塑性成形理论课后答案2修改

第一章1-10.1-10.TOC\o"1-5"\h\z[20...已知一点的应力状态'=5-15^00

...\…x10MPa,试求该应力空间中-10/尤一2y+2z=1的斜截面上的正应力bn和切应力Tn为多少？解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：TOC\o"1-5"\h\zl_A^_Bn_CV'A2+B2+C2v；A2+B2+C2<A2+B2+C2711-2222因此：1=,=_—,m_=_——；n—,=_V12+(-2)2+223\：12+(-2)2+223v12+(-2)2+223S=x1+tm+TS=zTxyTS=x1+tm+TS=zTxyTxzl+0m+TzyTyzm+CM1E2100n=200x——50x—=333m1235050x_+150x—=3332200n=—100x=3100135022002TOC\o"1-5"\h\zx——x——331000111=—1119S2=S2+S2+SS2=S2+S2+S2+[200[2I3J=12500'12500=13.41-11已知OXYZ[100…b=4050"[—2030坐标系中，物体某点的坐标为(4,3,-12),...\…，求出主应力，应力偏量及球量，八面体应力。—10/其应力量为：解：J1=bx+by+b=100+50-10=140J=bb+bb+bb—T2—T2—T2=100X50+50X(-10)+100X(-10)2yzxzxyyzxzxy-402-(-20)2-302=600bbb=bbb+2rtt123尤yzxyyz«—bT2—bT2bbb=bbb+2rtt123尤yzxyyz«—bT2—bT2—bT2=-192000xyzyxzzxyb3—140b2+600b—192000=0。1=122.2，。2=31.7，。3=49.5。m=140/3=46.7'53.3…A…(46.7……_fb=403.3…,b=046.7…ijim厂2030—56.7/、00046.7/o8=om=46.71匚■■-__.T8=±"(b1—b2)2+(b—b)2+(b—b)2=39.11-12设物体的应力场为bx=—6xy2+匕x3,by=—亏c2xy2,t=-cy3—cx2y,b.=T.=T=0,试求系数c1，c2,C3°解：由应力平衡方程的：为顶，魂—k+—yx+—zx=—6y2+3cX2—3cy2—cX2=06x6y6z1236t6b6t—yx+—y+—yz=—2cxy—3cxy=06x6y6z6t6t6b八tx+zy+z=06x6y6z32即：-(6+3c»2+(3c-c)x2=0-2c-3c=0(1)(2)有（1）可知:因为x与y为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，因此，-6-3c=0（3）23c1-c3=0（4）联立（2）、（3）和（4）式得：G05080、1-13.已知受力物体一点应力量为：b=ij500—75MPa,求外法线方向余弦为、80—75—30/即：c1=1，c「一2，c3=31i=m=2，1『万的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。解:S=。1+t川+tn=50x1+50x1+解:S=。1+t川+tn=50x1+50x1+80x22=50+402S=tl+。m+Tn=50x-75x—=25-3752<2"1L1"1…Txztm+。n=80x^-75x^-30x-==2.5-TxzS=111.7J1=20J2=16025J3=-806250。3-20。2-16025。+806250=0方程具有三个不相等的实根!。1=-.2,。2=99.6,。3=58.61-14/在直角坐标系中，已知物体某点的应力量为(100-10：'0500'(-10-5-10:a)。=0-100MPa；b)。=5000MPa；c)。=-5-20ijijij[-10010J、0010,[-100-6JMPa1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏量及球量。解：a）点的应力单元体如下图102)TOC\o"1-5"\h\z[100妇a)。..=0-100MPa该点的应力不变量：J1=10MPa,J2=200MPa,J3=0MPa,10"[-10010)123主应力和主方向：<2v'2oj20MPa,l=±-^；m=0；n=—^~；。2=-10MPa，l=m=n=0,v'2<2。3=0MPa，l=±-^；m=0；n=±-^；主剪应力t最大剪应力八面体应力。8=3.3MPa；等效应力莅=26.45MPa应力偏量及球量。二±15MPa；12t^&^=15MPat23二±5MPa；、?二±10。3=0MPa，主剪应力t最大剪应力八面体应力。8=3.3MPa；等效应力莅=26.45MPa应力偏量及球量。二±15MPa；12t^&^=15MPat23二±5MPa；、?二±10t8=12.47MPa。MPa(20八疽（10八八）——0-10—0033c40Cc10Cc=0-——0MPa；C=0—0i3ij3—八20八八10-100——00—13J13JMPa；b）点的应力单元体如下图c(050ij50000010MPa该点的应力不变量:J=10MPa,J=2500MPa,J=500MPa,1主应力和主方向:。1=10MPa,l=m=n=0。2=50MPa,l=m=±；n=0；2。3=-50MPal=m=±—22；「二0。主剪应力T12最大剪应力T八面体应力。8=3.3MPa；等效应力c=87.2MPa应力偏量及球量。二±20MPa；=30MPamaxt二±5023t8=41.1MPa；MPa。t二±3012MPa(10e八］（10八八）-—500—0033E10八c10cc=50-—0MPa；C=0—0i3ij3cc20cc1000—00—I3JI3JMPa；c）点的应力单元体如下图「1。一5气。..=-5-20MPa该点的应力不变量：J1=T8MPa,J2=33MPa,J3=230MPa,"[-100-6J主应力和主方向：。1=10MPa,l=m=n=0o2=50MPa,l=m=±-^；n=0；。3=-50MPa,l=m=±—^-；n=0。主剪应力t12=±20MPa；T23=±50MPa；T12=±30MPa最大剪应力tmax=30MPa八面体应力。8=-6MPa；T8=9.7MPa。等效应力成=20.6MPa应力偏量及球量。(-16-5-10)(-600)c=-5-80；c=0-60(/.[-100-12J[00-6J1-19.平板在x方向均匀拉伸（图1-23）,在板上每一点cx=常数，试问。y为多大时，等效应力为最小？并求其最小值。8图1-23(题19)解：等效应力:

xyyzxz,1l(b—b)2+(b—b)2+(b—b)2+6G2+T2+T2)]:2=,1l(b—b)2+(b)2+(bxyyzxz\」xyyx令y=(b—b)2+(b)2+(b)2，要使等效应力最小，必须使y值最小，两边微分得:xyyx2(b—b)db+2bdb=dy=0xyyyydby2b-b=0xyb=2by=、1临=、1临—b)2+(b)2+(b)2]'i」xyyx=、、.3b1-20.在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x轴交成。角的一个平面上，其正应力为。(。＜0)，切应力为t，且为最大切应力K，如图1-24所示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y方向上的正应力oy及切应力txy，且将oy、Tyz及ox、Txy所在平面标注在应力莫尔圆上。bmin等效应力最小值：bmin图1-24(题20)解：由题意得知塑性区一点在与x轴交成0角的一个平面上的切应力为为最大切应力K,因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。图1-25b=c-Ksin20t=Kcos20第三章Txy=15(应3-6.某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为。、=75,。,=15,。广0,力单位为Txy=15(应~2~+T2+T2xyyzxz[2^-b）+G-b）+G~2~+T2+T2xyyzxz：此5-15>+(15-0>+(0-75)+6“+0+0彳=73.5MPaV23-7.试证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为:'2+b，2+b，2)=b证明：由密席斯屈服准则:\.Gi-b2证明：由密席斯屈服准则:\.Gi-b2力+&-b13<2a即：\.砂丕丁E2-bb-bb-bb=b^(1)(2)而：(2)■I\'22+6b2+6b2-6bb-6bb-6bb]123121332J82+b2+b2-bb-bb-bb]123121332所以：（1）式与（2）式相等。应力处于3-8.试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在弹性还是塑性状态？（材料为理想塑性材料）应力处于a)b=(bs0000、0，b)b=(-5bs00-5b00、ijv00bsJijv0s0-4bJsJ(1.2b00)(0.5b00)ssc)bij0.1bd)bij-0.6bs'—b00)'00.45b0)e)b=s0—0.5b0,f)b=0.45bs00〃、0s0—1.5b/〃sL000/s存在。应力处于塑性状态。。-0=。，解：a）由屈雷斯加屈服准则：。「。「七得：■，（b—b）2+（7由密席斯屈服准则b=—b)2+(b—b13力=bs。存在。应力处于塑性状态。b）由屈雷斯加屈服准则：。「。广。得：-4。+5。=。，存在。由密席斯屈服准则应力处于塑性状态。b=,"；（b1—b2*2+（b3二-LjC5b+5b）2+（4b+5b）2+（5b=bs存在。应力处于塑性状态。c）由屈雷斯加屈服准则：。-。=。得：1.2。-0=1.2。＞。,13ssss由密席斯屈服准则b=V-.、,右21=2%(1.2b—0.1bQss=*1.33b〉bss+4b不存在。*+G.1b-0*2+G-1.2bs不存在。d）由屈雷斯加屈服准则:由密席斯屈服准则o-o=o得：0.5。+0.6。=1.1。＞。，不存在。13sssssb=—b)2+G—b=4、G.5b一0*+G+0.6b*+（0.6b一0.5b》=v0.96b〈bss存在。应力处于弹性状态。e）由屈雷斯加屈服准则：。「。广。、得：-0.5os+1.5os=。］。、，存在，应力处于塑性状态。由密席斯屈服准则b=—b*2+(b—bu-^'lb+0.5b=v;0.75b〈bss存在。应力处于弹性状态。f)由屈雷斯加屈服准则：T=(。1-。3)/2=。/2得：T=0.45。＜。，存在，应力处于弹性状态。ma^I~~2—222二=._[(75—15)2+(15—0)2+(0—75)2+6(152+0+0)]SmaXSS由密席斯屈服准则6=：1[(b—bI~~2—222二=._[(75—15)2+(15—0)2+(0—75)2+6(152+0+0)]\2^Jyzzxxy兴女=\3x(0.45b》=0.78b〈bTOC\o"1-5"\h\zsss存在。应力处于弹性状态。[75-150]3-9已知开始塑性变形时点的应力状态为。=-15150,ij[000?试求：主应力大小；作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力；作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。解：由于点的应力状态为平面应力状态，+T2**得主应xy解：由于点的应力状态为平面应力状态，+T2**得主应xyTOC\o"1-5"\h\z1,22力。]和。2：2+15275+15■2+152=032+t2=67.08xy1,22主应力为：□i=78.54,O2=11.46,最大切应力："成=33.54崎b=032+t2=67.08xy单轴向屈服应力：。^。[一气二78.54;作为空间应力状态处理时按米塞斯准则计算的单轴向屈服应力：1z、,、,、〜、、b=《][(b-b)2+(b—b)2+(b—b)2+6(T2+T2+T2)]第四章4-5.有一金属块，在x方向作用有150MPa的压应力。在Y方向作用有150MPa的压应力，z方向作用有200MPa的压应力。试求金属块的单位体积变化率(设E=207X103MPa,v=0.3)。解：各方向应力为：。、二。=T50MPa,Oz=-200MPa,则球应力为：om=-166.7MPa单位体积变化率为：'7Z1-2x1-2x0.3207x103x166.7即：七=-3.22X10-44-6.已知一点的应力状态如图4-16所示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。图4-16图4-16(题15)解：设。＞。＞。，则:123平均应力：b=^G+b+b)=0+4+2)=5m31233(400)应力偏量为：b，=0-10*00-3/由列维一米赛斯增量理论d£..=b'..d人得:d£=b'd人=4d人d£=b'd人=-d人d£=b'd人=-3d人主应变简图如图示：

4-7.两端封闭的细长薄壁管平均直径为r,平均壁厚为1,承受压力p而产生塑性变形，管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。解：4-8.求出下列两种情况下塑性应变增量的比:单向应力状态：b1=b$纯剪力应力状态：T=b/J3①解：设。］＞。2＞。3，则：b=1+。+。）=bs，因此，应力偏量为:m31233f2|b'bb'bs3000k由列维一米赛斯增量理论d由列维一米赛斯增量理论dq.=b，d人得:ij可ds=--3-d人ds=--^rd人塑性应变增量的比为:dsdT2bd人3—-2,同理:示dsdT2bd人3—-2,同理:示1—-2,■sd£d£_12—1d£0，s寸'3r-S—■V'3b0bb=~*q3ijJ3bb0，-s-U3a/3)bb由列维一米赛斯增量理论d%=b*d人得:dy=匕d人xy(3dy=土d人yzw3dy=土d人xz<3塑性应变增量的比为：dydy一件—xz—1dydyyzyzmm。R=.,-5°^=25耳[4x25H-hmm。R=.,-5°^=25耳[4x25H-h50-25=0.5£50H1.20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为①50X50mm,室温下压缩至高度h=25mm,设接触表面摩擦切应力t=0.2Y,已知Y=746eo.2oMPa,试求所需变形力P和单位流动压力p。解：圆柱压缩时体积不变，则当h=25mm时，t=0.2Y=0.2X746e0.20=129.9MPa当t=tmax,tmax=K=129.9MPa由于圆柱压缩是轴对称问题，宜采用柱座标。由题意得圆柱界面上的摩擦为t=0.2Y,Y=746e0.20MPa，设三个坐标方向的正应力。、。小和。视为主应力，且与对称轴z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所'示，单元体沿径向的静力平衡方程为：(q+十&双如-中膈叶2T耳广廿"r-2*膈丘(今冲=°令，in(d6/2)ed6/2,并忽略二次微分项，则得由于轴对称条件，。尸二。巾。此时平衡方程简化为2侄do=-hzdr根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为b—b=2K或db=dbrz代入式（1-1），得dbz22Idrh因此2tInb=-方r+C259.8=Ce-hr1-2边界条件：当r=R时，b,=0。由近似屈服条件知，此时的。z=2K，代入方程式（1-2），可得2K=Ce-*1或C=2Ke-259<代入式（1-2），得1(R-r)b=2Ke-259.8廿因为：h=25,R=25.，K=129.9MPa1-3b=259.8eio.36(25■-2-r)所需变形力P为：ZP=jrbds=jr259.8•eio.36(252-r)•2冗rdr0z0=7.5x105压板上的平均单位压力用P表示，则P=f—=191.12MPa兀R22.模压缩铝块，某瞬间锤头压力为500kN，坯料尺寸为50X50X100mm3,如果工具润滑良好，并将槽壁视为刚体，试计算每侧槽壁所受的压力（如图6-11）。图6-11（题2）解：从变形区取一单元体作受力分析。单元体的高度为平板间的高度h，宽度为dx，长度为一个单位。假定是主应力且均匀分布，当沿x轴坐标有dx的变量是，。相应的变化量就可用微分d。、来表示。y方向上的压应力用。表示。摩擦力f的方向同金属质点流动方向相反，设每侧槽壁所受的压力p，如图所示。列出单元体的微分平衡方程：bh-（。+d。）h-2加dx=02-1屈服条件为:因此，db=dbTOC\o"1-5"\h\zxy将此式代入式（2-1）整理得db“dx—=-2f—

bhy积分后得：lnb=-^—x+Cyh2-2y1根据应力边界条件确定积分常数。应力边界条件为：当x=b/2时，o「p。由屈服条件式，得bJ^/2=2k+p代入式（2-2）求系数R得:C=（2k+p号；1

因此：a=Gk+pXh(2-x)yP=Jbchdx=J；(2k+pX*；-x)hdx已知锤头压力『为500kN0,代入上式即可求得每侧槽壁所受的压力p。3.圆柱体周围作用有均布压应力，如图6-12。用主应力求镦出力P和单位流动压力。，设t=mk。图6-12（题图6-12（题3）%解：圆柱压缩为轴对称问题，采用柱座标。设三个坐标方向的正应力。、。。和气视为主应力，且与对称轴z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为：+虹脸+dr)感甲-时溯+凶％5曲-圣砍血(告J亦=0令，in(d6/2)ed6/2,并忽略二次微分项，则得由于轴对称条件，。尸二。巾。此时平衡方程简化为2侄3-1dcr=-hzdr根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为

b—b=2K或db=dbrz代入式（3-1）,得i2mkbidb=-』dr因此2mkInb=—_r+C或3-2C2mke—_r边界条件：当r=R时，。「=。0。由近似屈服条件知，此时的bz=2K+。°,代入方程式（3-2），可得=Ce-掌RTOC\o"1-5"\h\z01或C=（2K+o旗-2mk：10代入式（3-2），得b=（2K+b）e2mk（Rhr）3-30所需变形力P为：压板上的平均单位压力用p表示，则P兀R25试用主应力法求解板料拉深某瞬间凸缘变形区的应力分布。（不考虑材料加工硬化）3-13-2图6-14（题5）解：板料拉深某瞬间凸缘变形区受力如图6-14,为平面应力状态，设正应力0r、G0r、G+db)(+dr)hdO—brhdO-2%sin—hdr=0/d於…3I2厂〜令，in（d°/2）ed°/2,并忽略二次微分项，则得dbb—b八5-1L+^=Odrr5-1将屈服条件。=。广2K代入上式得b=—2Klnr+Cr积分常数C根据凸缘的外缘处（r=R）的°r=0边界条件，得积分常数C=2KlnR凸缘变形区的应力分布为：5-2=2KlnR/r5-2第七章7-10解：已知a族是直线族，B族为一族同心圆，c点的平均应力为：omc二—90MPa,最大切应力为K=60MPa。C点应力为：一一一一一一一一"兀、一一—b-O-2ksin2妨=-90-60sin-—=-30MPa一一-一一一一_.，兀、一一一—b-b+2ksin2»--90+60sin-—--150MPat-Kcos2w-0图7-1z由于B点在a族上，a族是直线族，因此，所以B点应力状态和C点相同。D点在B族上，B族为一族同心、圆，因此由沿线性质得：b-b=-2k(s-s)mcmdcdbmdbmd=b+2k(s—s)=-90+2kx=-90+2kx--90-20kD点应力为:bxd=b-2ksin2sbyd=bbxd=b-2ksin2sbyd=b+2ksin2s=-90-20k-60sinf-竺'6)f5k\=-90-20k+60sin-L6)--122.8MPa=-182.8MPat-Kcos2s-60•cos-——D点的应力莫尔圆-51.97-11试用滑移线法求光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时的极限载荷P（图7-36）。设冲头宽度为2b，长为l，且l>>2b。解：（1）确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于平冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AO区域可看成是光滑（无摩擦）接触表面，滑移线场和确定a、B方向如图教材中图7-10。AB区域表面不受力，可看成是自由表面，但受AOD区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第2种情况，滑移线场和确定a、B方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ADO和ABC之间必然存在简单滑移线场，由此确定出光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时滑移线场，如图7-3z。图7-3z图7-3z（2）求平均单位压力。取一条a线BCDO进行分析，由于B点在自由表面上，故其单元体只有一个压应力，由此可判断出。尸。，根据屈服准则，O]—O3=2k，因此，o3c=—2k。而平均应力。/（。；。3「/2，可得。B=一k。已知O点在光滑接触表面上，因此气=-兀/4，其单元体上承受冲头压力和金属向两边流动的挤压力，即存在。，。其绝对值应大于。，根据屈服准则可得。（金属向两边流动的挤压力，即存在。，。其绝对值应大于。，根据屈服准则可得。（3）求角度。x尸作用，均为压应力，且气二。y二—P，：二。=-p+2k，平均应力。=-p+k为一n/4,在自由表面对。线BCDO进行分析。接触面AO上的O点的夹角3AB上的B为一n/4,在自由表面^Aq=q-3=3-3二一n/4—(n/4+Y)二—n/2—Y求极限载看D由汉盖应力方程式一①)=2kA①B得：—p+k—(—k)=2k(-?—y)=—k(K+y)即：p=&+y)极限载荷P为:P=2blp=2b限Gi+y)7-13图7-37为一中心、扇形场，圆弧是。线，径向直线是B线，若AB线上o=-k，试求AC线上。。图7—37(题图7—37(题13)其上。=-k,故B点的oj-k,AC线是B线，求出Cm点的。，即得到AC线上om。C点的ombmC二—信+1]"3J解：已知直线AB是B线，但也是直线，直线上的。相同可通过圆弧BC求，已知圆弧BC是。线，由汉盖应力方程式b—b=2k(①—①)=2kA①一一r兀、即：b—(—k)=2k-1—_mC6J，兀］即AC线上。皿为：b=—k"—+1mC7-14具有尖角2Y的楔体，图7-38在外力P作用下插入协调角度的V型缺口，试按1)楔体与V型缺口完全光滑和2)楔体与V型缺口完全粗糙做出滑移场，求出极限载荷。第一种情况：楔体与V型缺口完全光滑解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AB区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定a、B方向如图教材中图7-10。AE区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定a、B方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ABC和ADE之间必然存在简单滑移线场，由此确定出具有尖角2Y的楔体在外力？作用下插入完全光滑的V型缺口时的滑移线场，如图7-4z。(2)求平均单位压力和角度。AB面是光滑接触表面上，因此①=兀/4-y。由于垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力，因此，可以确定平行于AB面的压应力为。「垂直于AB面的压应力为。3二-P，根据屈服准则，O]—O3=2k，因此，0j2k+03=2k-p，而平均应力。建^气+气)/?，可得。=k-p。AE面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出。尸0,根据屈服准则，。1—□3=2k，因此，。3e=一2k。而平均应力。如二(。「％3「/2，可得。=-k。o=k/4。mEE(3)求极限载荷已知BCDE线为a线，由汉盖应力方程式b―。=2k(o-o)兀兀得：-p+k-(-k)=2k(—-y-—)=-2ky即：p=2k6+y)极限载荷P为：P=2blp/siny=4blk(1+y)/siny第二种情况：楔体与V型缺口完全粗糙做出滑移场2b图7-5z解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于楔体与V型缺口完全粗糙，故可认为冲头下坯料为变形刚性区°AE区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定a、B方向如图如图7-9b所示，三角形ABC和ADE存在简单滑移线场，由此确定出具有尖角2Y的楔体在外力？作用下插入完全粗糙的V型缺口时的滑移线场，如图7-5z。(2)求平均单位压力和角度。AE面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出。尸0,根据屈服准则，。1—□3=2k，因此，。3E二一2k。而平均应力。如二(O1e+°3E)/2，可得。=—k。o=k/4，mEE三角形ABC是难变形区，该区的金属受到强烈的等值三相压应力，AC面是摩擦接触表面上，垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力作用，不发生塑性变形，好像是冲头下面的刚性金属楔，成为冲头的一个补充部分。CD为a线，o=兀/4-y。由于垂直于CD面的压应力大于平行于CD面的压应力，因此，可以确定平行于CD面的压应力为。「垂直于CD面的压应力为。「-p，根据屈服准则，。一。二2k，因此，。=2k+。=2k-p，而平均应力。=(。+。)/2，可得1313mc1c3c。二k-p。mC(3)求极限载荷已知CDE线为a线，由汉盖应力方程式b―。=2k(o-o)兀兀得：k-p-(-k)=2k(—-y-—)=-2ky即：p=2k6+y)极限载荷P为：P=2blp/siny=4b限G+y)/siny7-15何谓滑移线？用滑移线法求解宽度为2b的窄长平面冲头压入半无限体的单位流动压力p。材料为理想刚塑性体，屈服剪应力为K；参见图7-39。解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，设冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AB区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定a、B方向如图教材中图7-10。BE区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定a、B方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ABC和BDE之间必然存在简单滑移线场，由此确定出宽度为2b的窄长平面冲头压入半无限体的滑移线场，如图7-6z。图7-6z(2)求平均单位压力和角度。AB面是光滑接触表面上，因此少=-兀/4。由于垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力，因此，可以确定平行于AB面的压应力为。「垂直于AB面的压应力为。「-p，根据屈服准则，^1-^3=2k，因此，°「2k+/「2k-p，而平均应力。曲二(O]+O3)/2，可得。=k-p。BE面是自由表面上，即只有一个压应力，由此可判断出。尸0,根据屈服准则，。一。二2k，因此，。二一2k。而平均应力。二(。+。)/2，可得。二-k。133EmE1E3EmE①=K/4。(3)求极限载荷已知ACDE线为a线，由汉盖应力方程式b—b=2k(①一①)得：k—p—(—k)=2k(—；—^4)即：p=2kfl+-1I2J极限载荷P为：P=2blp=4blkf1+bI2J

第八章8-7模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示。试分别计算其上限载荷P?并与滑移线作比较，说明何种模式的上限解为最优?荷P?并与滑移线作比较，说明何种模式的上限解为最优?图8—19（题8）解：（1）模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示的第一个图。图8-1z四个刚性区A、B、C和D相对滑动，刚性区O为死区，其速度图如图8-1z。若冲头的宽度为2b，平均极限压力为P，根据功率平衡原理，pVH=（AB-V+AC-V+BC-V+CD-VoABACBCCD=.x学V+2V+J2X琴V+/2x孚VIk=5VkoP=2.5k⑵模壁光滑平面正挤压