分频hilbert-huang变换对非平稳信号的分析应用

分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用 Hilbert-Huang变换是一种新的分析非线性非平稳信号的时频分析方法。这种方法的关键部分是经验模态分解(EMD)，任何复杂信号都可以通过EMD分解为有限数目并具有一定物理意义的固有模态函数(IMF)。利用Hilbert变换求解每一阶固有模态函数的瞬时频率，最终得到信号的时频表示，即Hilbert谱。经验模态分解方法具有自适应性和高效同时，也存在模态混叠的缺点。本文在经验模态分解的基础上引入小波滤波技术，建立分频经验模态分解方法。应用小波滤波和经验模态分解同时对信号进行处理，实现信号的不同频率分段，从而得到分段固有模态函数。分频经验模态分解方法能有效的消除固有模态函数中模态混叠的现象。结合分频经验模态分解方法和Hilbert谱分析方法，可以建立分频Hilbert-Huang变换。与小波分析相比，分频Hilbert-Huang变换对非线性非平稳信号的时频分析结果具有更客观的物理意义。本文运用分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号进行分析，分析得到的结果很好的刻画了信号的时频特征。并与小波分析作用在同一时间序列得到的结果进行比较，从而说明分频Hilbert-Huang变换的优点与高效性。 小波分析；Hilbert-Huang变换；经验模态分解；信号；时分Hilbert-Huangtransform(HHT)isanewtime-frequencyyticmethodtoyzethenonlinearandnon-stationarysignal.Thekeystepofthismethodistheempirical position(EMD)methodwithwhichanycomplicateddatasetcanbe posedintoafiniteandoftensmallnumberofintrinsicmodefunctions(IMF).UsingHilberttransformtothoseIMFcomponentscanyieldinstantaneousfrequency.Thefinalpresen-tationofthisresultsisanenergy-frequency-timedistribution,designatedastheHilbertTheEMDmethodisadaptiveandhighlyefficient,meanwhile,thismethodmayrunintodifficultieswhenthedatacontainintermittencewhichwillcausemodemixing.ThispaperinvokesthewaveletfiltertechnologyintotheEMD,constructs posing-frequencyEMDmethod.WiththeapplicationofthewaveletfilterandEMDmethodtotheshiftingprocesscanyielddifferentscalefrequency positionofsignal,whichisposing-frequencyintrinsicmodefunctions.The posing-frequencyEMDmethodcan ethemodeThecombinationofthe posing-frequencyEMDandtheHilbertspectrummethodsetsupthe posing-frequencyHilbert-Huangtransform,whichcanprovidemorephysicallymeaningfulinterpretationofnonlinearandnon-stationaryprocessesthanwaveletstransform.Thispaperdemonstratestheuseof posing-frequencyHilbert-Huangtrans-formmethodtoyzetheearthquakemotion.Byusingthemethod,time-frequencycharacteristicsoftheearthquakegroundmotionsareyzed.Comparedtousingthewaveletstransformmethodtothesametime-series,thoseresultscanclaritytheadvanceandefficientofthe posing-frequencyHilbert-Huangtransformmethod.:waveletysis;Hilbert-Huangtransform;empiricalmode earthquakemotions;time-frequencyysis1课题背景及目的伴随着进程的飞速发展，大量基本自振周期超过s秒结构物，比如大跨度桥梁、层建筑物等，纷纷兴建起来。这些设施的正常行使对整个城市的正常运转致关重要。是危害这些结构物安全的重要性是由震源释放出来的波引起的地表附近土层的振动，一般通过仪器，如加速度计或位移计，来记录动的全部或大部分过程。描述动的物理量有地面质点的加速度、速度与位移等参量，这些参量随时间的变化过程即为动时程。通常，动时程的持续时间是非常短的，从这个意义上来讲，我们可以认为该确定的动时程，是某一随机过程的一个样本，是非平稳的信号。要研究的破坏性以及采取相应的措施，首先就必须对信号进行分析。信号分析是对信号基本性质的研究和表征。信号通常是一个多变量函数，例如，电场可表示为空间和时间的函数。时间是基本的物理参数之一，信号的时间描述是研究的主要。从数学的观点看，通过在函数空间的完备正交基集上展开信号，就可以实现信号的不同表示，而且可以有无数种情况[1]。一种特别表示的重要性就在于：用这种表示可以更好地理解信号的内部特征。除了时间以外，最重要的表示就是频率。频率表示的数学方法是由（Fourier）发现的，由于Fourier变换的发现，从而产生了信号的频谱分析方法[2]。历史上，Fourier 频谱分析提供了对信号全局能量谱分布的一种描述方法，特别是二十世纪七十年代发明了Fourier变换的离散快速算法FFT和计算机的广泛应用以来，频谱分析方法在信号处理中占据了地位，它几乎用于所有类型的信号分析。但是以后的实践表明Fourier频谱分析并非对所有类型信号的分析都有效，Fourier分析存在严格的限制条件[3]：被分析的系统必须是线性的；信号必须是严格周期的或者平稳的，否则，谱分析结果将缺乏物理意义。在自然现象或人工产生的环境中，几乎难以找到严格满足平稳性要求的信号。我们所得到的信号，不论来自物理测量还是数学模型，都有可能下列一个或几个问题：(1)总的信号长度太短；(2)信号是非平稳的；(3)信号代表着非线性过程。当然，许多自然现象能够被近似为线性系统，但严格地来说，任何一个系统都是趋于非线性的[3]，如信号，就是非线性非平稳信号。Fourier谱分析使得我们能够从时间和频率两方面观察分析信号，然而它不能同时保留时间和频率的信息。对于非线性非平稳信号的分析，我们常常需要了解在某一时刻的频率成分，或者某一频率成分的时间分布情况，因此，时频分析具分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用有很大的意义。时间能量密度分布和频率能量密度分布不能充分地描述正在发生着的事情，因此，我们希望建立一种分布，能够同时在时间和频率上表示信号的能量密度或能量强度。频谱和联合时―频表示之间的不同在于：频谱使我们能够确定哪些频率存在，而联合时―频表示则使我们能够确定在某一时刻频率成分的分布情况。Fourier谱分析方法在处理非线性非平稳信号上表现得不太理想，因此出现了许多新的信号处理方法，这些方法称为信号的时频分析。本文正是在时频分析的层面上对信号分析中的一种新方法―Hilbert-Huang变换进行研究和探索。时频分析方法回顾我们简单地介绍一些适用于非线性非平稳信号处理的方法，主要参考文献[5][6][13]，由于大部分方法都是依赖于Fourier变换，因此同样表现出Fourier变换的缺点和局限性。每法都有其特定的应用领域，在信号处理领域中，必须根据不同的应用，选择合适的处理方法。加窗Fourier变为修补Fourier变换的不足，因发明全息照相技术而获得奖的D.Gabor在他的1946年的中，提出了加窗Fourier变换（又称Gabor变换），以提取信号的局部信息[8,9]：ZFg(ω)=hf(t),g(t−iωt

f(t)g(t− g(tb称为窗函数。加窗Fourier变换在很长时间内成了非平稳信号分析的一种标准的和有力的工具[4]，它的基本思想是：将非平稳信号假定为分段平稳的，通过采用一个滑动窗截取信号，一次次地对截得的信号进行Fourier变换，从而得到任意时刻信号的频谱，这些频谱的总体就表示了频谱在时间上是怎样变化的。加窗Fourier变换有明确的物理意义。在任意时刻t，它可以看作是信号f(t)(1.1f(t在时间t的Fg(ω)就是对信号乘上一个以b为中心的“分析窗”g(t−b)后所作的Fourier变换。由于信号f(t乘上一个相当短的窗函数g(tb等价于取出信号在分析时b附近的一个切段，所以Fg(ω)可以理解为信号f(t)在“分析时间”b附近的Fourier变换，即“局部频谱”。Fourier变换的缺陷在于如下几点。首先，加窗Fourier变换是依赖于传统的Fourier变换的方法，因此它必须采用信号分段平稳性的假定。对于类似动这样的信号，其谱分量的变化是非常快而且不规则的，以致我们难以找到一个合适的短时分析窗函数g(t−b)，能够使动信号在其时间宽度内满足平稳性假定。其次，窗函数g(t−b)的选择带有一定的性。最后，也是加窗Fourier分析所面临的最大的问题，即其分辨率问题。对应一定的时刻，只是对其附近窗口内的信号作分析，若选择的g(t−b)宽度很窄(即时间分辨率很高)，则根据不确定性原理Fg(ω)的频率分辨率就会很低；如果为了提高频率分辨率使分析窗的宽度加宽，则其时间分辨率将会降低，而且伪平稳假设的近似程度会变差。这一缺陷是加窗Fourier变换无法克服的，小波分析正是为了克服Fourier变换、加窗Fourier变换的这些不足而提出来的。小波变换一般的时频分析将信号表示成时间和频率的函数，在联合的时间一频率域中描述信号的能量分布。而小波分析（waveletysis)）则是将信号表示成时间和尺度的二维函数，在联合的时间一尺度域上表示信号[8,10]。设ψ(t)∈其Fourier变换为ˆ(ω)，如果ˆ(ω)满足以下条件（称为容许条件

nR)LCψ

r|ˆ(ω)|2dω< ψ(t为基本小波（或母小波，小波母函数。ψ(t通过尺度伸缩和平移生成的如下函数族：

=||12ψ(t−b),a∈R,a/=0,b∈ a称为由ψ(t)生成的连续小波。其中a称为尺度参量，b是平移参量。根据（1.2）式的容许条件要求，当ω0时，为使被积函数为有效值必须有ˆ(0)=0，所以可得到（1.2）式的等价条件为：rˆ(0)

ψ(t)dt= 此式表明ψ(t)中不含直流，只含有交流即具有震荡性，故称为“波”。为了使具有局部性，即在有限的区间之外很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件：c|ψ(t)|≤(1+|)1+,ε>0,c> t上式的含义是：当t时，ψ(t)的衰减比t

快，衰减条件要求小波具有局部性这种局部性称为“小”，故称为小波。小波变r定义为：W(a,b)

f (t)dt=||1

f(t)ψ(t−b)dt=f, a

小波是时域和频域中的局部函因此也可以类似窗口其时频中心和半径，用来衡量它的局部化程度。当a较大时（相当于低频）时域分辨率分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用低，频域分辨率较高；当a较小时（相当于高频）时域分辨率较高，频域分辨率较低。因此当a从小逐渐增大时，时频分辨率就会发生相应的变化，这种特性称为小波的“变焦”特性或多分辨率分析。然而，无a如何变化窗口的面积是保持不变的，即时域分辨率的增加，必然导致频域分辨率的减小，反之亦然。虽然小波变换得到了足够的重视和广泛的应用，但也有一些难以克服的缺点。在orir分析中，有唯一的基函数，因此对不同的信号没有适应性，这就影响了它分析信号的能力。而在小波变换中，可以根据需要构造不同的小波基，正是由于有不同的小波基可供选择，使得小波变换对分析信号有足够的适应性，能够满足不同应用领域的要求。我们可以从信号的全局出发，根据一定的准则，构造或者选择最佳的小波基。但在小波变换中小波基一经选择，在整个分解和重构过程中都无法更换，因此有可能该小波基在全局上是最佳的，但对某个局部区域来说可能是的，由于小波基对信号的局部并没有适用性，对某一信号，依据什么原则，用什么判据选择小波基目前在理论上和实际应用上都还是一个难点[11]。目前在工程上影响小波变换应用的一个重要原因就是小波基的选择，不同的小波基具有不同的性质，对信号的分析能力也不同，对同一信号采用不同的小波基得到的结果基本没有可比性时频分析方法的一般性问题除了上面介绍的几种时频表示方法外，近年来涌现出多种多样的时频表示形式，如：Wigner-Ville分布,自适应的平滑WD高阶非线性分进化谱分析（Evolutionaryspectrum）,实验正交函数分解（Theempiricalorthogonalfunctionex-pansion）等等。其性能各不相同，所有方法都是被设计来修正Fourier分析的。分析表明作为非线性非平稳时间序列的分析方法，一般应该满足下列条件：(1)完备性、(2)正交性、(3局部性和(4自适用性。第一个条件保证了信号分解的精度要求；第二个条件保证了能量的非负性，并且能够避免能量的泄漏，对于线性变换，正交性是必备的，而对于非线性变换，正交性的条件必须被修改。局部性要求对非平稳信号是非常重要的，由于非平稳信号不存在周期性，所有的都必须通过发生时刻确定，所以要求幅值（能量）和频率都是时间的函数。对于非线性现象，自适应性具有特殊的意义，我们不能期待有一个预定义的基函数满足所有的物理性质，一种最方便的办法就是通过信号本身产生所需要的自适应基函数。本文将在后面的章节中详细介绍Hilbrt-Huang变换及其改进算法，该分析方法就能很好的满足自适应性这一条件。HHT的提出和国内外研究现状由于如上时频分析方法存在一定的局限性，而且在应用时如何根据具体情况选择合适的分析方法是一个难题，因此在这样的背景下，N.E.Huang及其合作者于1998年提出了一种新的理论和计Hilbert-Huang变换。Hilber-Huang变换是目前发展起来的对非线性非平稳信号进行分析的有效方法，在许多领域其分析效果完全可以和小波变换方法媲美甚至更有效，具有很大的研究价值和广阔的应用前景，为信号处理开辟了新的途径。Hilbert-Huang变换与以往的分析方法不同，其频率的定义不是采用整个正弦波作为定义，而是采用瞬时频率。HHT有更明确的时频描述，且实现简单，可以进行实时计算。传统的分析方法只适用于代表线性过程的周期性或平稳数据序列，而这种方法主要利用基于经验的模式分解方法，把复杂的数据序列分解成简单的有限个分量，得到的基本模式分量具有较好的Hilbert变换特性，使得瞬时频率具有实际的物理意义。由Hilbert-Huang变换是基于信号局部特征的和自适应的因此它适用于非线性、非平稳信号数据分析与处理。于HHT具有自适应性而且是对非线性非平稳数据分析的有效工具和。其自从18年.E.Hung及其合作者提出以来，一直受到相关领域学者的广泛关注，并取得了一系列的研究成果。目前于HHT的研究主要包括HHT方法的理论研究和应用研究。在理论上，如何有效解决HHT的边界延拓问题对于HHT理论及其其它信号处理都有理论和实际意义此2001年我国学者邓拥军等结合神经网络的方法对给定信号的端点进行延拓，有效的抑制了ED分解时的端点应[16]，003年，黄大吉采用镜像法对信号两端进行延拓，从根本上避免了ED分解和Hirt变换的端点问题[17]，此外，国家局地球物理 等人提出采“筛分、边延拓”的边界处理方法，利用自回归模型对给定信号的两端进行延拓，实现了较准确的EMD解[18]。同年法国学者P.ndrn，对于具有宽带噪声的随机信号，EMD分解本质上是一个类似于小波的滤波器组，因而，ED可以作为分析自相似过程的一种新方法[16]。2002年，等人借助振动信号模型提出了本征模式函数应满足的一个重要的数学条件，进而建立了本征模态函数的数学模型[19]，这些工作使HHT的研究向前迈进了一步。2004年我国学者和等人采用B样条代替包络均值的方法，得到了ED较好的解析表达式子[20]，为ED的理论分析和精确数值计算提供了可能。同年，大学的利用复分析和调和测度得出了单分量信号的一个判据和充要条件[212223]。而EMD推广需要处理的数据量大大增加，因此必须设计快速计算方法，为此如何有效的应用于算法实际，目前有许多学者在进一步的探讨中。在应用方面 方法的提出首先是用于分析、海洋等典型的非线性、分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用非平稳信号的，从1999年开始，N.E.Huang和他的研究小组用HHT方法对水波、波、海洋环流等进行分析[34]，得到的分析结果明显优于Fourier分析和Morlet小波的分析结果，2000年荷兰学者P.J.Oonincx将EMD分解用于信号S波检测[28]，并与基于Fourler和小波的方法比较，结果表明HHT在时频局部性方面确实优于其它方法，1999年Stubbs[29]和随后的2001年东南大学环境工程系的DionisioBernal[30]分别将EMD方法用于分析结构损伤检测，揭示了HHT方法在应用工程领域中巨大的应用前景。目前，关于HHT方法的应用还遍及对潮汐与海啸信号的分离处理[34]、对医学信号的异常性分析、对机械故障信号检测与故障的定位、对信号进行去噪分析、对人类某些行为模式如步态的识别等等。 的研究内容及构成研究内容及目标.E.ung发明了新的分析非线性非平稳信号的方法Hir-Hung变换,本文在这种新方法上做了一些创新。原来的经验模态分解方法（E）可以把信号分解为不同尺度上的固有模态函数（IF的组合，由于存在着尺度上的交叉现象，使得在整个分解过程中，表现在频域上，各个IF分量的频谱存在现象，影响了它的应用。时频局部化是小波变换的精髓，在小波变换中，通过对小波基的伸缩，从而能够对信号的时域或者频域局部进行分析，因此小波变换被誉称为“数学显微镜”。本文将小波分析的思想引入到D方法中，通过小波滤波器将信号频率突变的时刻找到，再分别对每个时刻段的信号进行经验模态分解，得到分段固有模态函数，最后利用irt变换，求解每一阶分段固有模态函数的瞬时频率，最终得到信号的时频表示。这样得到的IF分量能够消除尺度交叉性，即模态混叠现象，并且由于小波滤波方法的，使得Hir-ung变换既保留了小波变换的“数学显微镜”的优点，同时又因为不需要基函数，克服了小波变换需要选择小波基的。1.3.2构成第一章绪论，介绍了Fourier变换的局限性，并对目前常用的时频分析工具进行了分析比较，简单介绍了的；第二章将先介绍瞬时频率的概念及物理意义，然后详细讲述Hilbert-Huang变换相关的预备知识；第三章将小波滤波引入到EMD方法中，得到改进后的分频EMD分解方法，介绍其实现及理论上的应用；第四章会给出一个信号的实例，并使用改进后的分频Hilbert-Huang变换对信号进行时频分析，通过小波变换对同一个信号分析的结果来比较这两种方法，说明分频Hilbert-Huang变换的应用前景；第五章对分频Hilbert-Huang变换待进一步需要解决的问题进行了分析，并得到了一些有益的结论。分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用2章Hilbert-Huang基本概念在监测、信号分析等领域，我们所接触到的大多是非平稳信号。对于非平稳信号，常规的Fourier频谱不能满足实际需要，而瞬时频率是描述非平稳信号一个重要的参数，这个时变参数表征的是随时间变化的频率峰值位置。概念上，瞬时频率可以解释为一个正弦波局部最佳近被分析信号的频率值；物理上，它仅仅对单分量信号（ponentsignal）有效分量信号可以理解为仅仅含有一个频率成分或者一个随时间变化的窄带分布频谱[12]，对于多分量信号（ ponentsignal），将不能保证瞬时频率随时间变化的单值性，因此把多分量信号分解成单分量信号的组合对瞬时频率的计算是必不可少的步骤[13]。本节将简单介绍瞬时频率的概念及其与Fourir频率的联系和区别，并顺带介绍单分量信号和多分量信号的定义以及特征时间尺度的含义。瞬时频率的概念在振动理论中，频率是一个表号交变的基本变量，它是指单位时间内物体往复振动(或位移交变的次数。当物体以角速度ω沿半径为a0的圆周运动时，物体在直径上的投影运动P是一简谐振动,其位移为：s(t)=a0cosθ(t)=a0cos 当时间t经过2π/ω个单位以后,P往复振动一次,于是P的频率f= ω/2π(Hz)。显然,当角速度ω越大，P往复振动越快,频率f越大。反之,当f越大时，也必然要求ω越大。因此“频率”本质上可以理解为一个表示往复振动快慢的物理量，即瞬时频率。以上振动中，角速度ω和半径a0均为常数，这样形成的信号是平稳信号，其瞬时频率处处相等。但实际中物体绕原点运动的半径往往不为常数，运动的角速度也不均匀，于是投影P的表达式变为 这样形成的信号是非平稳信号，其中决定投影P振动快慢的量仍然是角速度，这时我们也可得到相应的瞬时角速度和瞬时频率：ω(t)

1

2π通过上面的推导，瞬时频率可以表示为相位的导数。相位导数能否满足我们对瞬时频率的直观概念，这是一个重要问题；另外，还存在一个问题：如果瞬时频率是相位的导数，那么要使用什么样的相位？根据这个定义，实信号的瞬时频率是零，这个显然是一个荒谬的结果。克服这一的方法是引入解析信号的概念[31]。Gabor引入解析信号之前，建立复信号的主要思想是基于正交方法，对于一般形式为s(t)=a(tcosθ(t)的信号，其复信号对应的形式定义为()jθ()这样就出现一个问题，该方法首先需要把信号转化为()j(的表示形式，但是这种表示形式并不是唯一的，它可以有无数种情况，这种方法的优势是它在直观上非常明显。1946年Gabor引入了解析信号，从而使虚部定义问题得到了很好的解决。瞬时频率与Fourier频率的关系瞬时频率和Fourier频率是两个既相关又不同的概念，许多学者如Mandel[12]强烈认为瞬时频率和Fourier频率是完全不同的概念，只是由于它们都采用了频率这个名称，使得这两个概念经常。Fourier频率由下式定义：ZF(ω)=fˆ(ω)为了区别起见，定义瞬时频率为：

f ω(t)=

（2.5）和（2.6）两式了Fourier频率和瞬时频率三个主要的概念上的区别 频率是一个独立的量，而瞬时频率是时间的函数；Fourier频率与Fourier变换相联系，而瞬时频率与Hilbert变换相关联系；Fourier频率是定义在整个信号长度的全局量，而瞬时频率是在某时刻的局部频率描述方式。尽管有上面的不同之处，通过计算它们的平均值和方差，两个概念在统计上是相关的。平均值和方差在Fourier频率情况下，是在整个频率轴上计算的，而瞬时频率情况下，是在整个时间轴上计算。如果Fourier频率的方差和均值与对应的瞬时频率一致，那么就可以认为这两个频率在统计是相似的。经过推导可以得到，Fourier频率和瞬时频率的均值是相等的且瞬时频率方差不大于Fourier频率方差，具体推导过程可以参阅文献[14]，本文不再详述。这种本质上的相似性也体现了瞬时频率定义的合理性。单分量信号和多分量信号单分量信号的概念最早由Cohen提出[13]，其含义是在任意时刻该信号只有一个频率值，它代表着一个分量，从而该信号就是单分量的。他认为，如果一个信分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用号为单分量的，那么对其进行Hilbert变换所得到的瞬时频率就能够满足我们对这一物理概念的直观感知。但令人遗憾的是，Cohen并没有给出明确的单分量信号的定义，因此我们无法判断某一给定的信号是单分量还是多分量的。而正如前所述，瞬时频率的计算只能适用于单分量信号（ ponentsignal），对于多分量信号（ponentsignal），必须采用适当的方法，分解为多个单分量信号的组合，然后对每一个单分量信号求解瞬时频率，从而得到该信号的瞬时频谱[37]。随后，Boashash给出了多分量信号数学模型[36]：s(t)

sk(t)+ 其中，n(t)表示一个难以确定的噪声信号，sk(t)为单分量信号，它可以表示为：sk(t)=θ( 一般地来说，在时－频图上，单分量信号看上去像一山脉，在每一时刻，山脉的峰值都存在明显不同。瞬时频率解释为一个正弦波局部最佳近被分析信号的频率值，因此单分量信号可以理解为局部仅仅含有一个频率成分或者以某个频率为中心的窄带信号[33]。典型的多分量信号是由两个（或多个）山脉构成的，每一山脉都有它自己不同的瞬时频率和瞬时带宽。例如一个如下形式的信号：s(t)=s1(t)+s2(t)=a1(t)eiθ1(t)+ 如果每一部分的瞬时带宽同两个山脉之间的间距相比较是小的，那么我们就有一个多分量信号，两个山脉的间距由瞬时频率差给出。多分量信号可以理解为在某确定时刻，信号含有多个频率成分。一个信号在某些时间可能是多分量的，而在另外一些时间可能是单分量的。就如同我们平时听到的交响乐，在某特定时刻是一种或多种乐器发出混合在一起的效果，而这些乐器都有着各自不同声音频段。单分量信号可以定义为下节要介绍的一类新的函数IMF，通过IMF可以计算瞬时频率。对于多分量信号可以通过适当的方法分解为IMF的组合，具体的实现将在下一节中详述。特征时间尺度时间尺度参数是描述信号本质的基本参数，它代表了信号的一种局部振荡模式。在Fourier分析中，时间尺度被定义为连续和等幅的三角函数分量的周期，但是这种定义仅给出了时间和能量尺度的全局均值。到目前为止还没有特征时间尺度的明确的定义。然而我们通常可以直观理解为:大的尺度对应于低的频率，小的尺度对应于高频率。对于非平稳信号，时间尺度参数是基于信号特征点的特征参数，能够反映非平稳信号的特点。N.E.Huang给出了三种特征时间尺度的描述方法：在相邻过零点之间的时间段称为过零点时间尺在相邻极值点间的时间段称为极值点时间尺度；最后一种是曲率极值点时间尺度，即K(t)=

的极值点间的时间段这些时问尺度能够局部描绘信号的变化其中过零点时间尺度相对粗糙，因为信号在两个连续过零点间有可能出现多个极值点即出现多个振荡模式，曲率极值点时间尺度则代表一种轻微的振荡，这种振荡可能在信号局部产生变化，但并不产生极值点，且出现了二阶导数，增加了限定条件。基于极值点时间尺度的定义提供了更具优势的时间尺度参数描述方法，不管信号是否存在过零点，都能有效地找出信号的所有模态，从某一极大值(或极小值)到另一个极小值(极大值)，得到了信号的局部波动特征，它反映了信号不同模态的特性。正因如此，在EMD处理过程中，我们都采用了基于极值点的特征尺度方法。Hilbert-Huang变Hilbert-Huang变换方法是由Huang等人于1998年，其思想是将时间序列信号通过经验模态分解(EmpiricalMode position，简称EMD)，分解成数个固有模态函数(IntrinsicModeFunction，简称IMF)的和，然后利用变换构造解析信号，得出信号的瞬时频率和振幅，进而得到谱。本节对该方法作较详细的介绍[15]。经验模态分解(EMD)和固有模态函数经验模态分解方法的大体思路是利用时间序列上下包络的平均值瞬时平衡位置”，进而提取固有模态函数。其主要实现步骤有3个：找出原始数列s(t的局部极大值和极小值，利用三次曲线插值连接局部极大值和极小值，分别得到极大值包络smax(t)和极小值包络smin(t)；对每个时刻的局部极大值smax(t和极小值smin(t)取平均，得到瞬时平均值m(t)：m(t)=[smax(t)+ 用原始数列s(t)减去瞬时平均值m(t)，得到一个去掉低频的新数列h(t)=s(t)− 分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用对于不同的数据数列 可能是固有模态函数，也可能不是。固有模态函IMF必须满足以下两个条件：极值点数目和过零点数目相等或最多相差1个在任意点，由局部极大值点和局部极小值点构成的两条包络线平均值为0检查h(t)是否满足上述两个条件，若满足，则将h(t)作为一个固有模态函数若不满足，将h(t作为原始数列重复上述3个步骤，直到满足(1)(2)两个条件为止。这样我们得到第一个固有模态函数IMF1C1(t记之。一般来说，C1(t代表了原始数列中的高频部分，也称C1(t为原始数列的一个振动模态。将C1(t)从原始数列中分离出来：s(t)−C1(t)= 因为余数r1(t)仍然包含较长周期分量，所以将r1(t)作为新的时间序列应用上述步骤处理：r1(t)−C2(t)=.rn−1(t)−Cn(t)=直到剩余项rn变成单调函数或常数，再也没有IMF解析出为止。这样，经处理，可以从原始数列中分离出n个固有模态函数分量，(C1C2···Cn和一个趋势项或常数rn。顺便说明一下，即使是零均值的数列，最后的剩余项仍可能不为零，因为时间序列都有一个趋势，而最后的余数项代表了整个时间序列的趋势。如果把分离出来的固有模态函数和趋势起来，则得到原始数列，即：s(t)

Ci(t)+ 文献[15]，由于EMD分解的基底是后验（posteriori）的，其完整性与正交性需要进行检验。事实证明,所分解得到的各分量是具备完整性的，但由于分解是自适应的，正交性没有得到理论上的证明。Hilbert变换和Hilbert频通过EMD所解得到的IMF在特点上非常适合作变换，从而得到瞬时频率，得到谱。简单地说，变换为信号与1/t的卷积，因此，其特点是强调局部属性，这就避免了用Fourier变换时为拟合原始数列而产生的许多多余的、事实上并不存在高低频成分。对固有模态函数作变换： +∞Cj(τ) H(t)]=P.V. t−式中P.V.代表主值(CauchyPrincipalValue)，因此定义Cj(t)的解析信号为A[Cj(t)]=Cj(t)+iH[Cj(t)]=aj(t)eiθj 式jaj(t)={C2(t)+H2[Cj jjθ(t)=arctanH j式（2.152.17）是极坐标系中的表达形式，明确的表达了瞬时振幅和瞬时相位，很好的反映了数据的瞬时特性。在此基础上定义的瞬时频率为：ω(t)= 这样，由上式（2.14－2.18），每一个IMF可表示为：RCj(t)=e[j(t)eiθj(t)]=Re[j(t)eiωj aj(t表示在联合的时频平面上，即可得到Cj(tHilbertjH(ω,t) aj(t),ω= j ω/=最后，对信号s(t)进行整体Hilbert谱分析，根据（2.13）与（2.19）式，s(t)可表示 (s(t)= aj(t)eiωjt 这里省略了残余函数rn，因为一般情况下它是一个单调函数或者为一个常数，代表着长周期振荡，含有较大的能量。考虑到我们感的信息主要包含在其它几个高频率低能量的IMF分量中，因此最后的非IMF成分一般不予考虑。类似地，利用上式我们可以将幅值与瞬时频率随时间的变化表示在一个三维图中，即在联合的时频平面上将幅值的轮廓勾勒出来。振幅的这种时频分布被定义为Hilbert振Hilbert谱，记为H(ω,t)。依据（2.20）与（2.21）式，我们能够进一步得到信号s(t)的Hilbert谱的如下表达：H(ω,t)

Hj(ω, 基于Hilbert谱的定义，可以将H(ω,t)对时间积分，就得到Hilbert边际谱：Th(ω) H(ω, 0分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用边际谱描述的是各频率值对总的振幅或能量贡献的一种测度。在Hilbert谱和边际谱中，某一频率上的谱值所描述的意义与Fourier谱分析完全不同[15]：在Fourier谱中，在某一频率上存在着能量意味着具有该频率的正弦或余弦波存在于信号的整个持续时间内；而在Hilbert边际谱中，在某一频率上存在能量意味着具有该频率的波在信号的整个持续时间内某一时刻出现的可能性较高。因此从一定程度上说，Hilbert边际谱表示的是在统计意义下在整个数据范围内的振幅的累加。Hilbert谱可以看作是一种、非规范化的联合振幅一频率一时间分布，而分配到每个时频单元内的权重即为局部振幅。因而在Hilbert边缘谱中某一频率上存在的能量表明了该频率的振动存在的可能性，该振动出现的具体时刻由Hilbert谱给出。另外，作为Hilbert边际谱的附加结果，可以定义Hilbert瞬时能量如下：IE(t) H2(ω, ω瞬时能量是t的函数，提供了信号能量随时间的变换情况。事实上，如果振幅的平方对时间积分，可以得到Hilbert能量谱：TES(ω) H2(ω, 0Hilbert能量谱提供了每个频率的能量计算式表达了每个频率在整个时间长度内所累积的能量。3章分频Hilbert-Huang分频Hilbert-Huang变换的提出HHT变换目前存在的问题Hilbert-Huang变换是一种两步信号分析方法[34]。首先，复杂的信号被分解为有限数目的固有模态函数（IMF），然后再利用Hilbert变换方法求解出每一个IMF的瞬时频率，从而得到原始信号的Hilbert谱。其中最关键的技术是利用信号的局部时间尺度获取IMF的经验模态分解方法（EMD）。但由于EMD分解本身缺乏理论上的验证，因此还存在许多问题[15]：Fourier谱分析及小波分析相比，HHT方法是一种经验性的方法，它缺乏完备的理论基础。比如，到目前为止，EMD方法分解所得到IMF分量正交性尚未得到理论上的证明；EMD的筛分过程能够按照特征时间尺度对信号进行有效的分解，一般情况下，随IMF阶次的增大，相应的分解分量IMF的特征时间尺度也将变大，从而得到时间尺度从小到大的多阶IMF序列，表现在频谱上为依次从高频向低频对信号进行滤波。然而，当信号的时间尺度存在着跳跃性变化时，直接地运行筛分过程将会产生模态混叠现象，直观地说，就是无法根据特征时间尺度有效地分离出不同的模态成分，使得同一固有模态函数IMF里，包含着多个模态，不能清晰地反映信号的内在性质。模态混叠现象缺乏物理基础，因为任何一个物理意义上的简谐振动所产生的波形在周期上不可能有显著的突变[34]。同时，由于模态的混叠，也影响了Hilbert-Huang变换在数据压缩、信号去噪等工程领域中的广泛应用，EMD方法中的边界问题是HHT方法中致关重要的一个问题，在EMD的实际分解中，由于所分析信号的有限长度，信号的两端点不能确定是否是极值，那么在进行三次样条插值的时候可能使得信号的上下包络在信号的两端点附近严重，因此产生了数据的拟合误差，而在分解过程中，每一次样条插值都有拟合误差，这样每次产生的拟合误差不断积累，分解出来的第一个固有模态函数端点处就会有较大的误差。正是由于第一个固有模态函数的误差，使得残余项也产生误差，从而导致分解的第二个固有模态函数也产生误差，依次进行下去，误差就会由端点处向内逐渐使得分解的数据失去意义，特别是原始数据集比较短时，会严重影响EMD分解的质量，使得分解出来的IF分量没有实际的物理意义。下面我们就用一个具体的实例来说明以上三个问题。模拟一个理想信 分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用采样时间间隔为∆t=0.001s(图3.1)，对该信号进行EMD分解（图3.2），我们可以看到：00

0≤t<100sin0≤t<100sin(t/2)+9≤t≤13<t<100sin(t/2)+19≤t≤23<t<100sin(t/2)+29≤t≤33<t<100sin(t/2)+39≤t≤43<t<100sin(t/2)+49≤t≤53<t<s(t)首先，分解得到的第一个 从某种程度上表明原信号在特定时间出现了0

0

05

0 20 3.2:s(tEMD分解得到的IMF分量（C1C4）及余项定频率，但缺点也很明显，即模态混叠问题。一个IMF中包含着多种不同特征时间尺度的信号。更重要的是，这些不同特征时间尺度的模态信号在边界处都是大幅度的变化，没能精确刻画出特定频率出现的时间点，不符合原信号的真实情况，这是由于EMD分解的边界效应造成的。其次，分解得到的IMF只有C1C3具有实际的物理意义，C1表明原信号在特定时间出现了特定频率；C3表明原信号的总体趋势是某个频率。但其余两个IMF分量以及余量都缺乏实际的物理含义。最后，再看各IMF之间的正交性，Huang在文献[34]中并没有给出IMF相互正交的理论证明，仅仅从工程的计算上验证了EMD分解在某种程度上具有正交性。按下列方法定义一个指标。首先对s(t)求平方，可得： s2(t)=区C2(t)+2区 i j=1如果分解是正交的，那么上式右边的交叉项应该等于0，因此一个正交性的全局指标定义如下：分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用 区区区IO t=0j=1Huang对一些实验数据进行计算，得到IO=0.0067，认为从某种程度上说各IMF是正交的。但实际上对于一些复杂的数据，如上述模拟信号，该指标计算出来就比较大，因此正交性仍然是不成立的，根本原因就在于自适应分解产生的模态混叠。如果能够解决IMF的模态混叠问题，使得各分量中只包含一种时间特征尺度的模态成分IMF的正交性就能得到证明。小波滤波器的作用20 0 0 0 0 0 0 3.3:s(t)coif小波分解（6层多分辨分析是小波变换的精髓[38]，小波变换的多分辨实现是通过对母小波（小波基）进行伸缩和平移，然后与信号作内积，从而获得信号不同尺度下的小波分解分量。小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化特征，因此被广泛应用于分解复杂的非平稳信号。用coif小波对上述模拟信号s(t)进行小波分析（图3.3），可以看到小波分析的优点是很明显的：小波分解可以非常清晰的将信号频率突变的时刻找出来，与EMD比较，由于没有边界效应的缺陷，小波确定频率突变的时刻更加精确；EMD分解得到的IMF分量是不正交的，但小波的多分辨分析却可以保证小波分解得到的各个分量都是正交的。尽管小波有上述优点，但因为与Fourier变换一样都是一种先验的信号处理技术，它也有其无法避免的缺陷：小波变换的局部化能力是借助于小波基在时域和频域上的局部化性质，因此，不同的小波基会产生不同的分析效果。因此小波分解得到的各个分量缺乏明确的物理意义。新想法的提出由于小波变换可以非常清晰的将信号突变时刻找出来，且分解得到的各分量之间都是正交的，可以利用小波的优点对经验模态分解（EMD）方法进行改进。希望先通过小波变换将信号频率突变的时刻找到，再分别对每个时刻段的信号进行经验模态分解，得到分段固有模态函数,最后利用Hilbert变换，求解每一阶分段固有模态函数的瞬时频率，最终得到信号的时频表示。取两者之长，补两者之短，从而形成一种新的方法频经验模态分解方法。分频Hilbert-Huang变换的实现IMF面，我们给出了固有模态函数（IMF）的定义，通过把信号分解不同尺度的固有模态函数，从而能够获得原始信号的Hilbert谱。在这里，我们重复一下一个固有模态函数必须满足的两个条件在整个信号长度上，极值点的数目和过零点的数目必须相等或者至多只在任意时刻，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络线的平均值为零。也就是说在对称于时间轴。满足这两个条件的信号被称为固有模态函数（IMF）。为了引入分频Hilbert-Huang变换，必须对IMF的定义进行修正，从而获得分段IMF的定义[14]。分段IMF为满足下面两个条件的函数：整个信号由一段或者多段满足某一特征尺度的部分信号组成。对每一段，极值点的数目和过零点的数目必须相等或者至多只相差一点；分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用50–

50–3.4:IMF与分段

在任意时刻，对每一段，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络线的平均值为零。比较IMF和分段IMF的两个条件，很显然，对于分段IMF，每一段满足的两个条件，是一个IMF。因此分段IMF可由多个IMF构成，典型的分段IMF（3.4）所示。这是由于信号有可能在某一时间区域内，不包含某特征尺度的信号成分，引入分段的概念是希望使得每一个分IMF按某一特定的尺度组成而达到对信号进行尺度滤波的效果。分频经验模态分解分频Hilbert-Huang变换的关键步骤是根据信号的不同频率成分把信号分解为有限数目的分段IMF，这种分解过程被称为分频经验模态分解。仍然考虑前面提到的模拟信号s(t)，给出对其进行分频经验模态分解的详细处理过程：第一步，任意选择一种小波滤波器(coif4)，对原始信号进行滤波（3.5），50 3.5:s(t)coif4小波滤0

0

0

0

0 3.6:s(t)的分频信号分量（s1

分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用小波滤波的结果可以看出，信号发生频率突变的时刻被清晰地找了出来。处理时要注意两个细节：尽管小波能明显地找到频率发生突变的时刻，但还需要制定一个很小的阈值来进行鉴别，如小于10的信号值都置为0，这样才能清晰的确定不同频率范围的时间分界点；进行小波滤波的时候，由于边界效应分解会自行在边界处给信号加上多余的信号值而使得滤波完成，这就会造成经过小波滤波的信号长度有所增加，相对应的，我们得到的不为零的时间段的信号长度也会有所增加，因此我们要将多余的信号减去。这样得到的时间段就是正确的时间段了。假设找到了n个不同频率的时间段，将其置为[1112[2122···[tn1,每一时间段即代表这一频率出现的起止时间。第二步，把原信号根据第一步中得到的时间段分为不同的分量，每一个分量只在某固定频率的时间段内有值，其余都为0（3.6）。第三步，对上一步骤中得到的分频信号分量进行EMD任一分量经分解后会得到多个IMF，我们只取最高频的IMF，这样，则得到多个分段IMF，记FC1FC2···FCnIMF,rn（3.7）。20 50 50

50

0

0 图3.7:对s(t)进行分频EMD得到的分段IMF（FC1−FC5）及余量上述三个步骤即分频经验模态分解的实现过程。从得到的结果可以看到，EMD结合了小波和EMD的长处，克服了两者的不足。经过分频EMD分解得到的分段IMF有着明确的物理意义，它将不同频率成分的信号从主频率信号中分选出来，一方面精确确定了这些频率段起止的时间，消除了EMD的边界效应，没有丢失信号的能量；两一方面，由于这些分段IMF只按某一特定的尺度组成，不会存在模态混叠的现象，各分量之间的正交性也能得到有效的解决，在下一节中将会给出正交性证明的详细论述。我们希望分频EMD能够将同一频率的信号成分在同一个分段IMF中表示出来，某些频率的信号并不是在续的时间段内出现的，它们很可能是间隔出现的。例如，频率为ω的信号成分在[1112[2122···中都有出现，那么分频0<t<100sin(t)+0<t<100sin(t)+1≤t≤2<t<100sin(t)+4≤t≤6<t<100sin(t)+8≤t≤11<t<100sin(t)+13≤t≤17<t<100sin(t)+19≤t≤24<t<100sin(t)+26≤t≤32<t<100sin(t)+34≤t≤41<t<100sin(t)+43≤t≤51<t<f(t)在这个信号中，相同频率的信号分别在不同的时间段内出现，且幅值（能量）大小不同，持续时间也不同。为了将这些同一频率成分的信号分解在一个分段IMFEMD必须引入另外一个指标来判断两个时间段的频率是否一致，即第二章中已经提过的特征时间尺度（相邻极值点之间的时间段。对上述信号f(t)进行完第一步小波滤波后，可以根据找到的频率突变时间点将原信号分为8个信号分量，每个信号分量只在某特定频率出现的时间内有值。分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用0 3.8:模拟理想信号f(t)∆t=这时，分别计算每个信号分量的特征时间尺度。由于一个信号分量有多个极值点，我们取相邻极值点之间时间间隔最长的时间段为该信号分量的特征时间尺度。分别记为T1T2···Tn。在上述信号中：T1f(t)在时间段(1≤t≤2)的特征时间尺度；T2f(t)在时间段(4≤t≤6)的特征时间尺度；T3f(t)在时间段(8≤t≤11)的特征时间尺度；T4f(t)在时间段(13≤t≤17)的特征时间尺度；T5f(t)在时间段(19≤t≤24)的特征时间尺度；T6f(t)在时间段(26≤t32)的特征时间尺度；T7f(t)在时间段(34≤t41)的特征时间尺度；T8f(t)在时间段(43≤t≤51)的特征时间尺度。判断两个信号分量频率相同的标准是：如果某些TjTk之间的差距在允许的范围之内：|Tj−Tk|≤δ，就认为这两个时间段的信号是同一频段的信号。f(t)中，T1T5，T2T6，T3T7，T4T8之间的差距非常小，因此就可以认为这些时间段的信号都是同一频段。通过这样的处理之后，继续进行第二步，将同一频段的信号成分按时间段进行分割组合，每一个分量只在某固定频率的时间段内有值，其余都为0（图3.9）。0 0 0 0

3.9:f(t)的分频信号分量（f10 0 0 0 0

3.10f(t进行分频EMD得到的分段IMF（FC1FC4）及余量分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用最后进行第三步，可以看到分频EMD分解得到的结果（3.10）。它将相同频率的信号成分在同一个分段IMF中表示出来，尽管这些频率的信号并不是在一个连续的时间段内出现的，但分频EMD仍然区分出了频率段的正确起始时间。更为重要的是，每种频率信号出现的时间长短，能量的大小（幅值）都得到了精确的刻画。这样一来，每个分段IMF的实际物理意义得到了充分的肯定。EMD的完全性和正交性EMD实现了信号的层层分解，从而获得了有限数目的分段IMF和余量。这样，原始信号可表示为：s(t)

FCi(t)+ 观察上式，可以认为分频EMD的完全性是保证的IMF的正交性在实际操作上能很好的得到满足。根据分频EMD方法的步骤，最后得到的分段IMF分量都只由某一特定的尺度组成，彼此之间不会出现模态混叠现象，因此从直观上理解各个分段IMF分量之间肯定是正交的。从理论上来验证，前面我们已经提到，可以通过指标： IO=区(区区 t=0j=1来对分解得到的IMF各分量的正交性进行验证对上面的实验数据进行计算，可IO0.0023，因此可以认为是正交的[34]在第二章中我们已经介绍了Hilbert变换与Hilbert谱的一些相关预备知识，将分频EMDHilbert变换结合起来，就构成了分频Hilbert-Huang变换，相关的结论也可以依次类推，这里就不再重复叙述。4章分频Hilbert-Huang对信号的分 信号通常，动时程的持续时间是非常短的，从这个意义上来讲。我们可以认为该确定的动时程，是某一随机过程的一个样本，是非平稳的。在随机过程或随机振动的理论框架之下。某一随机过程X(t)的平稳或非平稳的定义是建立在该随机过程所有的实现或样本所组成的集系的基础之上的。如果随机过程X(t)满足：EX2<E(X(t))=C(X(t1),X(t2))=C(X(t1+τ),X(t2+τ))=C(t1)− 0 图4.1:原始信号则随机过程X(t)称为宽(或弱、广义)平稳过程;其中，E(.)为随量在整个集系上的期望值，而C(.)为协方差函数。如果对于所有时刻tτ:随机向分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用X1X(t2)X(tn)]Xτ)X(t2τ)X(tnτ)]的联合分布相同，则随机过程X(t)称为严(或强、狭义)平稳过程。如果从上述随机过程的观点分析，某一动时程只是一次实现或一个样本，而且我们几乎无法确知与其满足同一集系条件的其他样本，因此，在实际情况下，我们并不是根据上述数学定义来判断动时程是平稳的还是非平稳的。.Cohen给出了信号或者时程平稳或非平稳的一种非常广泛的定义，即如果在某种意义上一个信号不变化，那么它就是平稳的，否则它就是非平稳的。图4.1）给出了一个样本的信号图，从图上我们可以分析一个确定性的动时程的非平稳特性。几乎对于所有动时程来讲：其强度或幅值经历了一个从小到大，然后又从大到小的过程，这即为动时程的幅值非平稳特性；由于最初引起地面运动的波为P波，其颇率很高，而后来随着S波与面波的相继到达，导致了引起地面运动的波的频率下降，这就使得动时程的频率大致经历了一个由高到低的过程，而且在这一过程中，其频率的变化是非常复杂的，这即为动时程的频率非平稳特性。本文所讨论的动时程的非平稳特性，均是指某一确定性时程按照上述分析所得到的非平稳特性。分频EMD对信号的时频分4.2.1信号的时频特在用分频EMD对信号进行分析之前，我们先看一下用其他时频分析方法得到的信号的时频特征。首先是信号的Fourier频谱，将FFT作用于信号，可以得到（图4.2）所示的FFT频谱图。从图中我们可以看到信号能量在各个频率成分中的分布情况，其中低频部分有一些能量分布，但大部分的能量都集中在250Hz附近，至于高频部分，就几乎没有能量分布了。Fourier变换中最大的优点在于它的频率的概念是基本的频率概念，它是正弦和余弦函数周期的倒数，所以用Fourier变换分析平稳系统所得到的结果有很明确的物理意义，但同时我们也注意到，在FFT频谱图中，仅仅只能看到信号在整个时间段内的频谱分布，它无法标定频谱发生变化的时间点以及发生变化的剧烈程度，如果信号只在某一时刻的一个小邻域中发生了变化FFT是无法显示这种局部化信息的，且这时整个信号的频谱图都会受到影响，也就是FFT不适合非平稳信号的分析。它仅仅只能对信号给出一个整体的定性分析，无法细节化。我们再对原始信号进行小波变换，图(4.3)是原始信号经过Coif4小波变换后x6543210 frequency图4.2:原始信号的FFT谱的分解结果，在这里进行了6层小波分解。经过小波分解后，原信号被分解为图6个细节分量和1个近似分量的时间幅值图，如果以相邻两显著波峰间的距离作为时间尺度，那么从图中的分量中可以看出：1D1是原始信号中分解出的频率最高、波长最短的波动，这代表信号中的噪声或高频成分，表明这部分的能量占了总能量的一部分；再依次往下分解出各细节分量，可以看出这种变化趋势：随着分解的进行，所得分量频率逐渐变低、波长越来越长，各分量包含了不同的时间特征尺度，可以用不同的分辨率显示信号特征，但这种分辨率不是自适应的，因为是在已经预先定好小波基的基础上再对信号进行分解，如果开始选择的不是coif4小波，那么分解的时间特征尺度也将不一样，因此小波分解无法根据信号本身的某些信息进行分解；小波分解可以无限次的做多层分解，本文中我们只采取了6层小波分解，但在实际应用中我们还可以取10，20层分解，随着分解层数的增加，原始信号可以分解成的细节分量。(4.4给出了连续小波变换的能量谱图，在图中横坐标是平移（时间）系数b，纵坐标是尺度系数a，该能量谱图将信息完全表示成时间和尺度的二维函数，在联合的时间－尺度域上表示信号。读者可以清晰地看出信号在任何时刻、任何尺分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用0 0 0 0 0 0 0 图4.3:原始信号经小波分解后得到的细节小波(D1-D6)及近似小波ContinuousTransform,absolute 61 time(orspace)图4.4:连续小波变换的能量谱图res.imf12imf11imf10res.imf12imf11imf10imf9imf8imf7imf6imf5imf4imf3imf2imf14.5:EMD分解得到的IMF(C1度（对应了相应的频率段）的能量分布，谱图上颜色的深浅表明能量的大小。从尺度系数a的分布来看，能量的泄漏比较严重：a从小到大变化的过程中都有能量显示。这是由于连续小波分解引入的高频分量有关，因为小波分解是后验的，即先选择小波基，再对信号进行分解，因此无法很好的表号特有的一些信息，再加上连续小波变换a从小取到大，引入了大量的高频分量，因此引起了能量泄漏。4.2.2分频EMD对信号的时频分为了说明分频EMD的优越性，我们先用原有的EMD方法对信号进行分解，再用改进后的分频EMD对信号进行时频分析。图（4.5）和图（4.6）分别给出了信号经EMD和分频EMD分解后得到分量的时间-幅值图，从两图的比较中可以看出：随着分解的进行，所得分量频率逐渐变低、波长越来越长，各分量包含了不同的时间特征尺度。与EMD分解不同的是，分频EMD分解得到的分段IMF彼此之间的时间特征尺度不再存在模态混叠的问题，并且还继承了小波多分辨分析的优点，可以以稳定增长的分辨率显示信号特征。与小波分解相比，分频EMD是自适应的，即不用预先定好某种基，它的分段IMF完全是根据信号本身的特性来决定的。比较图(4.3(4.5)各分量之间分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用0 0 0 0 0 0 0

00000 0

0 0

0 0

0

0

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4.6:EMD分解得到的分段IMF（FC1的区别，可以看到小波分解与FEMD分解中的时间特征尺度都是改变的，但小波分解的时间间隔距离更细致，而分频EMD分解的时间间隔更粗糙。另外，在同一频段（相同时间特征尺度）内的同一时刻，小波分解的结果有信号，但分 4.7:上图：经EMD得到的Hilbert谱；下图：经分频EMD得到的Hilbert分解就没有信号，这是因为分频EMD不用事先选定某种基，完全是从信号本身出发进行分解，因此不会存在能量泄漏。分频EMD能更好的反应信号的自身特点，这是小波分解所无法做到的。分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用 0 Time4.8:经分频EMD得到的Hilbert能量EMD一致，分EMD有着有限的步骤，就算是再复杂的信号数据，它也可以将其分解成个数有限的分段IMF分量，而这些分段IMF分量都很好的反映了原始数据的在某个时间特征尺度的特点。相比之下，小波分解可以无限次的做多层分解，这种较多的分解次数有时是完全没有必要的，因为分量多并不能说明就更好的体现了原始数据的特点，有时反而还造成了能量的泄漏，形成了多余的分量。把原始信号分解成分IMF后,我们就可以对每个分IMFHilbert变换，以计算其瞬时振幅和瞬时频率。在第二章的预备知识中，我们曾介绍了HHT方法中瞬时振幅和瞬时频率的概念，如果把瞬时振幅显示在频率－时间平面上，这样就得Hilbert谱。(4.7分别给出了信号EMD及分频EMD后的Hilbert谱图，将两者进行比较，可以看到：EMD分解得到的Hilbert谱图比较散、乱，某一特定时刻出现的瞬时频率及瞬时振幅都缺乏一定的规律性。相比较而言，分频EMD分解得到的Hilbert谱图就能更清晰的反映信号的时间－频率幅值变化(4.8)给出了信号经过分频EMD后得到的Hilbert能量谱，在第二章的预备知识中已提到过，把振幅的平方对时间积分就得到Hilbert能量谱，它提供了每个频率的能量计算式，表达了每个频率在整个时间长度内所累积的能量。与小波分解的能量谱图(4.4)进行比较，可以看到：分频Hilbert能量谱与小波能量谱一样，前者将能量反映到了时间－频率图上，后者将能量反映到平移－尺度图上，两者的本质是一样的，但前者看上去更加直观，通过分频Hilbert能量谱可以很清楚的知道在任何时刻，任何频率的能量；小波能量谱有着明显的能量的问题，随着尺度a的变化，能量一直存在；但在分频Hilbert能量谱上，我们可以发现,并不是所有的频率段都有能量分布，能量是分散在时间－频率图上的，因此Hilbert能量谱能更真实的反映信号的客观物理意义。分频Hilbert-Huang变换对非平稳信号的分析应用结本文对Hilbr-Hang变换做了一些创新，通过在经验模态分解方法的基础上引入小波滤波技术，建立分频经验模态分解方法，得到改进后的分频Hilbrt-Huang变换方法，并对信号进行时频分析。关于将EMD分解进行优化处理，近几年来有不少学者提出一些方法。本文应用小波滤波和经验模态分解同时对信号进行处理，实现信号的不同频率分段，从而得到分段固有模态函数。经过实例的验证，说明该方法在分析非线性非平稳信号时除了表现出良好的适应性，并且能很好的反映信号本身的物理过程。作为一种信号分析方法，分频Hilbert-Huang变换还有许多地方有待改进。首先，使用小波滤波来确定频率突变的奇异点的方法不确定。对于不同的物理信号，小波滤波完成后确定频率突变的奇异点，必须制定不同的阈值来对结果进行筛分。有的物理信号用e1作为阈值就可以很好的确定时间分解点，但有的信号则需要制定更小的阈值来进行鉴别。不同物理工程背景的信号，其筛选的阈值标准也不相同。因此，还需要找到一种更为有效和统一的方式来确定频率突变的时刻。第二，用特征时间尺度来确定两个时间段的频率是否相等的方法还有待改进。分频EMD在确定两个时间段的频率是否相等时，选择用特征时间尺度这样一个指标来进行判断。事实上，判断频率相等的方法还有很多：快速orier变换，小波变换都可以用来分析频率成分。选择特征时间尺度的原因仅仅只是从直观上理解信号的频率为单位时间内振动的次数，还缺乏理论上的证明。因此这种方法也有待改进。第三，求解包络线的样条拟和法需要进一步改进，分频EMDEMD一样，仍然是以三次样条拟合的方法获得对理论上精确包络线的合理近。虽然这种方法在大多数情况效果很好，但问题仍旧存在。最后，分析信号有一定的局限性。分频EMD对于稀疏的、在某段时间出现某特定频率的信号处理效果好。它能将不同频率成分的信号从主频率信号中分选出来，一方面精确确定了这些频率段起止的时间，两一方面也消除了模态混叠的现象。但EMD处理频率和幅值变化复杂的信号时计算量大，且处理得到的结果也不理想。本文仅仅是对信号进行了分析，对现实中的许多实际物理工程信号的分析还有待进一步研究。参考文献ChuiCK.Approximationtheoryand ysis.Boston,Academicpress,ChampencyDC.AhandbookofFouriertheorems.Cambridgeuniversitypress,科恩L.时频分析：理论与应用.译.西安：西安交通大学,CEHALL,YounOH.ShorttimeFouriertransformusingabankoflow-passfilter.IEEE,TransAcoust,Speech,SigProc,1985,33(2):182-185BertrandJ,BertrandP.Affinetime-frequencydistributions,Time-frequencysignalysis-methodsandapplication.EdB.Boashash,Longman-chesire,MelbourneAustralia,1991初,.信号的广义时频表示.电子学报,Oct1993,21(10):92-CohenL.Time-frequencydistributions:areview.IEEE.ProcJuly1989,77(7):941-RioulO,VetterliM.Waveletandsignalprocessing.IEEE.SPMagazine,Oct1991