输入输出模型与传递函数

输入输出模型与传递函数第一页，共十九页，2022年，8月28日系统的数学模型

描述系统的输入与输出之间变化关系的式子。对于一个线性系统，其数学模型一般用一个线性常系数微分方程来表示。左图

所示为一机械系统示意图。此系统由弹簧、质量和阻尼器组成。系统的输入量为外力，输出量为质量的位移。

由牛顿定律，，其中为质量；为位移加速度；为作用于上的力，包括外力、弹簧的恢复力,和与速度成正比的阻力。由此得出与所满足的微分方程为：显然它是一个常系数微分方程。第二页，共十九页，2022年，8月28日今后我们所研究的系统，通常都可用如下的一个线性常微分方程来描述：其中第三页，共十九页，2022年，8月28日线性系统及其特性线性系统满足叠加原理。叠加原理有两重含义：可加性与齐次性。齐次性可加性第四页，共十九页，2022年，8月28日叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和（可加性），且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。（齐次性）因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。此外，每个外作用在数值上可只取单位值，从而大大简化了线性系统的研究工作。第五页，共十九页，2022年，8月28日2.2线性系统的传递函数与卷积定理对线性系统输入输出方程两边求拉氏变换得：其中：（1）第六页，共十九页，2022年，8月28日简记（1）式为：和都是由初值所确定的。由于这些初始值有很大的随意性，与系统的本性无关，因此可令它们全为零，即所以在零初始条件下，与之间满足其中称为系统（1）的传递函数由传递函数的定义可知，微分方程和其传递函数是一一对应的，而且从其中任一形式能方便地写出另一形式。第七页，共十九页，2022年，8月28日例1写出的传递函数。写出对应的微分方程。1)2)解:1)两边取拉氏变换,并利用零初始条件得:得2)第八页，共十九页，2022年，8月28日由于L

-1[]=1肪冲响应在零初始条件下,线性系统对单位脉冲输入信号的输出响应,称为该系统的肪冲响应.这表明,传递函数的拉氏逆变换即为系统的脉冲响应(用表示).即:L

-1[]线性系统的传递函数与其脉冲响应就系统的外部动态特性来说,它们包含的信息是相同的.反映在时间域上,就是:卷积定理在零初始条件下,系统的任一输入与相应的输出之间有如下关系:由拉氏变换的卷积公式很容易得到这个结果.(2)具体使用(2)式时,必须注意是否满足零初始条件这一前提。其中的零初始条件可认为成立（系统从静止状态开始）；而是一给定信号，不一定满足但m=1时，（1）式的解与的初值无关，否则，必须有上述的初值为零作为(2)式成立的保证。第九页，共十九页，2022年，8月28日阶跃响应即系统(1)由静止开始,由单位价跃输入相对应的输出响应，记为由于L

-1[]=1/s当系统（1）中m=1,有：或故得：（3）若以直接代入卷积公式（2），得：（4）（3）、（4）即为脉冲响应与阶跃响应间的关系式。如果因，上述关系一般不成立。由（2）知，知道了,则系统的动态行为特征就清楚了。但对于很多惯性大而灵敏度小的系统，直接进行脉冲响应测试是较困难的。这时可改而进行阶跃响应测试。由于阶跃输入作用是持久存在的，所以较易得到。然后利用关系式(3),就可间接得到第十页，共十九页，2022年，8月28日Example设一系统的输入—输出微分方程为1）求其脉冲响应;2）当时，求与之对应的输出。解1)系统的传递函数为：所以L

-1

L

-1[]=第十一页，共十九页，2022年，8月28日2）由于卷积定理的条件满足。在的假设下，得：如何求本例的阶跃响应？第十二页，共十九页，2022年，8月28日所以无法用卷积公式。在两侧取拉氏变换得：在的假设下，并将代入，上式变为L

-1=L

-1

第十三页，共十九页，2022年，8月28日2.3组合系统的传递函数一个系统往往由两个或两个以上子系统按某种方式连接而成，称之为组合系统。组合方式有串联、并联和反馈三种连接方式。串联组合设两个系统的传递函数分别为如图所示,子系统和串联连接。子系统的输出作为子系统的输入;子系统的输入和子系统的输出分别是整个组合系统的输入和输出。虚线框内是串联组合系统.第十四页，共十九页，2022年，8月28日由于因此，组合系统的传递函数为一般地，如图所示的由个子系统串联而成的组合系统的传递函数为第十五页，共十九页，2022年，8月28日并联组合图示为一并联组合系统。同时输入作用于和,分别得输出响应和。它们的和为组合系统的输出。由于所以即并联组合系统传递函数为一般地，由个子系统并联组成的组合系统传递函数为：第十六页，共十九页，2022年，8月28日反馈组合如图为反馈组合。为前向子系统，为反馈子系统。由于得所以（负）反馈组合系统传递函数为：第十七页，共十九页，2022年，8月28日Example如图,求此反馈系统的:1)脉冲响应;2)阶跃响应;3)的响应.