量子力学练习题

子学-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

121nzz2nnmnmnnx=E121nzz2nnmnmnnx=E0一.填题1．量子力学的最早创始人是，他的主要贡献是于1900年提出了假设，解决了

的问题。2．按照德布罗意公式，质量1

,

2

的两粒子，若德布罗意波长同为

，则它们的动量比p:p=1:1能量比E：E=

。3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量3E=kT为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最2高温度T=

。4．阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小

；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为，质量仍为则第n个能级的能量E=

，相应的波函数

n

2nsinaa

a。5．处于态

311

的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的分量的值分别为E=

13.63

；L=

；L=，轨道磁矩M=

。6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态(q，当它们是玻色子时波函数为

q,q12

；玻色体系为费米子时

A

(q1

；费米体系7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是E=0HHE0E，2nnmnn其中微扰矩阵元

H

=

0Hn而H

'nn

表示的物理意义是。该方法的适用条件是

本征值，。2

228．在S

2

和S共同表象中，泡利矩阵的表示式

，

。9．玻磁子M电子质电荷e、光速c普朗克常数h的联系是BM=；数值为M=。BB11．普朗克常数h的数值为单位是。12．德布罗意关系式为E=

和p

。13．被V伏电位差加速后，自由电子德布罗意波长的计算公式为

，当伏。14．薛定谔（Schr?dinger）方程为，定态薛定谔方程为，定态波函数为。15．几率流密度矢J

，几率守恒定律的公式是。16．量子力学中表示力学量的算符是，它们的本征函数组成。17．若两个力学的对易关系式为[A，则测不准关系的严格表示为。18．波恩对波函数的统计解释（量子力学的基本原理之一）是：。19．波函数的标准条件是：。20．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子能量相等，问要实现这个条件，光子的波长最大是。21、单粒子Schrodinger方程是。22、量子力学中的波函数的正统诠释是。23、设一电子为电势差V所加速，最后打在靶子上。若电子的动能完全转化为一个光子，加速电子所需的电势差的表达式为这光子相应的光波波长为的可见光时，加速电势差V=25、量子力学中的本征值问题是。

伏特。29、的量子假说揭示了微观粒子能量的

特的光量子假说揭示了光的性，Bohr的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的之间的矛盾，解决了的起源问题。30、力学量算符必须是算符，以保证它的本征值为。对一个量子体系进行某一力学量的测量值肯定是该力学量的当中的某一个，测量3

（1;（2BA（32A（1;（2BA（32A结果一般来说是不确定的，除非体系处于该力学量的某一。测量结果的不确定性来源于。两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符

32、在量子力学中，体系的量子态用Hilbert间中的来描述，而力学量用描述。力学量算符必为算符，以保证其为实数。当对体系进行某一力学量的测验时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于。33、在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的对易，而与体系的无关。一个力学量是否具有确定值，只决定与体系的，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的，无论该力学量是否是守恒量。35、定态波函数是。36、力学量的平均值公式是，，。37、含时Schrodinger方程；。单粒子定态Schrodinger方程。38．对全同性原理回答下列问题。①全同性原理的表述是：。②全同性原理对全同粒子体系波函数要求是：。③全同性原理与泡利原理的关系。39、计算粒子的德布罗意波的波长用公式()算.能量为电子伏，质量为1克的质子；德布罗意波的波长

。3温度T=1K时，具有动KT为玻尔兹曼常数）的氦原子德布罗意2波的波长

。40、自由粒子平面波函数ψ(x)=ce

ikx

的动量不确定度Δp=，坐标不确定度Δx=。41、波函数ψ(x)=coskx是否自由粒子的能量本征态答：。如果是，能量本征值是。该波函数是否动量本征态答：，因为。42、,两个互为不对易的厄米算符。在下列算符A

（4）中，算符和的本征值必为实数。44、设一个二能级体系的两个能量本征值分别为和E，相应的本征矢量12为｜n>和｜n>。则在能量表象中，体系Hamilton量的矩阵表示112是，体系的可能状态是，在各可能状态下，能量的可能测值是，相应的几率是。4

ˆˆˆˆ45、按照德布罗意公式；质量1

两粒子，若德布罗意波长同2为λ，则它们的动量比p:p=；能量比E：E=；若粒子速1212度为V=0.9c,照相对论公式计算，其德布罗波

'

=。46、阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小）倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a，质量仍第n个能级的能量E函数(=。n

n

=；相应的波47、两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态q)当它们是玻色子时波函数为(qq，为费色子(q)。148、微观粒子的能量E和动量P与相联系的波的频率和波长的关系是

。49、与自由粒子相联系的波是，并写出表达＝。50、如果算F

表示力学量F，那么当体系处F

的本征态时，力学量有，这个值就在本征态中的

。答1．量子力学的最早创始人是普朗克，他的主要贡献是于1900年提出了能量量子化假设，解决了黑体辐射的问题。2．按照德布罗意公p，质量1

,

2

的两粒子，若德布罗意波长同它们的动量比:p=1:1。123．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量3E=k为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最2高温度T=max

13

K4．阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小）缩小1倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为，质量仍第n个能级的能量E=n

2

2

/

2

n1,2,3相应的波函数

n

na

n

0

5

B，E=HHEnnmnmnnx=E0ˆB，E=HHEnnmnmnnx=E0ˆx0yz5．处于态

311

的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的分量的值分别为E=

3

eV；L=2=轨道磁矩M=。zz6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态(q)当它们是玻色子时波函k数为(q,q

k11221k21

玻色体系为费米子时

A

(q)2

12

k1k2k2k2

费米体系7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是22nnmnn其中微扰矩阵元

=

0

而H'表示的物理意义是在未受微扰体系中H该方法的适用条件是定态

的平均值。非简并，H

很小。8．在S

2

和S共同表象中，泡利矩阵的表示式为2

x

y

。

i

9．玻磁子M电子质电荷e、光速c普朗克常数h的联系是BM=；数值为M=。BBM

e2

9.2711.（9）×10-3412.

pkn。

焦耳秒13.

12.25

A

1A6

Etm２mˆˆnnnEtm２mˆˆnnn14.

(rt

2

(rir)e。15

i2

，

016线性厄密算符，

完全系17)22

k218波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。19有限性、连续性、单值性。20。21、单粒子Schrodinger方i

rtr

22、量子力学中的波函数的正统诠释

表示时刻tr发现离子的概率密度。23、设一电子为电势差V所加速，最后打在靶子上。若电子的动能完全转化为一个光子，加速电子所需的电势差的表达式为

hvch这光子相应的光波波e长为的可见光时，加速电势差V2.475伏

36.651.6

1A24、用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗波长，若电子的能量3E=kT(k为玻尔兹曼常数)，要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高2温

１Ｔ＝（）３

k25、量子力学中的本征值问题是(力学量用算符表示。本征值方程F；u、λ别的本证态矢和本征值，利用边界条件求解、nnnλ，n7

-27o-27o29、的量子假说揭示了微观粒子能量的

量子化

特性

Einstein的光量子假说揭示了光的粒子性，Bohr的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的稳定性之间的矛盾，解决了原子线光谱的起源问题。30、力学量算符必须是厄米算符，以保证它的本征值为实数。对一个量子体系进行某一力学量的测量值肯定是该力学量的本征值当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于该力学量的某一本征态。测量结果的不确定性来源于态的叠加。两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符对易

32、矢量，算符，厄米，本征值，态的叠加33、力学量，Hamilton量，状态，本征态35、定态波函数是当哈密顿量不含时间，薛定谔方程仅为定态薛定谔方程，则它的解为定态波函数，其特点是概率分布不随时间而改变。36、力学量的平均值公式是

Q*

,

i

rQ，nCu。nnnn37、含时Schrodinger方程；i

rr

单粒子定态Schrodinger方程

2m

2

r)

E

。38．对全同性原理回答下列问题。①全同性原理的表述是：全同粒子体系中任意交换两粒子，体系的状态不变，②全同性原理对全同粒子体系波函数要求是：波函数只能是对称或反对称波函数，而粒子体系只能是玻色子或费米子体系。③全同性原理与泡利原理的关系泡利原理是全同性原理在费米子体系的具体体现，是全同性原理和波函数统计解释的必然结果。39、计算粒子的德布罗意波的波长用公

112V

V

A计算能量为电子伏，质量为1克的质子；德布罗意波的波长

=

-13

1.17

A8

oh2k2ˆˆˆˆ()（玻色子）；(qoh2k2ˆˆˆˆ()（玻色子）；(q)()()3温度T=1K时，具有动KT为玻尔兹曼常数）的氦原子德布罗意2波的波长

=

22.07

12.640、，∞41．是,否coskx=2ikxikxee

12

(

ikx

e

ikx

)

可见42.

,AB

43.12

{

ikr

e

ikr

[f)f()]e

ikr

/r},()|f()f(

245、（1

p

h

；（2）、1：1；（3

；（4）

〈

；2

c0

246（1）缩小1倍；（2n

2

2

2

；（3）、当0〈xa时：2nxaa

当x〈0；x47、（1）

12

11（2）

12

(q(q)(q(q)（费米子）。kk148、微观粒子的能量E和动P

与相联系的波的频率和波长的关系是EPk49、与自由粒子相联系的波是

平面波，并写出表达

i

(

。9

ˆˆˆˆˆˆˆxzˆ1ˆˆˆˆˆˆˆxzˆ150、如果算F

表示力学量F，那么当体系处F

的本征态时，力学量有

确定值，这个值就在本征态中的二.证明题:1.证明基本的对易关系。

本征值。2．求证：,1

ix

x,分