的一面数字之和为5的情况占总情况的多少即可．解：同时抛掷两个这样的正四面体，有可能的结果16种，数字之和为5的是4种，所以着地的一面数字之和为5的概率是．12341（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）故选：B．【点评】本题考查了概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．2．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是（）A．x2﹣5x+5＝0 B．x2+5x﹣5＝0 C．x2+5x+5＝0 D．x2+5＝0【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是x2﹣5x+5＝0．故选：A．【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．3．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝210【分析】根据题意列出一元二次方程即可．解：由题意得，x（x﹣1）＝210，故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系．4．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线BD的长等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米【分析】由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，易得△ABD是等边三角形，继而求得答案．解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为24米，∴AB＝AD＝6米，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝6米．故选：B．【点评】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABD是等边三角形是解此题的关键．5．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或x＝0，解得，x1＝2，x2＝0；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB＝OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH＝AB．解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH＝AB＝×7＝3.5．故选：A．【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．8．如图所示，小语同学为了测量一幢楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测得PC与地面夹角∠DPC＝38°，测得PA与地面夹角∠APB＝52°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度都是9m，量得旗杆与楼之间的距离DB＝36m，则楼高AB＝（）A．36m B．27m C．25m D．18m【分析】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），进而得出AB的长．解：∵∠CPD＝38°，∠APB＝52°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝52°，在△CPD和△PAB中，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP＝AB，∵DB＝36m，PB＝9m，∴AB＝36﹣9＝27（m），答：楼高AB是27m．故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD•BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①、根据△ACD∽CBD，得到＝，依此即可作出判断；②、根据勾股定理即可作出判断；③、作EM⊥AB，可证△BCE≌△BEM，从而得，依此即可作出判断；④、若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，可得∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，再根据含30°的直角三角形的性质即可作出判断．解：①、∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴＝，即CD2＝AD•DB，故①正确；②∵AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2＝CD2，∴AC2+BD2＝BC2+AD2故②正确；③作EM⊥AB，则BD+EH＝BM，∵BE平分∠ABC，△BCE≌△BEM，∴BC＝BM＝BD+EH，∴，故③正确；④若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，∴∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4BD，∴AD＝3BD，故④正确．故选：D．【点评】本题考查了射影定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质．10．如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：①∠ADG＝22.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG；⑥若S△OGF＝1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中正确的结论个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE＝EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG＝GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE＝GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE＝2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB＝GF，再由∠BAO＝45°，∠GOF＝90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF＝1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠ADO＝45°，由折叠的性质可得：∠ADG＝∠ADO＝22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：AE＝EF，∠EFD＝∠EAD＝90°，∴AE＝EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2，故②错误．∵∠AOB＝90°，∴AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD＝∠AOF＝90°，∴EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，∵∠AGE＝∠FGE，∴∠FEG＝∠FGE，∴EF＝GF，∵AE＝EF，∴AE＝GF，∵AE＝EF＝GF，AG＝GF，∴AE＝EF＝GF＝AG，∴四边形AEFG是菱形，故④正确．∴∠OGF＝∠OAB＝45°，∴EF＝GF＝OG，∴BE＝EF＝×OG＝2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB＝GF．∵∠BAO＝45°，∠GOF＝90°，∴△OGF时等腰直角三角形．∵S△OGF＝1，∴OG2＝1，解得OG＝，∴BE＝2OG＝2，GF＝＝＝2，∴AE＝GF＝2，∴AB＝BE+AE＝2+2，∴S正方形ABCD＝AB2＝（2+2）2＝12+8，故⑥错误．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选：B．【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．一元二次方程x2﹣x＝0的一次项系数为﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义和项、系数的定义得出即可．解：一元二次方程x2﹣x＝0的一次项系数为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程和项、系数等定义，能理解定义的内容是解此题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点．CD＝2，则AB＝4．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．解：∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB，∴AB＝2CD，∵CD＝2，∴AB＝2CD＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．13．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有15个．【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.25左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.25，∴＝，解得：x＝15，即白球的个数为15个，故答案为：15．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．14．如图，正方形ABCD的各边分别平行于x轴或者y轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点（3，0）出发，同时沿正方形ABCD的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度/秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以1个单位长度/秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后第三次相遇点的坐标是（0，﹣3）．【分析】根据两只蚂蚁运动速度和正方形周长，得到两只蚂蚁的相遇时间间隔，进而得到两只蚂蚁相遇的位置规律．解：由已知，正方形周长为4×6＝24，∵甲、乙速度分别为3单位/秒，1单位/秒，则两只蚂蚁每次相遇时间间隔为＝6秒，则两只蚂蚁相遇点依次为（0，3）、（﹣3，0）、（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）．【点评】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两只蚂蚁相遇的位置的变化规律．15．已知：如图，矩形ABCD的长和宽分别为2和1，以D为圆心，AD为半径作AE弧，再以AB的中点F为圆心，FB长为半径作BE弧，则阴影部分的面积为1．【分析】根据题意扇形DAE的面积与扇形FBE的面积相等，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半．解：∵AF＝BF，AD＝1，AB＝2，∴AD＝BF＝1，∴扇形DAE的面积＝扇形FBE的面积，∴阴影部分的面积＝1×1＝1．故答案为1．【点评】考查了扇形面积的求法以及拼图的能力．16．若方程（m﹣1）x2+mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠1．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．解：根据一元二次方程的定义可得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故答案是：m≠1．【点评】此题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．17．如图，正方形ABCD边长为4，F为BC上一点，BF＝1，以AF为斜边在正方形内部作等腰Rt△AEF，∠AEF＝90°，则DE＝．【分析】过E作EG⊥AD于H，延长GE交BC于H，推出△AEG≌△EFH（AAS）得到AG＝EH，GE＝FH，从而求出AG，FH的长，应用勾股定理即可求出DE的长．解：过E作EG⊥AD于H，延长GE交BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠GAB＝∠ABH＝90°，∴GH⊥BC，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∵∠FEH+∠AEG＝∠EAG+∠AEG＝90°，∴∠FEH＝∠EAG，∵∠AGE＝∠FHE＝90°，∴△AEG≌△EFH（AAS），∴AG＝EH，GE＝FH，∵四边形ABHG是矩形，∴AG＝BH，GH＝AB＝4，∴AG﹣FH＝BF＝1，AG+FH＝GH＝4，∴AG＝，FH＝，∴GD＝AD﹣AG＝4﹣＝，GE＝FH＝，∴DE＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，关键是过E作EG⊥AD于H，延长GE交BC于H，推出△AEG≌△EFH（AAS）．三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题8分，第24，25小题10分。18．用因式分解法解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．【分析】根据因式分解，可得方程的解．解：因式分解，得（x﹣2）（x+1）＝0，于是，得x﹣2＝0或x+1＝0，于是，得x﹣2＝0或x+1＝0．解得x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．19．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？【分析】（1）设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x．根据．2008年，A市投入600万元用于“改水工程”，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元，列方程求解；（2）根据（1）中求得的增长率，分别求得2009年和2010年的投资，最后求解．解：（1）设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x．根据题意，得600（1+x）2＝1176，1+x＝±1.4，x＝0.4＝40%或﹣2.4（不合题意，应舍去）．答：A市投资“改水工程”的年平均增长率是40%．（2）600+600（1+40%）+600（1+40%）2＝600+840+1176＝2616（万元）．答：A市三年共投资“改水工程”2616万元．【点评】考查了一元二次方程的应用，注意根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．解决此题的关键是正确理解增长率，每一次都是在上一年的基础上增长的．20．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得：DE＝CE，DF＝FC，证明△CGE≌△CGF（ASA），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形DFCE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°的性质可得BH＝1，由勾股定理得：DH＝，根据△DHF是等腰直角三角形，可得DH＝FH＝，从而得结论．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE＝EC，DF＝CF，∠EGC＝∠FGC＝90°，DG＝CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG＝∠FCG，∵CG＝CG，∴△CGE≌△CGF（ASA），∴GE＝GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF＝∠DHB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝1，在Rt△DHB中，DH＝＝，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB＝45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH＝FH＝，∴BF＝BH+FH＝1+．【点评】本题考查了菱形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质以及直角三角形30°角的性质，熟练掌握菱形的判定是关键．21．如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF＝AB，连接EF；画出图形即可；（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE＝∠AEB，证出BE＝AB，由（1）得：AF＝AB，得出BE＝AF，即可得出结论．解：（1）如图所示：（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，由（1）得：AF＝AB，∴BE＝AF，又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF＝AB，∴四边形ABEF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明BE＝AB是解决问题（2）的关键．22．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形沿AC折叠后，点D落在点E处，且CE与AB交于F．（1）判断△AFC的形状，并说明理由．（2）求△AFC的面积．【分析】（1）由矩形的性质得出CD＝AB＝8，AB∥CD，∠B＝90°，由折叠的性质得出∠DCA＝∠ECA，CE＝CD＝16，证出∠BAC＝∠ECA，即可得出AF＝CF；（2）设AF＝x，则CF＝x，BF＝AB﹣AF＝8﹣x，在Rt△BCF中，利用勾股定理，即可得方程x2＝（8﹣x）2+62，解此方程即可求得AF的长，根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）△AFC是等腰三角形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∠B＝90°，∴∠DCA＝∠BAC，由折叠的性质可得：∠DCA＝∠ECA，CE＝CD＝8，∴∠BAC＝∠ECA，∴AF＝CF，∴△AFC是等腰三角形；（2）设AF＝x，则CF＝x，BF＝AB﹣AF＝8﹣x，在Rt△BCF中，CF2＝BF2+BC2，即x2＝（8﹣x）2+62，解得：x＝，∴S△AFC＝AF•BC＝××6＝．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8．①求菱形ABCD的面积．②求四边形ABED的周长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝＝6，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形．（2）解：①菱形ABCD中，CB＝CD，∴∠CBD＝∠BDC，∵∠BDC+∠CDE＝90°，∠CBD+∠BED＝90°，∴∠EDC＝∠CED，∴CD＝CE＝5，∴BE＝10，∴，∵S△ABD＝S△BDC＝S△EDC，∴S四边形ABCD＝S△BDE＝×6×8＝72；②C四边形ABED＝AD+AB+BE+DE＝5+5+10+6＝26．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA＝4，OC＝2，∠COA＝45°．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接AC，CD．（1）试求反比例函数的解析式；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）如图2，连接OD，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC＝S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出OE＝CE＝2，即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出AD⊥AC，再联立两函数解析式求出点D的坐标，进而得出AD＝DF，即可得出结论；（3）分两种情况利用面积关系得出点P到OC的距离等于CD的一半即可得出结论．解：（1）如图1，过点C作CE⊥x轴于E，∴∠CEO＝90°，∵∠COA＝45°，∴∠OCE＝45°，∵OC＝2，∴OE＝CE＝2，∴C（2，2），∵点C在反比例函数图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数解析式为y＝，（2）如图2，过点D作DG⊥x轴于G，交BC于F，∵CB∥x轴，∴GF⊥CB，∵OA＝4，由（1）知，OE＝CE＝2，∴AE＝EC＝2，∴∠ECA＝45°，∠OCA＝90°，∵OC∥AB，∴∠BAC＝∠OCA＝90°，∴AD⊥AC，∵A（4，0），AB∥OC，∴直线AB的解析式为y＝x﹣4①，∵反比例函数解析式为y＝②，联立①②解得，或（舍），∴D（2+2，2﹣2），∴AG＝DG＝2﹣2，∴AD＝DG＝4﹣2，∴DF＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，∴AD＝