2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷（解析版）

2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．要使二次根式x-3有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥32．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．8 B．a2 C．15 3．下列计算中，正确的是（）A．3+4=7 B．35-24．用下列长度的线段a，b，c首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（）A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝1，b=3，c＝2C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝65．已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（）A．9 B．93 C．1836．在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB＝CD，∠A＝∠C B．AB＝CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD＝BC D．AB∥CD，∠A＝∠B7．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果四边形是矩形，那么它的对角线相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2 D．如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直8．一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线长分别是12，65，则这个平行四边形的一条边上的高为（）A．45 B．85 C．8 9．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4；…．设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．依此下去，则S2022的值为（）A．22020-12 B．22020+10．如图，在△ABC，△BED中，AB＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝50°，且A，B，D三点在一条直线上，连接CE，分别取AD，AC，CE的中点F，H，G，连FH，FG，则∠HFG＝（）A．65° B．60° C．70° D．不能确定二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：18=12．已知x=2+1，y=2-1，则代数式（x+y）13．直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边的长为．14．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝38°，则∠E的值是．15．如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕BM，同时使得点A的对称点N落在EF上，如果AB=23，则AM＝16．如图，矩形ABCD中，BD＝2AB，将△BCD绕D点旋转，使得点C的对应点C′落在线段BD上，得到△B′C′D，在边B′C′上取点M，使得C′M＝AB，若AB=2，则△MCD的面积等于三、解答题（共8小题，共72分）17．计算：（1）27+（2）4318．在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．19．我国南宋时期数学家秦九韶，曾经提出用三角形的三边求面积的秦九韶公式．他的方法大致如下：如图，给定一个三角形ABC，三边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC于D，AD为Rt△ADC，Rt△ADB的公共边，则可以利用这个等量关系，运用勾股定理建立方程，求出BD，再求出高AD，从而求出三角形ABC的面积．请你用这一方法，解决下列问题：已知△ABC，AB＝13，AC＝15，BC＝14，求△ABC的面积．20．如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形边长均为1，A，B在三角形的顶点处，且AB＝3，按照要求用无刻度直尺作图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，结果用实线表示）．（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为3；（2）过（1）中的点C作AB的平行线段CD，使其长度为3；（3）作一个平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D（C，D为（2）中的点）．21．如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两端分别延长至点E和点F，使得BE＝DF，若AF＝FC，求证：四边形AFCE为菱形．22．如图，在△ABC，△ADE中，∠BCA＝∠DEA＝90°，A，C，E在一条直线上，且BC＝DE，连接BD，M，N分别为AB，CE的中点，连MN．（1）求证：AD＝2MN；（2）若∠ABC＝45°，∠ADE＝60°，BD＝2，求MN的长．23．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为动点．（1）如图1，当点E在线段AB上，且∠CEN＝60°时，求证：CE＝EN；（2）如图2，当E在对角线BD的延长线上，且△AEN为等边三角形时，求证：CN⊥AD．24．如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（23，0）．（1）求点D到直线AC的距离；（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；（3）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝．（直接写出结果）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．要使二次根式x-3有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．解：依题意得：x﹣3≥0，解得x≥3．故选：D．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．8 B．a2 C．15 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．解：A选项，原式＝22，故该选项不符合题意；B选项，原式＝|a|，故该选项不符合题意；C选项，原式=5D选项，3是最简二次根式，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．3．下列计算中，正确的是（）A．3+4=7 B．35-2【分析】根据二次根式加减法运算法则判断A、B和C，根据二次根式除法运算法则判断C，解：A、原式=3B、原式=5C、原式=12÷6D、2与3不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式加减法和除法运算法则是解题关键．4．用下列长度的线段a，b，c首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（）A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝1，b=3，c＝2C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝6【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．解：A、∵a2+b2＝82+152＝289，c2＝172＝289，∴a2+b2＝c2，∴以线段a，b，c首尾相连能构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵a2+b2＝12+（3）2＝4，c2＝22＝4，∴a2+b2＝c2，∴以线段a，b，c首尾相连能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝16k2，c2＝（5k）2＝25k2，∴a2+b2＝c2，∴以线段a，b，c首尾相连能构成直角三角形，故C不符合题意；D、∵a2+b2＝42+52＝41，c2＝62＝36，∴a2+b2≠c2，∴以线段a，b，c首尾相连不能构成直角三角形，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．5．已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（）A．9 B．93 C．183【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等边三角形的性质可知D是BC的中点，根据勾股定理求出AD的值，再求△ABC的面积即可．解：已知等边△ABC，过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：则点D为BC的中点，∵等边三角形的边长为6，∴AB＝6，BD＝3，根据勾股定理，得AD=33∴△ABC的面积为12故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，涉及勾股定理，三角形的面积等，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．6．在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB＝CD，∠A＝∠C B．AB＝CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD＝BC D．AB∥CD，∠A＝∠B【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．解：A、由AB∥CD，∠A＝∠C，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选项B符合题意；C、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；D、由AB∥CD，∠A＝∠B，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．7．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果四边形是矩形，那么它的对角线相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2 D．如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．解：A、如果四边形是矩形，那么它的对角线相等的逆命题是如果四边形的对角线相等，那么四边形是矩形，逆命题是假命题；B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，逆命题是假命题；C、如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2的逆命题是如果三角形三条边满足a2+b2＝c2，那么三角形是直角三角形，逆命题是真命题；D、如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直的逆命题是如果四边形的对角线垂直，那么四边形是菱形，逆命题是假命题；故选：C．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．8．一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线长分别是12，65，则这个平行四边形的一条边上的高为（）A．45 B．85 C．8 【分析】根据勾股定理逆定理可以说明平行四边形的对角线互相垂直，进而可以判断这个平行四边形是菱形．解：因为平行四边形的对角线互相平分，所以62+（35）2＝36+45＝81＝92，所以平行四边形的对角线互相垂直，所以根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知这个平行四边形是菱形．所以这个平行四边形的一条边上的高为12×12×65故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定．9．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4；…．设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．依此下去，则S2022的值为（）A．22020-12 B．22020+【分析】根据题意求出S1，S2，根据面积的变化规律总结Sn的关系式即可．解：∵四边形OAA1B1是边长为1的正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1=12×1×1=∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝OA2+AA12，∴OA1=2OA=∴OA2=2OA1∴A2B1＝OA2﹣OB1＝2﹣1＝1，∴S2=12×同理可求：S3=12×S4＝24﹣2，…，Sn＝2n﹣2，∴S2022＝22020，故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和三角形面积的计算是解题的关键．10．如图，在△ABC，△BED中，AB＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝50°，且A，B，D三点在一条直线上，连接CE，分别取AD，AC，CE的中点F，H，G，连FH，FG，则∠HFG＝（）A．65° B．60° C．70° D．不能确定【分析】连接GH，连接AE交FH于点Q，连接CD，分别交GH、AE于点P、M，利用SAS证明△ABE≌△CBD，根据全等三角形的性质及三角形中位线定理求解即可．解：连接GH，连接AE交FH于点Q，连接CD，分别交GH、AE于点P、M，∵∠ABC＝∠EBD＝50°，∴∠ABE＝∠CBD＝180°﹣50°＝130°，在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠AEB＝∠CDB，AE＝CD，∵∠AMC＝∠EAB+∠CDB，∠EBD＝∠EAB+∠AEB，∴∠AMC＝∠EAB+∠AEB＝∠EBD，∵∠EBD＝50°，∴∠AMC＝50°，∵点F，H，G分别是AD，AC，CE的中点，∴GH∥AE，GH=12AE，FH∥CD，FH=∴∠GHF＝∠AQH＝∠AMC＝50°，GH＝FH，∴∠HFG＝∠HGF=12（180°﹣∠GHF）故选：A．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理并作出合理的辅助线是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：18=32【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即a2=|解：18=9×2=故答案为32．【点评】此题考查了算术平方根的性质，即a2=|12．已知x=2+1，y=2-1，则代数式（x+y）【分析】根据二次根式的加法法则求出x+y，计算即可．解：∵x=2+1，y∴x+y＝（2+1）+（2-1）＝2则（x+y）2＝（22）2＝8，故答案为：8．【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的加法法则是解题的关键．13．直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边的长为34或5．【分析】分5为斜边和直角边，分别利用勾股定理可得答案．解：当5为直角边时，第三边为32当5为斜边时，第三边为52故答案为：34或5．【点评】本题主要考查了勾股定理，运用分类思想是解题的关键．14．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝38°，则∠E的值是19°．【分析】连接AC，交BD于O，由矩形性质可得BD＝AC＝CE，得出∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠ACB＝38°，可得∠E度数．解：连接AC，交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠CBD＝∠ADB＝38°，OB＝OC，∴∠ACB＝∠CBD＝38°，又∵CE＝BD，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝38°，∴∠E＝19°．故答案为：19°．【点评】本题主要考查了矩形性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．15．如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕BM，同时使得点A的对称点N落在EF上，如果AB=23，则AM＝2【分析】根据折叠的性质可得BE=12AB，AB＝BN，即可得BE=12BN，即得∠BNE＝30°，根据直角三角形的两锐角互余得∠ABN＝60°，根据折叠的性质即可得出∠ABM解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，∴BE=12AB，∠BEN＝∠∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．∴AB＝BN，∴BE=12∵∠BEN＝90°，∴∠BNE＝30°，∴∠ABN＝60°，由折叠的性质得：∠ABM＝∠MBN＝30°，在Rt△ABM中，AM=33AB=3故答案为：2．【点评】本题考查折叠的性质，直角三角形的性质、矩形的性质等知识，正确的理解题意是解题的关键，题目具有一定的综合性．16．如图，矩形ABCD中，BD＝2AB，将△BCD绕D点旋转，使得点C的对应点C′落在线段BD上，得到△B′C′D，在边B′C′上取点M，使得C′M＝AB，若AB=2，则△MCD的面积等于3+1【分析】利用面积的和差关系可求解．解：如图，连接CC'，过点C作CH⊥B'C'，交B'C'于点H，∵将△BCD绕D点旋转，使得点C的对应点C′落在线段BD上，∴CD＝C'D=2，∠B'C'D∵BD＝2AB＝2CD＝22，∴BD＝2C'D，∴BC'＝C'D=2∵∠BCD＝90°，∴BC'＝C'D＝CC'，∴CD＝DC'＝CC'，∴△CDC'是等边三角形，∴S△C'DC=34×（2）2=32∵C′M＝AB=2，∠MC'D∴S△MC'D=1∵∠CC'H＝90°﹣60°＝30°，∴CH=12CC'∴△MCD的面积＝S△DCC'+S△MDC'﹣S△MCC'=32+故答案为：3+1【点评】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造等边三角形是解题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）17．计算：（1）27+（2）43【分析】（1）先化简，再算加减即可；（2）先算乘法，再算除法即可．解：（1）27=33＝23；（2）4=424＝4×2＝8．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．18．在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，证出BE＝DF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝BE=12AB，DF=∴BE＝DF．∴四边形EBFD是平行四边形；【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．19．我国南宋时期数学家秦九韶，曾经提出用三角形的三边求面积的秦九韶公式．他的方法大致如下：如图，给定一个三角形ABC，三边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC于D，AD为Rt△ADC，Rt△ADB的公共边，则可以利用这个等量关系，运用勾股定理建立方程，求出BD，再求出高AD，从而求出三角形ABC的面积．请你用这一方法，解决下列问题：已知△ABC，AB＝13，AC＝15，BC＝14，求△ABC的面积．【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以列出相应的方程，然后求出BD的长，再求出AD的长，即可计算出△ABC的面积．解：设BD的长为x，则CD的长为14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝13，AC＝15，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5，CD＝14﹣x＝9，∴AD2＝132﹣52，解得AD＝12，∴S△ABC=BC⋅AD即△ABC的面积是84．【点评】本题考查勾股定理、数学常识、二次根式的应用，解答本题的关键是求出BD和AD的长．20．如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形边长均为1，A，B在三角形的顶点处，且AB＝3，按照要求用无刻度直尺作图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，结果用实线表示）．（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为3；（2）过（1）中的点C作AB的平行线段CD，使其长度为3；（3）作一个平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D（C，D为（2）中的点）．【分析】（1）根据等边三角形性质，找到点C，连接AC即可；（2）按要求，找到符合题意的D，连接CD即可；（3）利用等边三角形性质，根据中点定义，找到E、F、G、H，连接成四边形EFGH即可．解：（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为3，作图如下：（2）过点C作AB的平行线段CD，使其长度为3，如图：（3）作平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D，如图：【点评】本题考查作图﹣应用与设计，解题的关键是读懂题意，掌握平行线等概念，按要求画出图形．21．如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两端分别延长至点E和点F，使得BE＝DF，若AF＝FC，求证：四边形AFCE为菱形．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出AF＝CE，进而利用菱形的判定解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF与△CBE中，AD=BC∠ADF=∠CBE∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE，同理可得：CF＝AE，∵AF＝FC，∴AF＝FC＝AE＝EC，∴四边形AECF是菱形．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．22．如图，在△ABC，△ADE中，∠BCA＝∠DEA＝90°，A，C，E在一条直线上，且BC＝DE，连接BD，M，N分别为AB，CE的中点，连MN．（1）求证：AD＝2MN；（2）若∠ABC＝45°，∠ADE＝60°，BD＝2，求MN的长．【分析】（1）延长AE至G，使NG＝AN，连接BG，证明△DAE≌△BGC，根据全等三角形的性质得到AD＝BG，证明结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理求出AE，列式计算即可．【解答】（1）证明：延长AE至G，使NG＝AN，连接BG，∵AM＝MB，AN＝NG，∴MN=12BG，MN∥∵N为CE的中点，∴CN＝NE，∴AE＝GC，在△DAE和△BGC中，AE=GC∠AED=∠GCB=90°∴△DAE≌△BGC（SAS），∴AD＝BG，∴AD＝2MN；（2）解：设BC＝DE＝x，在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝x，∵BC＝DE，BC∥DE，∴四边形BCED为矩形，∴CE＝BD＝2，∴AE＝x+2，在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝2DE＝2x，由勾股定理得：AE=AD则3x＝x+2，解得：x=3∴AD＝2x＝23-∴MN=12AD【点评】本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．23．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为动点．（1）如图1，当点E在线段AB上，且∠CEN＝60°时，求证：CE＝EN；（2）如图2，当E在对角线BD的延长线上，且△AEN为等边三角形时，求证：CN⊥AD．【分析】（1）由“ASA”可证△AEN≌△FCE，可得结论；（2）由“ASA”可证△ABE≌△ACN，可得∠ABE＝∠ACN＝30°，可得结论．【解答】证明：如图，在BC上截取BF＝BE，连接FE，∵BF＝BE，∠B＝60°，∴△BFE是等边三角形，∴∠B＝∠BFE＝∠BEF＝60°，∴∠EFC＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC，∠A＝120°＝∠EFC，∴AE＝FC，∵∠CEN＝∠B＝60°，∠AEC＝∠B+∠BCE＝∠CEN+∠AEN，∴∠BCE＝∠AEN，在△AEN和△FCE中，∠A=∠EFCAE=CF∴△AEN≌△FCE（ASA），∴EN＝EC；（2）如图2，连接AC，设AD与CN的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，∠ABD＝30°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△AEN是等边三角形，∴AN＝AE，∠NAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAN，在△ABE和△ACN中，AB=AD∠BAE=∠CAN∴△ABE≌△ACN（SAS），∴∠ABE＝∠ACN＝30°，∵∠BAC＝∠CAD＝60°，∴∠AOC＝90°，∴CN⊥AD．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．24．如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（23，0）．（1）求点D到直线AC的距离；（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；（3）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝27．（直接写出结果）【分析】（1）作DG⊥AC于点G，由四