高考总复习理数（北师大版）第4章第1节任意角弧度制及任意角的三角函数

/10/10/第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数考点高考试题考查内容核心素养任意角的三角函数五年未单独考查命题分析本节知识作为学习三角函数的基础，高考中一般不单独命题，而是作为解题工具解决其他问题.1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线，余弦线和正切线.(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．提醒：1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝πrad进行互化时，易出现度量单位的混用．3．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)第一象限角必是锐角．()(2)不相等的角终边一定不相同．()(3)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α＝2πk＋π(k∈Z)．()(4)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．()(5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．()(6)α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(6)√2．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C由－870°＝－1080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限．3．(2018·柳州模拟)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在解析：选A∵eq\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A．4．(教材习题改编)若角α终边经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))，则sinα＋cosα＝__________.解析：r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋22)＝eq\f(5,2)，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2,\f(5,2))＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－\f(3,2),\f(5,2))＝－eq\f(3,5).所以sinα＋cosα＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)5．(教材习题改编)弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为__________，面积为__________.解析：弧长l＝3π，圆心角α＝eq\f(3π,4)，由弧长公式l＝α·r得r＝eq\f(l,α)＝4.面积S＝eq\f(1,2)lr＝6π.答案：46π象限角与终边相同的角[明技法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，eq\f(α,k)(k∈N＋)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或eq\f(α,k)的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．[提能力]【典例】(1)终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合是__________.(2)若sinα·tanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，则α是第__________象限角.解析：(1)∵在(0，π)内终边在直线y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，∴终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)).(2)由sinα·tanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角；由eq\f(cosα,tanα)<0，可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案：(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z))(2)三[母题变式]在本例(2)的条件下，eq\f(α,2)是第几象限角？解：由例题条件可知，α为第三象限角，所以eq\f(α,2)为第二或第四象限角．[刷好题]1．(金榜原创)给出下列四个命题：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①错误；eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，从而eq\f(4π,3)是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若tanα>0，则()A．sin2α>0 B．cosα>0C．sinα>0 D．cos2α>0解析：选A由tanα>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与cosα同号，sin2α＝2sinαcosα>0，故选A．扇形的弧长及面积公式[明技法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝αr，扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提能力]【典例】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解：设圆心角是θ，半径是r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋rθ＝10，,\f(1,2)θ·r2＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,θ＝8))(舍)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝4，,θ＝\f(1,2)，))故扇形圆心角为eq\f(1,2).[母题变式]去掉本例条件“面积是4”，问当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝10.S＝eq\f(1,2)θ·r2＝eq\f(1,2)r(10－2r)＝r(5－r)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(5,2)))2＋eq\f(25,4)≤eq\f(25,4)，当且仅当r＝eq\f(5,2)时，Smax＝eq\f(25,4)，θ＝2.所以当r＝eq\f(5,2)，θ＝2时，扇形面积最大．[刷好题]已知扇形的周长是6cm，面积是2cmA．1或4 B．1C．4 D．8解析：选A设扇形的半径和弧长分别为r，l，则易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝6，,\f(1,2)lr＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝4，,r＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝2，,r＝2.))故扇形的圆心角的弧度数是4或1.三角函数的定义[明技法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[提能力]【典例】(1)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)(2)(2018·济宁质检)已知角α终边上一点P(m,4)，且cosα＝eq\f(\r(2),6)m，m的值为__________.解析：(1)因为α是第二象限角，所以cosα＝eq\f(1,5)x<0，即x<0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).(2)由三角函数定义，cosα＝eq\f(m,\r(m2＋16))＝eq\f(\r(2),6)m，解之得：m＝0或m＝±eq\r(2).∴m的值为0或±eq\r(2).答案：(1)D(2)0或±eq\r(2)[刷好题]1．(2018·十堰检测)已知角α的终边上一点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，则角α的最小正值为()A．eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(5π,3) D．eq\f(11π,6)解析：选D由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，故α＝2kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，所以α的最小正值为eq\f(11π,6).2．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解：设α终边上任一点为P(－4a,3a当a＞0时，r＝5a，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；当a＜0时，r＝－5a，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).课时作业提升(二十)任意角、弧度制及任意角的三角函数A组夯实基础1．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析：选C与eq\f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,2)C．eq\r(3) D．2解析：选C设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝αr，∴α＝eq\r(3).3．如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，那么sinα＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),3)解析：选C因为P(1，－eq\r(3))，所以r＝eq\r(12＋?－\r(3)?2)＝2.所以sinα＝－eq\f(\r(3),2).4．已知α是第二象限角，P(x，eq\r(5))为其终边上一点，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，则x＝()A．eq\r(3) B．±eq\r(3)C．－eq\r(2) D．－eq\r(3)解析：选D依题意得cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x＜0，由此解得x＝－eq\r(3)，选D.5．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选B因为点P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＜0，,cosα＜0，))所以角α的终边在第二象限．6．(2018·邵阳检测)若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ＜0，则此三角形为__________.解析：∵sinαcosβ＜0，且α，β是三角形的两个内角．∴sinα＞0，cosβ＜0，∴β为钝角．故此三角形为钝角三角形．答案：钝角三角形7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq\f(4,5)，则cosα＝__________.解析：因为A点纵坐标yA＝eq\f(4,5)，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－eq\f(3,5)，由三角函数的定义可得cosα＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)8．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm解：设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))∴圆心角α＝eq\f(l,r)＝2.如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1rad.∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin19．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．解：因为θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，所以tanθ＝－eq\f(1,x).又tanθ＝－x，所以x2＝1，即x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2).因此sinθ＋cosθ＝0；当x＝－1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝－eq\r(2).故sinθ＋cosθ的值为0或－eq\r(2).B组能力提升1．已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则角eq\f(θ,2)的终边落在()A．第二、四象限 B．第一、三象限C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上解析：选D因为|cosθ|＝cosθ，所以cosθ≥0.因为|tanθ|＝－tanθ，所以tanθ≤0.所以2kπ＋eq\f(3π,2)<θ≤2kπ＋2π，k∈Z.所以kπ＋eq\f(3π,4)<eq\f(θ,2)≤kπ＋π，k∈Z.故选D.2．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－eq\f(π,3)，则sinα＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)解析：选D因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又β＝－eq\f(π,3)，所以α＝2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，即得sinα＝eq\f(1,2).3．在直角坐标系中，O是原点，A(eq\