金融数学博弈论基础第二章3解析

2.4完全非完备信息动态博弈2.4.A博弈的扩展式表述（回顾）第一章静态博弈G的标准式表示博弈G的标准式表述包括：（1）博弈的参与人；（2）每个参与人可供选择的战略；（3）与参与人可能选择的每一战略组合相对应的各个参与人的收益.在静态博弈中，全部参与者同时行动（或行动虽有行动者在自己行动之前能观测到先行动者的行动.先后，但没有参与者在自己行动之前观测到别人的行动）；在动态博弈中，参与者人的行动有先后依次，且后正如博弈论专家习惯于用标准式表述描述和分析静态博弈一样，他们也习惯于用扩展式表述(extensiveformerepr-esentation)来描述和分析动态博弈.博弈的扩展式表述所“扩展”的主要是参与者的战略空间.标准式表述简洁地给出参与者有些什么战略可以选择，而扩展式表述要给出每个战略的动态描述：谁在什么时候行动，每次行动时有些什么具体行动可供选择，以及知道些什么.简洁地说，在扩展式表述中，战略对应于参与人的相机行动规则(contingentactionpla-n)，即而不是简洁的、与环什么状况下选择什么行动，境无关的行动选择.具体来讲，博弈的扩展式表述包括以下要素：1.参与人集合：用N代表虚拟参与者“自然”；2.参与人的行动依次：谁在什么时候行动；3.参与人的行动空间：每次行动时，参与者有些什么行动选择；4.参与人的信息集：每次行动时，参与者知道什么；5.参与人的支付函数：在行动结束后，每个参与者得到什么（支付是全部行动的函数）；6.外生事务（即自然的选择）的概率分布.定义一个博弈的扩展式表述包括：(1)博弈中的参与人；(2a)每一参与人在何时行动；(2b)每次轮到某参一与人在行动时，可供他选择的行动；(2c)每次轮到某参与人在行动时，他所了解的信息；(3)与参与人可能选择的每一行动组合相对应的各个参与人的收益.说明：一般来讲，静态博弈一般用标准式表述，动态博弈一般用扩展式表述.但不是确定的.任何博弈都既可以用标准式表述，也可以用扩展式表述，只是选择哪一种表述形式更便利些而已.博弈树描述博弈的扩展式

122LR(3,1)(1,2)(2,1)(0,0)收益向量第一个数字是参与者1的收益，其次个数字是参与者2的收益.图2.4.1博弈树一个决策节decisionnode终点节teminalnode将图2.4.1的博弈树进行扩展，用来表示全部完全且完备信息动态博弈—即任何参与者依次行动，对下一行动作出选择之前其前面全部行动都是共同学问，并且每一可能的行动组合下各参与者的收益也是共同学问的博弈.只是有时比较困难（当行动空间无限时）.动态博弈也可以用标准式表述，但须要把扩展式中的信息转换为对标准式中每一个参与者战略空间的描述.定义参与者的一个战略是关于行动的一个完整支配—它明确了在参与者可能会遇到的每一种状况下对可行行动的选择.针对图2.4.1的博弈，考虑参与者2的战略.参与者2有两个行动，但却有4个战略.战略1：假如参与者1选择L，则选择假如参与者1选择R，则选择表示为战略2：假如参与者1选择L，则选择假如参与者1选择R，则选择表示为战略3：假如参与者1选择L，则选择假如参与者1选择R，则选择表示为战略4：假如参与者1选择L，则选择假如参与者1选择R，则选择表示为考虑参与者1的战略.参与者1有两个行动，也只有1个战略.因为参与者1行动时，只面对一种状况，因此，参与者1的战略与其行动空间是相同的.即3，13，11，21，22，10，02，10，0参与者1参与者2①

L

R

②②

L'R'L'R'

二人博弈的扩展式（树）表示扩展式表示与标准式（策略式）的转换3，13，11，21，22，10，02，10，0参与者2参与者1静态博弈也可以用扩展式表述，留意：静态博弈中参与者不确定要同时行动：只须每个参与者在选择战略时不知道其他参与者的选择.以两个参与者的静态博弈为例，将其表示为动态博

弈的形式.1.参与者1从可行集A1中选择一个行动a1，2.参与者2没有观测到参与者1的行动，从可行集A2中选择一个行动a2,3两人的收益分别为和定义参与者的一个信息集指满足以下条件的决策节的集合：（1）在此信息集的每一个节都轮到该参与者行动，且（2）当博弈的进行达到此信息集中的一个节，应当行动的参与者并不知道达到了(或没有达到)信息集中的哪一个节.留意：（2）意味着参与者在信息集中的每一个决策节都有着相同的行动集合.以囚徒逆境静态博弈为例(4,4)(0,3)(5,0)(1,1)囚徒1沉默招认囚徒2囚徒2沉默沉默招认招认图2.4.3在一个扩展式博弈中，为表示某些决策节处于同一信息集中，用虚线把这些决策节连起来.三阶段动态博弈树看下面的例子，1.参与者1从可行集2.参与者2观测到a1，然后从从可行集中选择一个行动a2；中选择一个行动a1；3.参与者3观测是否然后从从可行集中选择一个行动a3.三阶段动态博弈树见图2.4.4，在扩展式中，参与者3有两个信息集：假如1选择R，2选择参与者3进入只有一个决策节的信息集，另一个信息集是轮到参与者3行动时，则他进入包含其余全部决策节的信息集.从而，参与者3所能观测到的只是是否成立.1LR22333图2.4.4信息集的引入使得我们可以区分完备信息和非完备信息的另一种定义.（回顾）完备信息：博弈的每一步行动中，轮到行动的参与者了解前面博弈进行的全部过程.对完备信息的一个等价定义是每一个信息集都是单节的.

相反，非

完备信息则意味着至少存在一个非单节的信息集.(注：这种用是否单节信息区分完备信息和非完备信息的方法只限于完全信息的博弈，参见课本95页角注.)因为第一章已经指出，依据以上分析得知，无论静态博弈还是动态博弈，只是选择哪一种表述形式更便利些而已.都既可以用标准式表述，也可以用扩展式表述，但是，假如博弈分析的目的是预料博弈中参与特殊是，动态博弈也可以用标准式表述，从而，纳什均衡的概念适合用于全部的博弈，而不仅仅是参与者同时行动的静态博弈.者的行为，纳什均衡给出的可能并不是一个特别合理的预料.（甚至无穷多个）纳什均衡，原委那一个均衡更为合理一个博弈可能有多个博弈论并没有一般结论.但是，均衡的多重性并不是纳什均衡存在的严峻问题.最严峻的问题是，纳什均衡假定每一个参与者在选择自己的最优战略时假定所有其他参与者的战略选择是给定的，也就是说，参与者并不考虑自己的选择对其他参与者选择的影响.故纳什均衡很难说是动态博弈的一个合理解.因为在动态博弈中，参与者的行动有先有后，空间依靠于前行动者的选择.后行动者的选择前行动者在选择自己的战略时不行能不考虑自己的选择对后行动者选择的影响.纳什均衡的这个缺陷使博弈论专家从60年头起先就不断寻求改进和精炼纳什均衡概念.子博弈精炼纳什均衡概念是由泽尔腾(Selten,1965)第一个最重要的改进，它的而目的是把动态博弈中的“合理纳什均衡”与

“不合理纳什均衡”分开.

正如纳什均衡概念是完全信息静态博弈

解的基本概念一样，子博弈精炼纳什均衡是完全信息动态博弈解的基本概念.（博弈论与信息经济学-160）博弈树：包括结(nodes)、枝(branches)、信息集

(informationsets).1.结包括决策结和终点结两类：一般地，用X

表示全部结的集合，表示某个特定的结.用表示定义在X上的依次关系(precedencerelation);比如意味在之前”.假定满足：传递性和反对称性，即是半序的(partialorder)，即有些结之间是不行比较的.定义P(x)为在x之前的全部结的集合，简称为x的前列集(thesetofprecedecessors)；定义T(x)为在

x之后的全部结的集合，简称为x的后续集(thesetofsu-

ccessors).假如x称为初始结；若x称为终点结.除终点结之外的全部结都是决策结.2.枝(branches)：枝是从一个决策结到它的干脆后续结的连线，每一个枝代表参与者的一个行动选择.干脆前列结：除初始结O之外，对于全部的假如存在一个使得对于全部的有意味着那么p(x)称为x的干脆前列结.假如是x的干脆前列结，那么x称为的干脆后续结.3.信息集(informationsets)：博弈树上的全部决策结分割成不同的信息集.每一个信息集是决策结集合的一个子集.该子集包括全部满足下列条件的决策结：（1）每一个决策结都是同一参与者的决策结；2.4.B子博弈精炼纳什均衡（回顾）前面第2.3.B给出的子博弈精炼纳什均衡

仅限于重复博弈，战略，子博弈，共同学问等概念，下面将子博弈精炼纳什均衡的概念用于一般的完全信息动态博弈.

（回顾）2.3.B子博弈的非正式定义，即从博弈进行到的某一点起先，前面整个博弈的进行过程在全部参与者中都是共同学问，始于该点的其余部分的博弈就是原博弈的一个子博弈（限于重复博弈）.定义扩展式博弈中的子博弈

(a)始于单节信息集的决策节n（但不包括博弈的（2）该参与者知道博弈进入该集合的某个决策结，但不知道自己原委处于哪一个决策结.第一个决策节）；(b)包含博弈树中n之下全部的决策节和终点节（但不在n下面的除外）；(c)没有任何信息集分割.有一个决策节（即假如博弈树中n之下处于同一信息集的其它决策则和节也必需在n之下，从而也必需包含于子博弈中）.关于定义的说明：(a)说明整个博弈不是子博弈，(c)说明子博弈是一个独立的博弈，并且对其分析的结果用于原博弈.分别用图2.4.1，图2.4.3，图2.4.4为例说明.对(c)必要性的另一说明是：(a)只保证了在决策节n应当行动的参与者知道博弈到此为止的整个过程，而不能保证其他参与者也知道这一过程.(c)则保证了而不能保证其他参与者也知道这一过程，（c）则保证了博弈到该点为止的整个过程在全部参与者中是共同学问.缘由如下：在n之后的任何节，比如在应该行动的参与者知道博弈到达了决策节n，从而即使处于非单节的信息集，由于在该信息集中的全部节都在n之下，在该信息集行动的参与者就知道博弈已经到达了n下面的某个决策节.和该决策结的后续结T(x)(包括终点结)组成，定义：一个扩展式博弈的子博弈G

由一个决策结x

它满足：(1)x是一个单结信息集，即(2)对于全部的假如那么（博弈论与信息经济学—163）定义(塞尔滕Selten,1965)假如参与者的战略在每则称纳什均衡是子博一个子博弈中都构成纳什均衡，弈精炼的.Definition(Selten1965):ANashequilibriumissubg-ame-perfectiftheplayers'strategiesconst