抽样理论与方法(统计学专业)

抽样理论与方法(统计学专业)第一页，共342页。第1讲绪论第01章绪论第二页，共342页。第01章绪论抽样的类型抽样技术理论抽样技术的发展第三页，共342页。1.1抽样的类型非概率抽样主要依据研究者的主观意愿、判断或是否方便等因素抽取样本；误差大，难以估计，代表性小，适合探索性研究。主要有：偶遇抽样、判断抽样、定额抽样、雪球抽样概率抽样依据概率论的基本原理，按照随机原则进行抽样；主要有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样、多段抽样第四页，共342页。1.1抽样的类型抽样方法作用抽样原则误差判断应用优缺点非随机抽样研究总体的局部现象非随机抽出样本，主观性强不能计算和判断抽样误差可随时随地采用不够科学规范，但省钱、省事、灵活方便随机抽样以部分推断总体随机抽出样本，客观性强不能计算和判断抽样误差只能定期采用科学规范，但费时、费钱、不够灵活方便第五页，共342页。1.1.1.非概率抽样非随机抽样的含义、应用范围(一)非随机抽样的含义它是在不确定总体中，按照非随机原则选取样本，并用这部分样本指标的调查结果，来判断总体指标的一种抽样类型。(二)非随机抽样的范围

1.当对调查的总体不够清楚，或者太复杂，不适于采取随机抽样时，那么，就需要用非随机抽样来抽出样本；

2.适用于经常性的调查和方便灵活的调查。第六页，共342页。1.1.1.非概率抽样偶遇抽样方便抽样或自然抽样，指研究者根据现实情况，以自己方便的形式抽取偶然遇到的人作为对象，或者仅仅选择那些离得最近、最容易找到的人作为对象。或者说研究可以得到的一组个体.第七页，共342页。1.1.1.非概率抽样适用范围（1）可用于经常性的市场调查；（2）可用于正式市场调查之前的试验调查；（3）任意调查适用于同质总体。优点：方便、灵活，简便易行，及时取得所需资料，节约时间和费用成本低缺点：因为个体差异性，抽样误差很大，结果不够可靠，应用价值较低第八页，共342页。1.1.1.非概率抽样含义：又称立意抽样法，它是指由市场调查的专家依据自己的判断来选取样本的一种方法。适用范围：总体的构成单位差异较大而样本数又很小的情况优点：因为是按照调查人员的需要来选定样本，所以较好地满足了特殊的调查需要。缺点：如果调查人员在选取样本时主观判断出现偏差，则判断抽样极易发生较大的抽样误差。判断抽样研究者根据研究目标和自己的主观分析来选择和确定他们认为可以提供所需要信息的人作为样本。第九页，共342页。采用判断抽样法应注意的问题:一要选好专家，二要应极力避免挑选极端情况的样本，“多数型”、“平均型”两种具体做法专家判断选择样本：平均型统计判断选择样本：多数型利用调查总体的全面统计资料，按照一定的标准选择样本1.1.1.非概率抽样第十页，共342页。如进行现场访问，任意选择一群消费者或者营业人员进行谈话，了解他们对商品质量的看法或购买动向。举例：在街头向过路行人做访问调查；上门对一栋大楼内的每个公司进行访问式调查；在柜台销售商品过程中向购买者做询问调查等（样本的选取完全随调查人员的方便而定）理论依据：认为被调查的母体中的每一个个体都是相同的注意：适用于非正式的探测性调查，或调查前的准备工作。1.1.1.非概率抽样第十一页，共342页。1.1.1.非概率抽样研究者根据可能影响研究变量的因素对总体分层，并计算出比例，然后取挑选对象。检验理论、解释关系、比较不同群体时，抽样标准是适合性，不是代表性定额抽样指按照一定的标准确定地区别和职业等不同群体的样本配额，然后由调查人员主观地抽取配额内样本的方法。第十二页，共342页。适用范围：通常适用于小型的市场调查步骤：（1）选择“控制特征”作为细分总体的标准；（2）将总体按“控制特征”组成若干子总体；（3）决定各子总体样本的大小；（4）选择样本单位。定额抽样1.1.1.非概率抽样第十三页，共342页。配额抽样法和判断抽样法既有联系又有区别二者的联系是：配额抽样实质是一种“分层”判断抽样。二者的区别是：抽取样本的方式不同：

a配额抽样是分别从各个控制特征的层次抽取若干个样本

b判断抽样是从总体中的某一层次中抽取若干个符合条件的典型样本二者的侧重点不同；

a配额注重“量”的分配

b判断抽样注重“质”的分配复杂程度不同：

a配额抽样方法复杂精密

b判断抽样方法简便易行1.1.1.非概率抽样第十四页，共342页。雪球抽样在无法了解总体情况时，从少数成员入手调查并询问其他符合条件的人，再找这些人所知道的人。1.1.1.非概率抽样第十五页，共342页。。1.1.2概率抽样概率抽样的程序简单随机抽样系统抽样分层抽样整群抽样多阶段抽样第十六页，共342页。1.1.2概率抽样概率抽样的程序界定总体：范围与界限制定抽样框：收集总体中全部抽样单位的名单，并对名单统一编号。分段、分层抽样时则要分别建立起几个不同的抽样框决定抽样方案：确定抽样方法、样本规模、主要目标量的精确程度实际抽取样本：按照选定方法从抽样框中抽取一个个抽样单位，构成样本评估样本质量：质量、代表性、偏差将可得到的反映总体中某些重要特征及其分布的资料与样本中的同类指标进行对比。第十七页，共342页。1.1.2概率抽样简单随机抽样单纯随机抽样：按照等概率原则直接从含有N个元素的总体中随机抽取n个元素组成样本（N＞n）。常用的方法：抽签、随机数字表优点:可能产生代表性样本缺点:不容易做编号难必须能够接触到被选中的个体成分比例难第十八页，共342页。1.1.2概率抽样分层抽样将总体中的所有单位按照某种特征或标志划分为若干类型或层次,在每个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的方法抽取一个子样本,共同构成研究的样本.优点:1.在不增加样本规模的前提下降低抽样误差,提高抽样精度,增大代表性2.便于了解总体内不同层次的情况,以及对总体中的不同层次进行单独研究或者进行比较.注意:1.分层的标准问题2.分层的比例问题第十九页，共342页。1.1.2概率抽样系统抽样

等距抽样或机械抽样,将总体的单位编号排序后,按照固定的间隔抽取个体组成样本的方法.步骤:1.制定抽样框2.计算抽样间隔:K=N/n3.在第一组K个个体中随机抽取一个个体A.4.在抽样框中每隔K个个体抽取一个个体.5.将n个个体合起来构成样本.注意2种情况:1.抽样框中的个体排列具有某种次序或等级2.抽样框中的个体排列具有与抽样间隔对应的周期性分布.第二十页，共342页。1.1.2概率抽样整群抽样从总体中随机抽取一些小群体，将小群体的所有元素构成样本.对小群体的抽取可采用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的方法。优点：1。简化抽样过程2。降低收集资料的费用3。扩大抽样范围缺点：代表性比较差第二十一页，共342页。1.1.2概率抽样多阶段抽样多级抽样或分段抽样，按照抽样元素的隶属关系或层次关系，把抽样过程分为几个阶段进行。步骤：1。以大群为单位编制抽样框2。抽取若干大群3。以小群为单位给每个大群编制抽样框4。分别从每个大群中抽取小群5。根据需要重复3、4步骤6。得到基本元素，构成研究样本优点：方便易行第二十二页，共342页。1.2抽样技术内容经典理论：简单随机抽样、分层抽样、比估计、回归估计、不等概率抽样、二重抽样、系统抽样、多阶段抽样等。扩展理论：调查方式改变无回答现象、计量误差复杂抽样方差估计最优抽样设计——certainmethodsareoftenusedtoimprovetheprecisionandcontrolthecostsofsurveydatacollection.*在固定费用下精度最高；*或在一定精度条件下调查总费用最省；第二十三页，共342页。1.3抽样调查的发展简史百年历史，全面调查——非全面，推论统计的发展——数理统计的

分支。1.

个别场合适用，1802法国数学家拉普拉斯，人口调查，两阶段（便利），比估计（出生人口）2.

正式提出、推广、逐步普及。1894挪威统计局长凯尔，——代表性调查，退休金、疾病保险金调查。1895，瑞士ISI国际统计会议（五次）——1903年ISI（九次）统计学家认同.第二十四页，共342页。1.3抽样调查的发展简史3.

主导地位。英国鲍莱，1906简单随机抽样、1912系统抽样；1925按比例分层，1930美国经济恐慌促进调查成长4.

理论发展与完善。如费歇尔1920：随机化——无偏，重复——方差估计，区组——分层；——不等概，理论上证明随机抽样合理性；多阶段.奈曼：1934RSS，最优分配、比估计、比例估计。；汉森-赫维茨：PPS抽样，现时人口调查CPS；马哈拉诺比斯1930：印度统计学院，交叉子样本，费用函数、方差函数,非抽样误差第二十五页，共342页。1.4抽样调查的发展简史1940，陈达、戴世光，国情普查研究所，云南呈贡县，人口普查，——清华学报50年代——报表、全面统计为主，部分抽样，农调队81——城调队、农调队，94企调队80年代后市场调查萌芽发展我国统计法规定：统计调查应以周期性普查为基础，以经常性抽样调查为主题，以必要的统计报表、重点调查与综合分析等为补充，搜集与整理基本统计资料。第二十六页，共342页。第2讲简单随机抽样第02章简单随机抽样第二十七页，共342页。第02章简单随机抽样（SRS）定义及其抽选方法简单估计量及其性质样本量的确定设计效应稀有事件的抽样问题SimpleRandomSampling(SRS)第二十八页，共342页。

抽样方案设计

第一、确定抽样调查的目的、任务和要求；第二、确定调查对象的范围和抽样单位；第三、确定抽取样本方法；第四、对主要抽样指针的精度提出要求；确定必要的样本数；第五、确定总体目标量的估算方法；第六、制订实施总体方案的办法和步骤。

第二十九页，共342页。2.1定义与符号简单随机抽样也称为单纯随机抽样。从含有N个单元的总体中抽取n个单元组成样本，如果抽样是不放回的，则所有可能的样本有个，若每个样本被抽中的概率相同，都为，这种抽样方法就是简单随机抽样。具体抽样时，通常是逐个抽取样本单元，直到抽满n个单元为止。

有限第三十页，共342页。2.1.1放回简单随机抽样放回简单随机抽样(SRSwithreplacement)当从总体N个抽样单元中抽取n个抽样单元时，如果依次抽取单元时，不管以前是否被抽中过，每次都从N个抽样单元中随机抽取，这时，所有可能的样本为个(考虑样本单元的顺序),每个样本被抽中的概率为放回简单随机抽样在每次抽取样本单元时，都将前一次抽取的样本单元放回总体，因此，总体的结构不变，抽样是相互独立进行的，这一点是它与不放回简单随机抽样的主要不同之处。放回简单随机抽样的样本量不受总体大小的限制，可以是任意的。第三十一页，共342页。简单随机抽样的抽取原则：（1）按随机原则取样；（2）每个抽样单元被抽中的概率都是已知的或事先确定的；（3）每个抽样单元被抽中的概率都是相等的。2.1.1放回简单随机抽样第三十二页，共342页。2.1.1放回简单随机抽样【例2.1】设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按放回简单随机抽样的方式抽取2个单元，则所有可能的样本为25个（考虑样本单元的顺序）：1，12，13，14，15，11，22，23，24，25，21，32，33，34，35，31，42，43，44，45，41，52，53，54，55，5第三十三页，共342页。2.1.2不放回简单随机抽样(SRSwithoutreplacement)当从总体N个抽样单元中依次抽取n个抽样单元时，每个被抽中的单元不再放回总体，而是从总体剩下的单元中进行抽样。不放回简单随机抽样的样本量要受总体大小的限制。在实际工作中，更多的采用不放回简单随机抽样。第三十四页，共342页。

2.1.2不放回简单随机抽样【例2.2】设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按不放回简单随机抽样的方式抽取2个单元，则所有可能的样本为10个：1，22，33，44，51，32，43，5

1，42，5

1，5

第三十五页，共342页。符号

大写符号表示总体的标志值，用小写符号表示样本的标志值

第三十六页，共342页。符号

大写符号表示总体的标志值，用小写符号表示样本的标志值

第三十七页，共342页。总体指标值上面带符号“^”的表示由样本得到的总体指标的估计。

称为抽样比，记为f。估计量的方差用大写的V表示,对的样本估计，不用而用表示。

2.1.2不放回简单随机抽样第三十八页，共342页。

抽选方法抽签法随机数法——随机数表、随机数骰子、摇奖机、计算机产生的伪随机数

随机数表法：N=327n＝5讨论：

(1)总体编号为1～35，在00～99中产生随机数，若=00或>35，则抛弃重抽。

(2)总体编号为1～35，在00～99中产生随机数，以除以35，余数作为被抽中的数，如果余数为0，则被抽中的数为35。第三十九页，共342页。2.1.4地位与作用优点简单直观理论基础缺点N很大时难以获得抽样框样本分散不易实施，调查费用高很少单独使用，一般结合其他方法使用没有其他信息时使用多变量复杂数据分析第四十页，共342页。2.2简单估计量及其性质

判断下面要估计的总体目标量分别属于什么类型？调查城市居民家庭平均用电量。估计湖中鱼的数量。测试日光灯的寿命。估计居民家庭用于做饭菜及饮用的用水量占家庭总用水量的比重。估计婴儿出生性别比。检测食盐中碘含量。

第四十一页，共342页。2.2.1对总体均值的估计

以样本均值作为总体均值的估计性质1：对于简单随机抽样，

是

的无偏估计。

第四十二页，共342页。例设总体为{0，1，3，5，6}，计算总体均值=3、总体方差=5.2和=6.5；给出全部的样本，并验证及。

1010.5-2.50.52031.5-1.54.53052.5-0.512.540630185132-126153087163.50.512.58354129364.51.54.510平均565.52.50.5

306.5

方差1.95

样本编号单元1单元2样本均值-样本方差-2.2.1对总体均值的估计第四十三页，共342页。

证明性质1

对于固定的有限总体，估计量的期望是对所有可能样本求平均得到的，因此总体中每个特定的单元

在不同的样本中出现的次数。

第四十四页，共342页。证明性质1（对称性论证法）

由于每个单元出现在总体所有可能样本中的次数相同，因此一定是的倍数，且这个倍数就是，

第四十五页，共342页。性质2：对于有限总体的方差定义：性质2：对于简单随机抽样，的方差式中：为抽样比，为有限总体校正系数。

第四十六页，共342页。证明性质2（对称论证法）：

中的求和是对项的，

中的求和是对项的第四十七页，共342页。第四十八页，共342页。每个特定单位被选入样本的概率：

=P（i）=故其定义为：*不放回抽样*每个样本被抽中的概率为*每个单位被选入样本的概率

利用无限总体理论第四十九页，共342页。Mean

随机变量2.2.1对总体均值的估计第五十页，共342页。证明性质2第五十一页，共342页。简单估计量估计精度影响因素：

估计量的方差是衡量估计量精度的度量。影响估计量方差的因素主要是样本量n，总体大小N和总体方差。通常N很大，当f<0.05时，可将近似取为1。

总体方差是我们无法改变的；因此，在简单随机抽样的条件下，只有通过加大样本量来提高估计量的精度。

第五十二页，共342页。

性质3：的样本无偏估计为：

证明

:第五十三页，共342页。2.2.1对总体均值的估计第五十四页，共342页。2.2.1对总体均值的估计大样本下，抽样调查估计量渐进正态

第五十五页，共342页。2.2.1对总体均值的估计【例2.3】我们从某个=100的总体中抽出一个大小为=10的简单随机样本，要估计总体平均水平并给出置信度为95%的区间估计。序号1234567891045204661508第五十六页，共342页。2.2.1对总体均值的估计由置信度95%对应的，因此，可以以95%的把握说总体平均水平大约在之间，即2.4295和7.5705之间。第五十七页，共342页。2.2.1对总体均值的估计有放回简单随机抽样第五十八页，共342页。2.2.2对总体总量的估计

第五十九页，共342页。【例2.4】续例2.3。估计总体总量，并给出在置信度95%的条件下，估计的极限相对误差。在置信度95%下，的极限相对误差为：第六十页，共342页。对总体比例的估计

某一类特征的单元占总体单元数中的比例P.将总体单元按是否具有这种特征划分为两类，设总体中有个单元具有A这个特征，如果对每个单元都定义指标值

第六十一页，共342页。对总体比例的估计总体方差：

第六十二页，共342页。对总体比例的估计估计量

性质5：对于简单随机抽样，是P的无偏估计。的方差为：

第六十三页，共342页。证明第六十四页，共342页。对总体比例的估计】

【例2.5某超市新开张一段时间之后，为改进销售服务环境，欲调查附近几个小区居民到该超市购物的满意度，该超市与附近几个小区的居委会取得联系，在总体中按简单随机抽样抽取了一个大小为=200人的样本，调查发现对该超市购物环境表示满意或基本满意的居民有130位，要估计对该超市购物环境持肯定态度居民的比例，并在置信度95%下，给出估计的近似置信区间、极限绝对误差。假定这时的抽样比可以忽略。第六十五页，共342页。对总体比例的估计】95%近似置信区间为〔58.37%，71.63%〕第六十六页，共342页。2.3样本量的确定所需要的精度找出样本量与精度之间的关系估计所需的数值，求解n如超出预算，调整精度值重新计算第六十七页，共342页。2.3样本量的确定费用总费用固定费用可变费用

设计费分析费办公费管理费场租费等访问员费交通费礼品费电话费等第六十八页，共342页。2.3.1精度marginoferror对精度的要求通常以允许最大绝对误差（绝对误差限）或允许最大相对误差（相对误差限）来表示。

第六十九页，共342页。样本量足够大时，可用正态分布近似变异系数

2.3.1精度marginoferror第七十页，共342页。当N很大时，

0，nn0，wr与wor几乎没有区别。样本量（SampleSize）

n0为重复抽样条件下的样本量2.3.1精度marginoferror第七十一页，共342页。2.3.1精度marginoferror总体参数为P的样本量n0为重复抽样条件下的样本量第七十二页，共342页。2.3.1精度marginoferror

f<0.05

第七十三页，共342页。总体方差的估计根据预调查数据或以前文献资料根据数据的分布粗略估算S,例如全距/4，全距/6对于比例估计，如果P在0.5附近（０．２－０．８），可根据PQ在P=0.5时达到极大值来对样本量进行计算

.第七十四页，共342页。如果时间允许，且总体在时间上变化不快，调查可以分为两步，首先确定一个可以承受的样本量，调查后对估计精度进行计算，如果精度达到要求，则不再进行下一步，否则，计算为达到精度要求所需的样本量，再调查补充样本通过定性分析

,最好是对总体变异系数进行分析并估计，因为变异系数通常变化不大.总体方差的估计第七十五页，共342页。估计精度越高越好吗？

简单随机抽样估计比例P的样本量与误差（当P=0.5时）样本量误差d500.141000.105000.04510000.032100000.0098

对精度要求的判断十分重要。为得到最小误差而选择最大样本量不是好的选择。样本量设计中的误区第七十六页，共342页。2.样本量与总体规模N有关吗？按照总体比例确定样本量合适吗？例：简单随机抽样估计P，置信度95%，允许误差5%，在P=0.5条件下总体规模（N）所需样本量（n）

5044100805002221000286500037010000385100000398100000040010000000400

样本量设计中的误区第七十七页，共342页。

由此可知，在精度要求相同条件下，在北京市进行一项调查和在全国进行一项调查，样本量的差别并不大。总体规模越大，进行抽样调查的效率越高。

若分类、分区、分层分别进行估计，如何处理？对于多项目，如何处理？样本量设计中的误区第七十八页，共342页。其他影响因素1.所研究问题目标量的个数2.调查表的回收率例如回收率估计为80%，则应接触的样本量为计算出所需样本量的1.25倍；3.非抽样误差4.资源限制5.有效样本etc第七十九页，共342页。(Designeffect,Deff)定义：简单随机抽样的样本估计量的方差与复杂抽样的样本估计量的方差的比率。

Deff

Var（）为复杂样本估计量的方差。2.4设计效果第八十页，共342页。2.4设计效果设计效应基什（L.Kish）提出

比较不同抽样方法的效率.

不放回简单随机抽样简单估计量的方差

某个抽样设计在同样样本量条件下估计量的方差。

第八十一页，共342页。

Deff的作用：

（1）评价抽样设计的一个依据,

如果deff<1，则抽样设计比简单随机抽样的效率高；如果deff>1，则抽样设计比简单随机抽样的效率低。（2）计算样本量如多阶段抽样的

Deff大约在2~2.5之间。

n=n’(deff)n’为简单随机抽样所需样本量。2.4设计效果第八十二页，共342页。放回简单随机抽样的deff为：常用于复杂抽样样本量的确定；在一定精度条件下，简单随机抽样所需的样本量比较容易得到，复杂抽样的样本量为，

2.4设计效果第八十三页，共342页。2.5稀有事件的抽样问题如果估计的是非常稀有事件的比例，这时总体比例很小，用极限相对误差比极限绝对误差更好些。

对于稀有事件，所需的样本量会很大，例如：

第八十四页，共342页。针对稀有事件并无法给出确切范围，对总体比例事先不同的假定，所导致的样本量差异非常大。

霍丹（Haldane）提出的逆抽样方法:

即事先确定一个整数m（m>1），进行逐个抽样，直到抽到m个所考虑特征的单元为止.

2.5稀有事件的抽样问题第八十五页，共342页。设n是实际的样本量，则P的一个无偏估计为当n比较大，时

很接近于1

2.5稀有事件的抽样问题第八十六页，共342页。规定了或r、t后，就可以确定m。如规定=20%，则m=27。可以证明，这时所需样本量n的均值为第八十七页，共342页。第3讲分层随机抽样

第03章分层随机抽样第04章第八十八页，共342页。第03章分层随机抽样定义及符号估计量及其性质样本量的分配原则样本量的确定分层抽样的若干问题第八十九页，共342页。3.1定义及符号3.1.1定义在抽样之前，先将总体N个单元划分成L个互不重复的子总体，每个子总体称为层，它们的大小分别为，这个层合起来就是整个总体，然后，在每个层中分别独立地进行抽样，这种抽样就是分层抽样，所得到的样本称为分层样本。如果每层都是独立按照简单随机抽样进行，则称为分层随机抽样不重不漏第九十页，共342页。作用分层抽样的抽样效率较高，也就是说分层抽样的估计精度较高。这是因为分层抽样估计量的方差只和层内方差有关，和层间方差无关。分层抽样不仅能对总体指标进行推算，而且能对各层指标进行推算。层内抽样方法可以不同，而且便于抽样工作的组织。3.1定义及符号第九十一页，共342页。3.1.2分层原则：

总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个层或不属于任何一个层。估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对象的不同类型进行划分。精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精度的目的。估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类值以及提高估计精度的目的。实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理机构设置进行分层。3.1定义及符号第九十二页，共342页。例题例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层，由各省运输管理部门负责省内的调查工作。各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查，根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层是有必要的。第九十三页，共342页。3.1.3符号说明(关于第h层的记号

)层号

单元总数样本单元数第个单元的值层权抽样比总体均值样本均值总体方差样本方差第九十四页，共342页。3.2估计量3.2.1对总体均值的估计分层样本，总体均值

的估计分层随机样本，总体均值

的简单估计

第九十五页，共342页。3.2.1估计量的性质

性质1：对于一般的分层抽样，如果是的无偏估计（），则是的无偏估计。则的方差为：只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。第九十六页，共342页。证明性质1

由于对每一层有

因此，

估计量的方差

由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全为0，从而有

第九十七页，共342页。3.2.1估计量的性质

性质2：对于分层随机抽样，是的无偏估计，的方差为：

第九十八页，共342页。证明性质2：

对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样，对每一层有

因此，由性质1，有

由第二章性质2，得

因此

第九十九页，共342页。3.2.1估计量的性质

性质3：对于分层随机抽样，的一个无偏估计为：

第一百页，共342页。证明性质3：

对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样，由第二章性质3，得的无偏估计为：

因此，的一个无偏估计为：

第一百零一页，共342页。3.2.2对总体总量的估计

总体总量

的估计为：

如果得到的是分层随机样本，则总体总量的简单估计为：

第一百零二页，共342页。3.2.2对总体总量的估计性质4：对于一般的分层抽样，如果是的无偏估计，则是的无偏估计。的方差为：第一百零三页，共342页。3.2.2对总体总量的估计性质5：对于分层随机抽样，的方差为：第一百零四页，共342页。3.2.2对总体总量的估计性质6：对于分层随机抽样，的一个无偏估计为：

第一百零五页，共342页。3.2.2对总体总量的估计例3.1调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。层居民户总数样本户奶制品年消费支出1234567891012001040011015104080900240050130608010055160851601703750180260110014060200180300220415005035150203025103025第一百零六页，共342页。第一百零七页，共342页。第一百零八页，共342页。3.2.3对总体比例的估计

总体比例P的估计为：

估计量的性质

性质7：对于一般的分层抽样，如果是的无偏估计（），则是的无偏估计。的方差为：第一百零九页，共342页。3.2.3对总体比例的估计性质8：对于分层随机抽样，是的无偏估计，因而的方差为：

第一百一十页，共342页。3.2.3对总体比例的估计

性质9：对于分层随机抽样，的一个无偏估计为：第一百一十一页，共342页。3.2.3对总体比例的估计例3.2在例3.1的调查中，同时调查了居民户拥有家庭电脑的情况，获得如下数据（单位：台），要估计该地区居民拥有家庭电脑的比例及估计的标准差。层居民户总数样本户拥有家庭电脑情况12345678910120000010001002400010000001037501100001010415001000000000第一百一十二页，共342页。解：由上表可得，

根据前面对各层层权及抽样比的计算结果，可得各层估计量的方差：

3.2.3对总体比例的估计

第一百一十三页，共342页。因此，该地区居民拥有家庭电脑比例的估计为：

估计量的方差为：

估计量的标准差为：3.2.3对总体比例的估计

第一百一十四页，共342页。3.3样本量在各层的分配

确定样本量：总的样本量，各层样本量估计量的方差不仅与各层的方差有关，还和各层所分配的样本量有关。实际工作中有不同的分配方法，可以按各层单元数占总体单元数的比例分配，也可以采用使估计量总方差达到最小、费用最小。

第一百一十五页，共342页。3.3样本量在各层的分配【例3.1】调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。第一百一十六页，共342页。3.3样本量在各层的分配层居民户总数

权数

方差常数分配与权数成比例

与正比

12000.07

1624103

3

24000.14

2166106

7

37500.26

82051011

23

415000.53

1931020

7

第一百一十七页，共342页。3.3样本量在各层的分配层居民户总数

权数

标准差常数分配与权数成比例与方差成比例与正比

120000.2

20100604940

230000.3

301009011090

350000.5

34100150141170

估计方差

3.863.093.113

第一百一十八页，共342页。3.3.1比例分配

按各层单元数占总体单元数的比例，也就是按各层的层权进行分配.对于分层随机抽样，这时总体均值的估计是自加权第一百一十九页，共342页。总体中的任一个单元，不管它在哪一个层，都以同样的概率入样，因此按比例分配的分层随机样本，估计量的形式特别简单。这种样本也称为自加权的样本。总体比例的估计是

第一百二十页，共342页。3.3.2最优分配

最优分配在分层随机抽样中，如何将样本量分配到各层，使得总费用给定的条件下，估计量的方差达到最小，或给定估计量方差的条件下，使总费用最小，能满足这个条件的样本量分配就是最优分配。第一百二十一页，共342页。3.3.2最优分配对所有层成立时，达到极小

常数第一百二十二页，共342页。3.3.2最优分配简单线性费用函数，总费用由此得出下面的行为准则，如果某一层·单元数较多·内部差异较大·费用比较省则对这一层的样本量要多分配一些。第一百二十三页，共342页。3.3.3Neyman（内曼）分配如果每层抽样的费用相同，最优分配可简化为这种分配称为Neyman分配。这时，达到最小。

第一百二十四页，共342页。第一百二十五页，共342页。例3.3

（续例3.1），如果样本量仍为40，则按比例分配和Neyman分配时，各层的样本量应为多少？按比例分配时，各层的样本量为：

第一百二十六页，共342页。对于Neyman分配，

第一百二十七页，共342页。某些层要求大于100%抽样时的修正

按最优分配时，有时抽样比f较大，某个层的又比较大，则可能出现按最优分配计算的这个层的样本量超过的情况。实际工作中，如果第k层出现这种情况，最优分配是对这个层进行100%的抽样，即取，然后，将剩下的样本量按最优分配分到各层。

第一百二十八页，共342页。3.4分层抽样的样本量令当方差给定时

第一百二十九页，共342页。3.4.1样本量的确定当按比例分配时，

实际工作中，n的计算可以分为两步，先计算：然后进行修正：

第一百三十页，共342页。3.4.1样本量的确定当按Neyman分配时，

第一百三十一页，共342页。例3.4

（续例3.1），如果要求在95%置信度下，相对误差不超过10%，则按比例分配和Neyman分配时，总样本量分别为多少？

=267

第一百三十二页，共342页。当按Neyman分配时：

第一百三十三页，共342页。3.4.2最优分配需要考虑费用时给定V时第一百三十四页，共342页。给定C时第一百三十五页，共342页。3.4.3总体参数为P的情形

当方差给定时，如果都比较大，使得

,则总样本量为

按比例分配第一百三十六页，共342页。3.4.3总体参数为P的情形Neyman分配计算样本量之前，需要对作预估计。第一百三十七页，共342页。3.4.3总体参数为P的情形例3.5

（续例3.2），如果要求在95%置信度下，绝对误差不超过5%，则按比例分配和Neyman分配时，总样本量分别为多少？按比例分配时：第一百三十八页，共342页。3.4.3总体参数为P的情形Neyman分配时：第一百三十九页，共342页。3.5分层时的若干问题

3.5.1抽样效果分析通常分层抽样比简单随机抽样的精度要高.对于固定样本量的情况，如果相对1可以忽略如果各层均值差异越大，则采用按比例分配的方式较好;而当各层的标准差相差很大时，则最优分配更好。在调查多个目标变量时，按比例分配的分层抽样可能更好些。第一百四十页，共342页。第一百四十一页，共342页。3.5.2层的划分最优分层按调查目标量进行分层当然是最好的，但我们在调查之前并不知道的值，因此，分层只能是通过与高度相关的辅助指标来进行。累积平方根法:戴伦纽斯(Dalenius)与霍捷斯(Hodges)提出的，它的做法是将分层变量（例如）分布的累积平方根进行等分来获得最优分层，

第一百四十二页，共342页。3.5.2层的划分例3.6某地区电信部门在对利用电话上网的居民家庭安装ADSL意愿进行调查时，以辖区内最近三个月有电话上网支出的居民用户为总体（上网电话费为0.02元/分钟），并准备按上网电话费支出（记为）进行分层，试确定各层的分点。第一百四十三页，共342页。范围频数累计0～565328255.5934255.59345～1089240298.7306554.324110～1536128190.0737744.397715～2077525278.43311022.83120～2562407249.81391272.64525～3024591156.81521429.4630～4024586221.74761651.20840～509582138.43411789.64250～6015761177.54441967.18660～708099127.27142094.45770～805676106.54582201.00380～90345383.102352284.10690～100425692.26052376.366100～1501246111.62442487.99150～20080089.442722577.433200～25036560.415232637.848250～30090302667.848300～3503518.708292686.557350～40057.0710682693.628400～4501210.954452704.582>45078.36662712.949不等距67813562034第一百四十四页，共342页。3.5.2层的划分最终累计频数是2712.949，如果取层数为4，则应每隔2712.949/4=678.237分一层，因此分点应该使得累计最接近678.237、1357.474、2034.712，即较合理的分层是<15、[15，30]、[30，70]以及>70。第一百四十五页，共342页。3.5.2层的划分层数的确定因为要保证每个层有样本单元，因此层数不能超过样本量n，如果要给出估计量方差的无偏估计，则每层至少两个样本单元，那么层数不能超过n/2。第一百四十六页，共342页。层数的增加确实能提高估计精度

以最简单的情形为例，是区间上的均匀分布，则总体方差，样本量为的简单随机抽样简单估计量的方差为。将总体分成大小相同的层，并按比例分配样本量，即则

第一百四十七页，共342页。3.5.2层的划分除非与的相关系数，层数一般不超过6为宜。第一百四十八页，共342页。3.5.3事后分层

实际工作中没有层的抽样框总体特别大来不及事先分层几个变量都适合于分层，要进行事先的交叉分层比较困难，并且我们并不需要交叉分层后每个子层的估计，如需要按年龄分层的结果，还需要按受教育程度分层的结果，但并不需要这两个指标的交叉结果。

出现离群值提高估计精度第一百四十九页，共342页。3.5.3事后分层使用事后分层技术时，还应注意事后层不宜太多。简单随机样本ｎ，事后分层落到第ｈ层的样本量ｎhnh固定并都大于0的条件下n足够大时，为无偏估计第一百五十页，共342页。3.5.3事后分层第一项就是按比例分配分层抽样估计量的方差，第二项表示因事后分层而非事先按比例分配分层引起的方差增加量。只要样本量足够大，事后分层的精度与按比例分配事先分层的精度相当。

第一百五十一页，共342页。3.5.3事后分层如果样本是按某一个辅助指标分层后抽取的，只要这个事先分层抽样是严格按比例分配进行的，则这个样本是自加权的，总体中每个单元被抽中的概率相同，我们可以将这个样本看作简单随机样本，分别对其它指标进行事后分层估计。

第一百五十二页，共342页。3.5.3事后分层例3.7某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）的开支，在全校8000名学生中抽出了一个200人的简单随机样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70％，调查最近一个学期课外进修支出（元）的结果如下：试估计全校学生用于课外进修的平均开支。第一百五十三页，共342页。3.5.3事后分层层层权样本量样本均值样本标准差本科生0.7120253.4231.00研究生0.380329.4367.00合计1200283.8294.57第一百五十四页，共342页。3.5.3事后分层解：全校学生用于课外进修的平均开支为：估计的方差为：

估计的标准差为：19.54(元)＝381.83第一百五十五页，共342页。3.5.3事后分层

解：如果采用简单估计,则估计的方差为：

估计的标准差为：20.57(元)第一百五十六页，共342页。第4讲比估计和回归估计第04章比估计和回归估计第一百五十七页，共342页。第04章比估计和回归估计比估计回归估计分层比估计与分层回归估计第一百五十八页，共342页。为什么要使用比率估计/回归估计利用总体的辅助信息提高估计的精度。辅助指标的选择：辅助指标应该与调查指标有较好的正的相关关系。的抽样分布较的抽样分布变动性要小得多。辅助指标的总体总量或总体均值已知。比率估计、回归估计需要有足够的样本量才能保证估计的有效。有偏估计：当样本量足够大时，估计的偏倚趋于0。

第一百五十九页，共342页。1802年，拉普拉斯（Laplace）想要估计法国的人口数目。他获得了一个遍布全国范围的30commune的样本，截至1802年9月23日总共有2037615居民。在包括1802年9月23日以前的三年中，215599个新生儿在30个commune。拉普拉斯认为30个commune的每年注册的新生儿数为215599/3=71866.33，把2037615按照71866.33来分，拉普拉斯估计每年每28.35人里有一个注册新生儿。通过用28.35乘以全法国年度新生儿总数来估计得出法国人口总数。调查中都有辅助信息，抽样框也通常有每个单元额外的信息，这些信息能被用来提高我们的估计精度。利用辅助变量的信息改进估计的精度第一百六十页，共342页。

例:法国的Laplace受政府委托进行法国人口的估计与推算。推算方法如下：利用辅助变量的信息改进估计的精度第一百六十一页，共342页。简单地想要估计一个比率

:假定总体由面积不同农业用地构成，yi=i地谷物的产量，xi：i地的面积，B=每亩谷物的平均产量利用辅助变量的信息改进估计的精度第一百六十二页，共342页。例：有一批甘蔗欲估计其含糖总量。若按照简单随机抽样方法，从中随机抽取了n根样本甘蔗，若用样本均值来估计总体均值，便得到每根甘蔗的平均含糖量，要得到总含糖量，还要乘以总根数，而当这批甘蔗量很大时，总根数不容易数清楚。辅助变量法：每根甘蔗的含糖量与重量之间有密切关系，呈高度相关，在测每根甘蔗含糖量的同时，也测其重量，得到样本甘蔗的含糖量和重量之间的一个比率R，含义是单位重量的含糖量，乘以这批甘蔗的总重量即得其总的含糖量，而这批甘蔗的总重量比总根数容易获得。利用辅助变量的信息改进估计的精度第一百六十三页，共342页。想要估计一个总体总数，但总体大小N是未知的。但是我们知道,于是可以通过来估计N,由此我们可以使用不同于总数N的方法而是采用辅助变量来进行测量。要估计渔网中长度长于12cm的鱼的总数，抽取一个鱼的随机样本，估计长度长于12cm的鱼所占的比例，用鱼的总数N乘以这个比例即可得到，但如果N未知不能使用。能称量渔网中鱼的总重量。鱼的长度与其重量相关。第一百六十四页，共342页。调整来自样本的估计量以便它们反映人口统计学的总量。在一所具有4000名学生的大学提取一个400个学生的简单随机样本，此样本可能包含240个女性，160个男性，且其中被抽中的84名女性和40名男性计划以教学为毕业后的职业。第一百六十五页，共342页。

比率估计量被用来对无回答进行调整

设抽取一个行业的样本：令yi为i行业花费在健康保险上的金额，xi为i行业的雇员数。假定对总体中的每个行业xi均已知。我们希望一个行业花费在健康保险上的金额与雇员数相关。某些行业在调查中可能涉及不到。估计保险费用的总花销时调整无回答的方法之一是用总体数X乘以比率第一百六十六页，共342页。4.1比估计（RatioEstimator)辅助指标x，其总体均值（总量）已知4.1.1比估计公式在srs条件下第一百六十七页，共342页。【例1】对以下假设总体（N=6），用简单随机抽样抽取的样本，比较简单随机抽样比估计及简单估计的性质。

123456平均值01358104.51311182946184.1比估计（RatioEstimator)第一百六十八页，共342页。样本简单估计比估计11，221821，361831，49.517.141，51516.87551，623.521.1562，3715.7572，410.515.7582，5161692，624.520103，414.516.3113，52016.36123，628.519.73134，523.516.27144，63219.2155，637.518.75第一百六十九页，共342页。简单估计是无偏的，而比估计是有偏的。简单估计量的方差远远大于比估计量的方差，比估计的偏差不大，其均方误差也比简单估计的小得多。因此对这个总体，比估计比简单估计的效率高。

第一百七十页，共342页。4.1.2比率估计的性质偏倚量会小，如果：样本量n很大抽样比n/N很大很大Sx很小相关系数R接近于1第一百七十一页，共342页。比率估计的近似方差第一百七十二页，共342页。数据透视图可以看作是数据透视表和图表的结合，它以图形的形式表示数据透视表中的数据。在Excel2007中，可以根据数据透视表快速创建数据透视图，更加直观地显示数据透视表中的数据，方便用户对其进行分析。4.1.3比率估计的效率第一百七十三页，共342页。与简单估计的比较简单估计量无偏，而比率估计量渐近无偏。因此这里只比较当ｎ比较大的情形。比率估计量优于简单估计量的条件是：

正高度相关4.1.3比率估计的效率第一百七十四页，共342页。4.1.3比率估计的效率比率估计成为最优线性无偏估计的条件

(1).与的关系是过原点的直线

(2).对这条直线的方差与成比例。则比率估计是最优线性无偏估计(BLUE)。

第一百七十五页，共342页。【例2】某县在对船舶调查月完成的货运量进行调查时，对运管部门登记的船舶台帐进行整理后获得注册船舶2860艘，载重吨位154626吨，从2860艘船舶中抽取了一个的简单随机样本，调查得到样本船舶调查月完成的货运量及其载重吨位如下表（单位：吨），要推算该县船舶调查月完成的货运量。

17801006217012021500507182315031005508145080437610915820560020101370504.1.3比率估计的效率第一百七十六页，共342页。该县船舶在调查月完成货运量的比率估计为

用简单估计对货运量进行估计

实际中对于样本量较小的情形，使用比率估计量时不能忽视其偏倚。

第一百七十七页，共342页。4.1.4分层随机抽样下的比率估计分别比率估计量separateratioestimator

如果各层的样本量不小的话，则可以采用各层分别进行比率估计，将各层加权汇总得到总体指标的估计，这种方式称为分别比率估计量。联合比估计combinedratioestimator

若某些层的样本量比较小时，可以采用联合比估计。对两个指标先加权求总体均值的分层估计，然后用它们构造比估计，所得估计量称为联合比估计。第一百七十八页，共342页。分别比率估计量separateratioestimator

如果各层的样本量不小的话，则可以采用各层分别进行比率估计，将各层加权汇总得到总体指标的估计，这种方式称为分别比率估计量。4.1.4分层随机抽样下的比率估计第一百七十九页，共342页。分别比率估计量要求每一层的样本量都比较大，如果达不到这个要求，则它的偏倚可能比较大，这时使用联合比率估计量。combinedratioestimator4.1.4分层随机抽样下的比率估计第一百八十页，共342页。4.1.4分层随机抽样下的比率估计联合比估计combinedratioestimator

若某些层的样本量比较小时，可以采用联合比估计。对两个指标先加权求总体均值的分层估计，然后用它们构造比估计，所得估计量称为联合比估计。第一百八十一页，共342页。方差的比较如果每一层样本量都比较大，各层R相差较大，则分别比率估计量的方差小于联合比率估计量的方差。但当每层的样本量不太大时，还是采用联合比率估计量更可靠些，因为这时分别比率估计量的偏倚很大，从而使总的均方误差增大。实际应用中每层的样本量都较大，可用分别比率估计。第一百八十二页，共342页。例：某县有300个村，小麦播种面积为23434亩。全村按地势分为平原、丘陵和山区三种类型，各按10%等比例抽样，调查亩产量，整理结果下表所示层NhWhnhs2yhs2xhsxyh平原990.3310583561568180915031643丘陵1380.4614445427439199019871948山区630.216290274271198918921936相邻两年产量之间存在较高的正相关性，因此对今年平均亩产进行估计时以去年产量为辅助变量构造分层比率估计是适宜的。第一百八十三页，共342页。分别比率估计第一百八十四页，共342页。联合比率估计

第一百八十五页，共342页。回归估计回归估计：是通过对调查变量Y以及与该变量有关的辅助变量X建立回归方程，然后运用回归方程对总体指标进行推断、估计的方法。最早使用回归估计的是沃森（Watson）,1937年他利用植物叶片的重量作为辅助变量，通过回归估计得到了主要变量植物叶片面积的总值估计。条件：

1、植物叶片面积与植物叶片重量之间存在着稳定的线性关系。

2、叶片重量比面积更易测得。4.2回归估计第一百八十六页，共342页。第一百八十七页，共342页。第一百八十八页，共342页。第一百八十九页，共342页。因为而的样本均值后者的总体均值为故（2）式成立其样本估计量：第一百九十页，共342页。总体回归系数C：的最佳值是B：是的无偏估计A：是的无偏估计性质第一百九十一页，共342页。大样本条件下残差方差Se22.由样本估计此时第一百九十二页，共342页。当ｎ很大时，有由于｜ρ｜≤1，故(ρ＝０时，取等号)

回归估计量、比估计量与简单估计量的比较回归估计总是优于简单估计量，除非ρ＝０时第一百九十三页，共342页。

只有当B=R时，式子相等，回归估计为比估计，直线过原点可见,在大样本时，回归估计量的精度要好于简单估计量和比估计量。

回归估计量、比估计量与简单估计量的比较第一百九十四页，共342页。第4讲整群抽样第04章整群抽样第一百九十五页，共342页。整群抽样等概率整群抽样等概率两阶段抽样第04章整群抽样第一百九十六页，共342页。4.1整群抽样整群抽样及特点什么是整群抽样

将总体划分为若干群，以群为抽样单元，对群中的所有单位进行调查。整群抽样的特点与多阶段抽样，多阶段整群抽样的关系抽样框编制得以简化实施调查便利，节省费用估计效率较低对某些特殊结构的总体却有好的估计效果第一百九十七页，共342页。4.1.2群的划分大致可分为两类根据行政或地域形成的群体调查人员人为确定的分群的原则可用方差分析原理说明：群内差异尽可能大，群间差异尽可能小4.1整群抽样第一百九十八页，共342页。4.1.3群的规模无法控制规模的群可控制规模的群，群规模不宜过大有群规模相等与不相等两种情况4.1整群抽样第一百九十九页，共342页。群规模大小相等时的估计

N:总体群数

n:样本群数

Yij:总体第i群的第j单位数值

yij:样本中第i群的第j单位数值

Mi:第i群规模（单位个数）本节中，M1＝M2

＝……＝MN

＝M4.2等概率整群抽样第二百页，共342页。Mt:总体单位总数Yi:总体中第i群的总量yi:样本中第i群的总量4.2等概率整群抽样第二百零一页，共342页。

:总体中第i群个体均值

:样本中第i群个体均值

:总体的群均值

:样本的群均值4.2等概率整群抽样第二百零二页，共342页。

:总体中的个体均值（各群）

:样本中的个体均值

4.2等概率整群抽样第二百零三页，共342页。

:总体方差

:总体群间方差

:总体群内方差4.2等概率整群抽样第二百零四页，共342页。:样本方差

:样本群间方差

:样本群内方差

4.2等概率整群抽样第二百零五页，共342页。4.2.1群规模大小相等时的估计均值估计量SRS，群规模相同，均为M，则的估计为：

比较SRS抽取nM个样本4.2等概率整群抽样第二百零六页，共342页。估计量的性质性质1：是的无偏估计，即