中考数学试题三角形与全等三角形试题及答案

中考试题专题-三角形与全等三角形试题及答案一、选择题1．（今年江苏省）如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组2.（今年浙江省绍兴市）如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）A．B．C．D．3.(今年义乌)如图，在中，，EF//AB,,则的度数为A．B.C.D.【关键词】三角形内角度数【答案】D4.（今年济宁市）如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于A.100°B.120°C.130°D.150°AACB图25、（今年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（） A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点6、（今年海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠度数是（）°°°°7、（今黑龙江大兴安岭）如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是 （）A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米【8、（今年崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．7B．9C．12D．9或129、（今年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（）．A．三角形两边之和大于第三边B．三角形的外角和等于360°C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形ADCEB10、（09湖南怀化）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）ADCEBA．B．C．D．11、（今年清远）如图，，于交于，已知，则（）A．20°B．60°C．30°D．45°CCDBAEF1212、（今年广西钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【形13、(今年甘肃定西)如图4，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A．2 B．3 C． D．14、（今年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB15、（今肇庆）如图，中，，DE过点C，且，若，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°AABCDE16、（今年邵阳市）如图，将Rt△ABC(其中∠B＝34，∠C＝90）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）03434B1CBAC117、（今年湘西自治州）一个角是80°，它的余角是（）A．10° B．100° C．80° D．120°18、（今河池）CBFAE如图，在Rt△ABC中，，AB=AC＝CBFAE为AC的中点，点F在底边BC上，且，则△的面积是（）A．16B．18C．D．CCDBA19、（今柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个212CDBA20、（今年牡丹江）如图，中，于一定能确定212CDBA①②③④⑤A．1B．2C．3D．4【21、（今桂林百色）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90得，则点的坐标为（）．A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）22、（今年长沙）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm23、（今年湖南长沙）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm24、（今陕西省太原市）如图，，=30°，则的度数为（） A．20° B．30° C．35° D．40°CCAB25、（今陕西省太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（）A．4B．4.526、（今年牡丹江）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（）A．SASB．ASAC．AASD．SSS27、（今年新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于（）A． B． C． D．112328、(今年牡丹江市)尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（）A．SASB．ASAC．AASD．SSSOODPCAB【29、（今年包头）已知在中，，则的值为（）A． B． C． D．【30、（今年齐齐哈尔市）如图，为估计池塘岸边的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，=10米，间的距离不可能是（ ）A．20米 B．15米 C．10米 D．5米OOAB31、（今年台湾）图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知甲的路线为：ACB。乙的路线为：ADEFB，其中E为的中点。丙的路线为：AIJKB，其中J在上，且>。若符号「」表示「直线前进」，则根据图(三)、图(四)、图(五)的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为何？AABCABDABI50EF6070506070506070506070506070JK圖(三)圖(四)圖(五)(A)甲=乙=丙(B)甲<乙<丙(C)乙<丙<甲(D)丙<乙<甲。32、（今年娄底）如图1，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是()A．63° B．83° C．73° D．53°33、（今烟台市）如图，等边的边长为3，为上一点，且，为上一点，若，则的长为（）A． B． C． D．34、(今武汉)在直角梯形中，，为边上一点，，且．连接交对角线于，连接．下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中结论正确的是（）A．只有①② B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④DDCBEAH35、（今年台湾）若ABC中，B为钝角，且=8，=6，则下列何者可能为之长度？(A)5(B)8(C)11(D)14。36、（今年重庆）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（）…………第1个第2个第3个A． B． C． D．37、（今年重庆）如图，在等腰中，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤CCEBAFD【ABCD（第7题）38、（ABCD（第7题）仍无法判定的是（）A．B．C． D． 39、(今年温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．1cm，2cm，3．5cmB．4cm，5cm，9cmC．5cm，8cm，15cmD．6cm，8cm，9cm40、如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A． B．平分 C． D．垂直平分OOBAP二、填空题1、（今年遂宁）如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为cm.2、（今年遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个.3.（今年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．4.(今年四川省内江市)如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80O，则∠B=_____________。5、（今年厦门市）如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。6、（今恩施市）如图1，已知，，，则的度数为________．7、（今年吉林省）将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，为圆心，则=度．8、（今年包头）如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为cm（保留根号）．C(F)D图（2）C(F)D图（2）9、（今年长沙）如图，是的直径，是上一点，，则的度数为．答案：CBAOCBAO10、（今年甘肃白银）如图5，Rt△ACB中，∠ACB=90°，DE∥AB，若∠BCE=30°，则∠A=．11、（今河池）如图2，的顶点坐标分别为．若将绕点顺时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为．11234567891234567OABCyx图212、（今河池）某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为，面积为，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．13、（今白银市）．如图5，Rt△ACB中，∠ACB=90°，DE∥AB，若∠BCE=30°，则∠A=．（缺图）14、(今宁夏)如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为．AABCD15、（今年郴州市）如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，与的和总是保持不变，那么与的和是_______度．三角形【16、（今年常德市）已知中，BC=6cm，E、F分别是AB、AC的中点，那么EF长是cm．17、（今年广西梧州）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，延长CB到D，则∠ABD＝★度．AABCD18、（今年清远）如图，若，且，则=．AABCC1A1B119、（09湖南邵阳）如图（四），点是菱形的对角线上的任意一点，连结．请找出图中一对全等三角形为___________．AACEBD20、（09湖南怀化）如图，已知，，要使≌，可补充的条件是（写出一个即可）．ADFCＢＯＥ21、(今年咸宁市)如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于．下列四个结论：ADFCＢＯＥ；②以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切；③设则；④不能成为的中位线．其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）【22、(今年达州)如图5，△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为80°，则∠B＝____________. 23、(今年达州)长度为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是______________.【关键词】三角形三边关系,概率【答案】三、解答题1、（今年浙江省绍兴市）如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．（1）求的度数；（2）求证：．2、（今年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．（1）四边形OABC的形状是，当时，的值是；（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．（Q）BAOxP（图3）yQC（Q）BAOxP（图3）yQCBAOxP（图2）yCBAOyx（备用图）（第26题）【答案】综．3、（今年福州）如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD4、（今年宜宾）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD。求证：∠C=∠A.5、(今年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。求证：BD=CD；如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。【形．6、(今年南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．求证：．DDCBAEFG7、(今年湖州)如图：已知在中，，为边的中点，过点作，垂足分别为.求证：；（2）若，求证：四边形是正方形.DDCBEAF，为正方形．8、(今年湖州)若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为________；（2）如图，在锐角外侧作等边′连结′.求证：′过的费马点，且′=.AACB9、（今临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．AADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图310、（今年娄底）如图10，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.（1）求证：△ABE≌△ACE（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.11、（今丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.12、（今烟台市）如图，直角梯形ABCD中，，，且，过点D作，交的平分线于点E，连接BE．（1）求证：；（2）将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.．求证：CD垂直平分EG.（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．即．ADADGECB（213、（今恩施市）两个完全相同的矩形纸片、如图7放置，，求证：四边形为菱形．【答案】CDCDEMABFN14、(今年上海市)已知线段与相交于点，联结，为的中点，为的中点，联结（如图所示）．OODCABEF（1）添加条件∠A=∠D，，求证：AB=DC．（2）分别将“”记为①，“”记为②，“”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是命题，命题2是命题（选择“真”或“假”填入空格）．15、(今武汉)如图，已知点在线段上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：．CCEBFDA16、(今年陕西省)如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA＝AB．17、（今年泸州）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．(1)求证：≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．ABDEC18、(今年四川省内江市)ABDECAE得∠ADE=∠AED∴∠ADB=∠AEC∴△ABD≌△ACE∴BD=CEABDECF19、(今年四川省内江市)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB=AD，∠ABDECF求证：（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD∴CD⊥DF20、（今年重庆市江津区）如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.21、（今年北京市）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=，于点D,点E在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB=FC22、（今年吉林省）如图，，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．BBDCFA郜E23．（今年深圳市）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G。（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠ABE=50º，求∠EGC的大小。25、（今年长沙）如图，是平行四边形对角线上两点，，求证：．DCABEFDCABEF26、（今年莆田）已知：如图在中，过对角线的中点作直线分别交的延长线、的延长线于点（1）观察图形并找出一对全等三角形：____________________，请加以证明；EBEBMODNFCAEBMODNFCA（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？ 27、（今年莆田）（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母:（直接在图１中画图）①以已知线段（图1）为直径画半圆；②在半圆上取不同于点的一点，连接；③过点画交半圆于点（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）已知：（图2）．求作：的平分线．图2图2OBABA图1作射线ADCBE28、（今年漳州）如图，在等腰梯形中，为底的中点，连结、．求证：．ADCBE【．29、（今年哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．30、（今年牡丹江）已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AAECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F32、（今年甘肃白银）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）；（2）．ADOCB33、（今桂林百色）如图：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、ADOCB（1）图中共有对全等三角形；（2）写出你认为全等的一对三角形，并证明．34、（今白银市）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）；（2）．35、(今宁夏)ECBAD如图：在中，，是边上的中线，将沿边所在的直线折叠，使点落在点处，得四边形．ECBAD求证：．36、（今东营）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）DFBDFBACE图③FBADCEG图②FBADCEG图①．37、（眉山）在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。。⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积。38、（今年山西省）在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；AADBECFADBECF（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求的长．39、（今年黄石市）如图，在上，．求证：．AABCFED40、（今年郴州市）如图6，在下面的方格图中，将ABC先向右平移四个单位得到AB1C1，再将AB1C1绕点A1逆时针旋转得到AB2C2，请依次作出AB1C1和AB2C2。图6图6【答案】正确作出图形即可，图略．平移（4分）旋转（2分）41、（今年常德市）如图9，若和为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，是等边三角形．（1）当把绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）（2）当绕A点旋转到图11的位置时，是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，与的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）图9 图10图11图9 图10图11图842、（今年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；43、（今年广西梧州）如图（7），△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．（1）求证：AD＝CE；图图（7）（2）填空：四边形ADCE的形状是★．44、(今年甘肃定西)如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）；（2）．45、（今年清远）如图，已知正方形，点是上的一点，连结，以为一边，在的上方作正方形，连结．求证：EEBCGDFA图746、（今年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．AACBDPQ47、（今年舟山）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．AACBDPQ AACBDPQ48、（今河池）如图7，在△中，∠ACB=．（1）根据要求作图：①作的平分线交AB于D；②过D点作DE⊥BC，垂足为E．（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形：△≌△；△∽△．请选择其中一对加以证明．（2）△BDE≌△CDE；49、（09湖南怀化）如图9，P是∠BAC内的一点，，垂足分别为点．求证：（1）；（2）点P在∠BAC的角平分线上．【50、（09湖北宜昌）(1)求证：AE=BE；(2)若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．图251、（09湖北宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．(1)求证：AB=CD；(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 52、(今年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明． 图（2）M图（2）MBEACDFGNNMBECDFG图（1）54、（今年山东青岛市）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．ABC为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（ABC解：结论：结论．ADGCBFE第3题图55、（今年山东青岛市）已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点ADGCBFE第3题图（1）求证：；（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．，57、（今年湖北荆州）如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．EEDCBA【答案】58、（今湖北荆州年）把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。【【答案】59、（今年茂名市）如图，方格中有一个请你在方格内，画出满足条件的并判断与是否一定全等？BBAC60、(今年肇庆市)如图8，在中，，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．AECBD图8（1）求证：AECBD图8（2）求证：．61、（今年崇左）如图，在等腰梯形中，已知，，延长到，使．（1）证明：；DABECF（2）如果，求等腰梯形DABECF62、（今年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.63、（今年赤峰市）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。64、(今年云南省)（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．BBCADMN相似三角形（今哈尔滨）１．已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：。（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠ACP的值．（今珠海）２．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1) 求证：△ADF∽△DEC(2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD ∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=（今珠海）３。一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（桂林今）6．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（B）．A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1（今年兰州）19.如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米.答案6（今宁波市）26．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，23），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数；（2）当点F的坐标为（－4，0），求点的坐标；（3）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H．①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG≌△DHE；②△若EHG的面积为33，请你直接写出点F的坐标24.（今年金华） (本题12分) 如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，，2(长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动． 请解答下列问题： （1）过A，B两点的直线解析式是▲；（2）当t﹦4时，点P的坐标为▲；当t﹦▲，点P与点E重合； （3）①作点P关于直线EF的对称点P′.在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为 菱形，则t的值是多少？②当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP?若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）；………4分（2）（0,），；……4分（各2分）（3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）∵,,∠∠90°∴△≌△，∴﹒又∵,∠60°,∴而，∴,由得；………………1分当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段上时，过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）∵,∴,∴∴，又∵在Rt△中，即，解得．…………………1分②存在﹒理由如下：∵，∴,，将△绕点顺时针方向旋转90°，得到△（如图3）∵⊥，∴点在直线上， C点坐标为（，－1）过作∥，交于点Q,则△∽△由，可得Q的坐标为（－，）………1分根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件．……1分26．（今年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．解：(1)∵CQ＝t，OP=t，CO=8∴OQ=8－t∴S△OPQ＝（0＜t＜8）…3分(2)∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝＝32…………5分∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32…………6分（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°又∵BQ与AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP………………7分∴解得：t＝4经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，∴抛物线是，直线BP是：…8分设M（m,）、N(m，)∵M在BP上运动∴∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P∴当时，………………9分∴＝∴当时，MN有最大值是2∴设MN与BQ交于H点则、∴S△BHM＝＝∴S△BHM：S五边形QOPMH＝＝3:29∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．…10分（今年湖南郴州市）13.如图，已知平行四边形，是延长线上一点，连结交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使，这个条件是 ．（只要填一个）答案或或或F为DE的中点或F为BC的中点或或B为AE的中点(今湖北省荆门市)23．(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)求证：AC•CD＝PC•BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．答案23．解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴．∴AC•CD＝PC•BC；………………………3分(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝．从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝…………………7分(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC•CD．由(1)可知，CD＝PC．∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝．………………10分（今年眉山）25．如图，Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边于点E，CC的延长线交BB于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC=，∠CAC=，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．答案：25．（1）证明：∵Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC，AB=AB，∠CAB=∠CAB………………（1分）∴∠CAC=∠BAB∴∠ACC=∠ABB……（3分）又∠AEC=∠FEB∴△ACE∽△FBE……（4分）（2）解：当时，△ACE≌△FBE．…（5分）在△ACC中，∵AC=AC，∴………（6分）在Rt△ABC中，∠ACC+∠BCE=90°，即，∴∠BCE=．∵∠ABC=，∴∠ABC=∠BCE……（8分）∴CE=BE由（1）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．………（9分）12．(10重庆潼南县)△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为______．3：41、（今年杭州市）如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.(1)求证：△ABD∽△CAE；(2)如果AC=BD，AD=BD，设BD=a，求BC的长.答案：(1)∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴DBA=CAE,又∵,∴△ABD∽△CAE.(2)∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，(第22题)∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，∴D=90°,由（1）得E=D=90°,∵AE=BD,EC=AD=BD,AB=3BD，∴在Rt△BCE中，BC2=(AB+AE)2+EC2=(3BD+BD)2+(BD)2=BD2=12a2,∴BC=a.（今陕西省）13、如图在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是∠ACD=∠B∠ADC=∠AOB（今年天津市）（17）如图，等边三角形中，、分别为、边上的点，，与交于点，于点，则的值为．（今山西5．在Rt△ABC中，∠C＝90º，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）DA．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变（今宁夏16．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是②③．（只填序号）① 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；② 位似图形一定有位似中心；③ 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④ 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．（今宁夏22．(6分)已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．22．(1)证明：在正方形ABCD中：AB=AD=CD,且∠BAD=∠ADC=∵CE=DF∴AD-DF=CD-CE即：AF=DE在△ABF与△DAE中∴△ABF≌△DAE（SAS）----------------------------------------------------------------------------3分（2）与△ABM相似的三角形有：△FAM;△FBA;△EAD----------------------------------6分（今山西26．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1．（今四川宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥△BCD与△ABC的周长之比为（）A．1︰2B．1︰3C．1︰4D．1︰5答案：A（今年安徽）23.如图，已知△ABC∽△，相似比为（），且△ABC的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、。⑴若，求证：；⑵若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、进都是正整数，并加以说明；⑶若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由。（今河北省）24．（本小题满分10分）在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．（1）如图15-1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求的值．解：（1）AO=BD，AO⊥BD；（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO=∠BEO．又∵AO=OB，∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE．∴AC=BE．又∵∠1=45°，∴∠ACO=∠BEO=135°．∴∠DEB=45°．∵∠2=45°，∴BE=BD，∠EBD=90°．∴AC=BD．延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD=90°．∴AC⊥BD．（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO=∠ACO．又∵∠BOE=∠AOC，∴△BOE∽△AOC．∴．又∵OB=kAO，由（2）的方法易得BE=BD．∴．（今河南）4．如图，△ABC中，点DE分别是ABAC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个A1、（今山东烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是答案：D2、（今山东烟台）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是A、AB2=BC•BDB、AB2=AC•BDC、AB•AD=BD•BCD、AB•AD=AD•CD答案：A（今山东烟台）如图，△ABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点，连接AD，AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由。（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围。答案：（今•（今•珠海）19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(3) 求证：△ADF∽△DEC(4) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=(苏州今中考题28)．(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐▲．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．答案：5.（上海）下列命题中，是真命题的为（D）16.（上海）如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=__3________.25．（上海）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9图10(备用)图11(备用)（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°∵AD=AE∴∠AED＝60°=∠CEP∴∠EPC＝30°∴三角形BDP为等腰三角形∵△AEP与△BDP相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°∴AE=EP=1∴在RT△ECP中，EC=EP=（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x∵AE=1,EC=2∴QC=3-a∵∠ACB＝90°∴△ADQ与△ABC相似∴即，∴∵在RT△ADQ中∵∴解之得x=4，即BC=4过点C作CF//DP∴△ADE与△AFC相似，∴，即AF=AC，即DF=EC=2,∴BF=DF=2∵△BFC与△BDP相似∴，即：BC=CP=4∴tan∠BPD=(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a∴且∴∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：即：，解之得∵△ADQ与△ABC相似∴∴∴三角形ABC的周长即：，其中x>0（今•绵阳）10．如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．若AD=3，BC=9，则GO:BG=（A）．A．1:2B．1:3C．2:3D．11:20（今•绵阳）14．如图，AB∥CD，∠A=60，∠C=25，G、H分别为CF、CE的中点，则∠1=．答案：145（今•浙江湖州）15．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．答案：1．（今，安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则_______m．2．（今，安徽芜湖）如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°,AD∥BC,点E在BC上，点F在AC上，(1)求证：△ADF∽△CAF（2）当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积【答案】证明：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC∴∠DAF=∠ACE∵∠DFC=∠AEB∠DFC=∠DAF+∠ADF,∠AEB=∠A