课件高数同济完美版

第一单数项级级数的基本

a1a2·an aia1a2·an·例 1111·1·n1 nnsnaia1a2· nnsn

n12·nn(n1)2例 设级数qn，则部分和数列nnsn i

qn

1qn.1q

nsn

an 等比级数qn收敛|q|<1，qn

qn

11

1q 例 证明级

2n1n2n

sn 2 2 i1i2i

n1

lims

1 2 即即

n n1 1.n1n2n例

n

n(n1)(n2

1 n n 1111

.

nn1n1n11 2 n1n n

1.n(n1)(n 例

n1

1

1

1n证该级数的前2m+1 1111111

2 4

·

1m1 2m

1n1

1

1

1n 无穷级数的基 n kns´m(m>n)smnsn 级数an收敛其余项级数ak收敛 n kn 证设级数an收敛，记部分和为sn，级数akn kn分和为s´msmn limlimsmnsnssn. 即aks反之,若级数akknakn, sn故limsnmsnlim

■性质

an n n

收敛，则对任意实数k,l

kanlbnn kanlbnkanlbn n n n 证设级数an的部分和为sn，级数

n

n的部分和为s´´n snkailbikanlbnksn kanlbnkanlbnn n n■设级数an，对级数进行“加括号”运算，则得到一nn

11111111 性质 证设级数an是收敛的，加括号后得的级数为bnn

n相应的部分和分别为sn和s´n，注意到后者是前者的 ■性质 若级数an收敛，nlimannnsn则，an=sn-sn-1limanlimsnsn1ss ■性质4´如果一般项不趋向于零，则级数发散。 设级数

n1n nn比较判别法及极

an0,n1,2,

，则称级

an与

anbn,n1,2,· 则：(1)若级数bnan (1)设级数

收敛，其和为ansn(2)若

发散，部分和为sn，设级数

s´nsnsn,，又因级数an 界，故 ，即级数bn发散■

,ln

,n

nln

例 设级数

收敛；(2

cn

证作级数 cnbncna

是收敛的，(cnan)

■ 讨论级数1 n1n

1np1nn

p是收nnn

1 np 1 n xpn

n n1

1dx

n1 n

n1x

xk k k 1

p1

np1

p比较审敛法´

lim n 若0<k<∞，则级数an与级

bn同时收敛 若k=∞且级数bn发散，则级数 (1)设bnlim kn由定义，存在N，当n>N时

k1,

(k lim n

2,

■1例 判别级数1

nnln1

/1n

nln n又n

收敛，故级数

n2nln

1cos

0的收敛 n

n

xt

2

1cost

sint

t t1cos

t 比值判别比值判别法 设an是正项级数，若极liman

n 证设<1，则存在N，当n>N时，有an1r即 ra

r2a r3a

NN

ark

收敛，aNkan1即，当n充分大时，级数的一般项在递增，liman■1, 例n1nn1

liman

1.n 例 证明级

n

n23

an

n23 lim

(n

n122n1

■例

n1nn

解令annn a

n

limn1

nn nn 1 e1n n例

n

n(2n1)

解令an

n(2n1)liman1limn1!/ n(2n1)!!(2nlimn11n2n 根值判别nn

证设<1，则存在N，当n>N时，有 anranr即

(nN n因级数rn收敛，故级数 收敛，nn

n

n

若>1，则存在N，当n>N时nrn即 rn,lim

n,n2

nn

例 判定级数n

n35

解由Cauchynnn

n 例 n

2n2n n1 n nn11nnn nn n

11 n n

交错级数与收 a (a 1 1

例 级数

nlnn数 a (a anlimanrn证设sn注意到括号中的每一项都大于零，故s2nlims2nn

s2n1s2nlims2n1lims2na2n1lims2n rnakan1an2an3an4…■ n例n

11nann则，a1a2•an ，nlim n

绝对收敛与条件 an，若级数anan

n例 级数 n

nn定 证设级数an

a0n,n nann

2

n0, annan

n1,2,·因级数an绝对收敛，

an

,a

n

an aa an■例

nlnn

(2) 22

nn

1n1 (4)。n1(4)。

n 解

nnln 单调下降，故级

nln

又 nlnnn

1n

n

nln

n

nln

limn

1nnnn2 2故，级数 2

, 2n1 2

nn

nn

1n1nn nn

lim

定理绝对收敛级数的更序级数仍然绝对收敛。 证首先证明正项级数的情形。设正项级数an

s

an视为ans ss aa, an u

a

a

u,v

a 又

uvs, ■例 考虑交错级数

n

111111 s 12 即010101010 1 s 1011101110…3s 即111111111…3s · ···············对此方阵，考虑各种形式的和。例如按“对

a1b1a2b1a1b2a3b1a2b2n111n ab b·abn111n

(1

a1b1a2b1a2b2a1b2(anb1anb2· (2 若级数an与bn绝对收敛，和分 s·证考虑级数Cauchya1b1a2b1a1b2a3b1a2b2a1b3 anb1an1b1·a1bn

(1

S1,

S2,再设级数(1)cn为和wn

wman

S1S2注意到，wm为单调上升数列，从而cnn项和a1a2 anb1b2 bnwlima1a2 anb1b2 bnsn■例 利用Cauchy乘积证 an

an