中学数学课改的十个论题

中学数学课改的十个论题

自2001年实施课标教材实验以来，我们进行了大量跟踪调研，发现了一些带有普遍性的问题。经过整理，归纳出如下论题：序言：数学教改的基本共识在课改过程中，对数学教学涉及的各环节及相关问题都进行了全方位的反思和讨论，提出了各种各样的观点，从中我们可以概括出一些基本共识：教学目标——全面关注学生的认知、能力和理性精神，强调以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展，为学生的富有个性的发展奠定必须的数学基础，其实质仍然是“数学育人”；教学内容——强调概念及其反映的思想方法教学的重要性，注重知识的联系与综合，反对“数学教学=解题教学=题型教学=技巧训练”的现象；教学要求——个性差异与统一要求的辩证统一，这是历来强调的，但以前偏重统一性，现在强调以个性差异为出发点和基础；教学设计——不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂“生成”，设计能引发学生独立思考、自主探究的“开放性问题”，乃至强调“看过问题三百个，不会解题也会问”；教学方法——强调讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调“启发式教学”的核心地位；学习方式——接受与探究的融合，强调学生学习的主动性、积极性，注重独立思考和合作学习的结合；教学过程——以知识的（自然、水到渠成）发生发展过程为载体的学生认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与（教学的有效性）；教学评价——强调发挥评价对改进教师的教、学生的学的作用，作为教师根据教学进程进行教学反馈、调节，以及学生通过自我监控调节学习进程的依据，重视形成性评价；教学媒体——以信息技术与数学教学整合为焦点，追求“必要性”“平衡性”“广泛性”“实践性”“有效性”，服务于数学概念、原理的实质理解，做纸笔所不能做的事。这些共识就是被广大教师普遍接受的“新理念”。从中可见，“新理念”并不是对“旧理念”的抛弃，而是对“旧理念”的扬弃，是继承与发展的统一，而且有许多教育思想（例如“教学应该实行启发式，反对注入式”）是常新的、永不过时的。教育领域中，“全新理念”不能用来指导教改实践。总之，“新理念”就是要在教育领域落实科学发展观，使学生得到全面、和谐与可持续发展。值得指出的是，上述共识许多都是常识。但常识往往被人们忘记。回顾我国在世纪之交开始的这场以课程改革为核心的教育改革，可以发现这些共识来之不易，人们的思想回归常识也经历了一个曲折的过程。从教育改革的理念层面看，本次改革确实解放了人们的思想；对我国数学教育传统的批判许多都是切中要害的；更重要的是引发了人们的新思考，促使人们更进一步地考虑数学教育中的深层次问题；关注学生的个性基础，强调发挥学生的主体性，促进学生积极主动地学数学等，也是与时代发展对数学教育的新要求合拍的，有利于培养高素质人才；等。但是，因为学生的成长过程没有重复的机会，所以教育改革应该敢想而谨慎地干，切忌蛮干，看准的问题也只能逐步地改，只能是在已有发展基础上的深入，否则一定会陷入低层次的折腾。从教改的发展现状看，关键还是将先进理念具体化，变成具有可操作性的行动指南，落实在课堂教学中，体现在教师的日常教学行为上。一、“理解数学”是当好数学教师的前提数学水平高的人不一定能教好数学，但好的数学教师一定有好的数学功底，这是毋庸置疑的。在数学教师的知识结构中，第一要素是“数学素养”，其主要内涵是：了解数学知识的背景，准确把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义，深刻领悟内容所反映的思想方法，具有挖掘知识所蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源的能力和技术，善于区分核心知识和非核心知识等。从我们的调研结果看，尽管现在中学数学教师的学历达标率较高，还有许多数学教师具有硕士、博士学位，但总体而言，对中学数学课程中的内容及其反映的思想方法的理解水平仍有很大的提高空间。例1“多项式乘法公式”中蕴涵的数学思想方法。多项式的乘法公式是我们司空见惯的内容，一般的，人们只是把它作为一个简化多项式运算的工具，教学中常常是直接给出公式（证明实在是轻而易举），然后把重点放在公式中字母的变式、熟练应用公式的训练上。乘法公式的熟练运用是重要的，而且要达到“自动化”水平。然而，如果教学仅限于此，则没有揭示“从多项式乘法到乘法公式”所蕴涵的数学思想方法。为了把问题看得更加清楚，我们不妨把视野放得更宽些，从代数学的基本观念和思想方法入手。所谓“代数”就是“用不定元（字母）代表数”，而“代数学”的根源就在于对“不定元（字母）”进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算及其规律的研究，即“引进一个量就要研究它的运算，引进一种运算就要研究它的运算律”。简言之，代数学的根源在于代数运算。在引入不定元（字母）代表数之前，数系的运算规律不能方便地表达；用不定元（字母）代表数以后，不仅数系的加、乘和指数运算的运算律（交换律、结合律、分配律、指数法则）能得到明白、简便的表达，而且通过对不定元（字母）的运算，自然而然地就得到了各种代数式（整式、分式、根式、指数式等）及其运算法则，进而就可以用它们来解各种代数方程、求各种代数公式等。这里，“用不定元（字母）代表数”的思想具有根本的重要性，它彻底地解放了数学的“生产力”。因为字母是数的“代表”，是一种在运算上满足运算律的符号，所以在字母连同数一起的运算中，关于数系的一系列运算律仍然有效、可用。这样，我们就可以“畅通无阻”地对那些具有数系通性的对象（未知量、变量、待定系数等）施行运算律，系统而简捷地解决各种代数问题。因此，“整个代数学所发展的就是有系统、有效力地运用这一系列简朴、普遍成立的数系运算律，去解决各种各样的代数问题”。有了上述认识，就可以清楚地看到，多项式运算就是含有字母符号的算式之间的运算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律）；两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法则来计算。而乘法公式则是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a,b,c,d有某些特殊关系时的特殊形式，即由上所述，在乘法公式的教学中，让学生获得公式的同时，还应强化运用运算律进行计算的意识，要渗透归纳的意识，要让学生体会从一般到特殊等思想。实际上，“考察特例”是数学研究的“基本套路”，具有广泛的适用性。例如，两条直线的位置关系，我们要特别研究“平行”“垂直”；三角形中我们要特别研究直角三角形、等腰三角形；四边形中，我们要特别研究平行四边形；等。根据上述理解，本课的教学可以这样设计：1.复习与引入问题1：前面我们学习了单项式、多项式的乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的依据是什么？设计意图：回顾运算法则，强化“用运算律计算”的意识。先行组织者：我们知道，(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中a、b、c、d可以是数、式或别的什么。数学中，经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，例如在两条直线的位置关系中，我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。2.公式的探究问题2：我们知道，对于(x+b)(x+d)这样的乘法，可以利用公式直接写出它的结果。与(a+b)(c+d)比较，它实际上是a=c=x时的特殊情况。除此之外，在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些情况比较特殊？你能得到什么？设计意图：通过“先行组织者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对象，明确思考方向。问题3：通过上述活动，我们得到了两个公式。请你用自己的语言表述出乎方差公式、完全平方公式。设计意图：帮助学生理解公式。3.例题具体题目略。本环节的主要目的是通过变式（字母a、b取数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算”中的作用。另外，通过适当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让学生明确：第一，具备形式(a+b)(a-b)或，就可以用公式；第二，要注意哪个代表a，哪个代表b。4.公式的多元联系表示问题4：如果a、b表示线段的长，则分别表示正方形的面积。你能根据公式的形式，自己构造一个图形表示上述乘法公式吗？设计意图：通过构造几何模型表示公式，可以开拓学生的思路。通过数形结合、图形直观，可以加深理解、增强记忆。5.小结(1)请你总结一下本节课讨论问题的基本过程。设计意图：引导学生总结“基本套路”，即“多项式乘法（一般）——乘法公式（特殊）——公式特征分析——与相关知识的联系”。(2)为什么要讨论“特殊情形”？是如何得到的？设计意图：体会“如何提出问题”。(3)你能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？设计意图：引导学生自主研究。必要时可作一定的提示，如公式中，对“次数”进行推广，可以研究……虽然这不是“课标”要求的，但对学生思维发展是有好处的。说明：对本节内容的教学观摩发现，受“创设问题情境”的局限，许多老师把“没有数学知识的张老汉被地主骗去了土地——观察图形（正方形面积部分的代数表达）——猜想公式”作为教学起点。这一设计因为割断了“从一般到特殊”的研究线索，因此对乘法公式的教育价值造成致命伤害。另外，造作的情境把简单问题复杂化，增加了学习负担。我们认为，从代数角度对乘法公式有了认识以后，再用“几何模型”解释公式，才真正体现了“多元联系表示”思想。另外，有的教师之所以跟风，主要还是因为对内容的理解不到位。二、课堂教学的高立意与低起点随着人教版初、高中数学课标教材的推广，笔者有机会深入课堂，进行了大量的教学观察和研讨。总体印象是：课堂教学的品位不高是普遍性的，许多教师“匠气”十足，一切围绕升学考试转，以题型教学、技巧训练代替数学教学，功利化色彩浓厚，缺少起码的思想、精神追求，极大地损害了数学的育人功能。因此，提高课堂教学的品位是当务之急。笔者认为，只有充分地挖掘数学知识蕴涵的价值观资源，并在教学中将知识教学与价值观影响融为一体，才能真正体现“数学育人”，其中，至关重要的是要提高课堂教学的思想性。在课堂教学实践上，要做到“高立意，低起点”。例2“四边形”起始课的教学。以往，老师们一般都是单刀直入，直接进入“平行四边形性质”的讨论。这样的教学，其基本立意是让学生尽快知道知识点，以便展开解题训练，有“见木不见林”的弊端，容易造成被动学习的局面，学生独立思考、自主探究的机会也大大减少。下面给出一种利用先行组织者，引导学生开展“类比——探究”的教学设计思路，其基本用意是要让学生体会几何研究中理性思维的基本过程。先行组织者：我们今天开始学习四边形的有关知识。在研究三角形时，我们类比了直线及其位置关系的研究思路。类似的，在具体研究四边形之前，我们先来概括一下三角形的研究问题、线索和基本方法，以便于我们找到学习本章内容的大方向。问题1：你能总结一下“三角形”一章研究的问题、过程与方法吗？设计意图：让学生明确一个类比对象，使他们逐步养成用几何研究的“基本套路”思考问题的习惯。通过归纳，得到：三角形的定义（概念，组成要素，角平分线、高、中线等相关元素）→三角形的分类（按边的相等关系分类、按内角的大小分类）→三角形的基本性质（边的大小关系、内角和、外角和等）→三角形的全等（确定三角形的条件，判定）→特殊三角形的研究，按角的特殊（直角三角形）、边的特殊（等腰三角形）分类，从性质、判定、大小度量等方面展开研究→相似三角形（主要研究性质、判定等）。教师总结：通过“定义”，我们获得了研究对象，认识了它的组成要素和相关元素。分类的目的是为了对三角形进行分门别类的研究，可以为研究提供方便。三角形的基本性质，是对图形本身的性质的研究，其中三角形内角和定理是平面几何中最重要的定理之一。“全等形”是定性平面几何研究的主要内容之一，由此可知确定三角形的基本条件。对特殊三角形的研究，体现了考察“特例”的重要性，这是数学研究的“基本套路”。“特殊性”可以从角的特殊和边的特殊两个角度入手，由此得到等腰三角形和直角三角形这两个研究对象。“性质”和“判定”是对特殊三角形的两大研究主题。值得注意的是，等腰三角形是轴对称图形，它的特征性质是研究平面几何对称性的种种表现与推论的基本工具；而直角三角形的性质，特别是勾股定理，则是研究定量几何的基本工具。问题2：类比三角形的研究，你能勾画一下“四边形”研究的问题、过程和方法吗？设计意图：通过类比，先让学生对本章的研究内容有一个整体认识，在后续研究中能够“见木见林”，给学生提供基本思想方法，从而增强学习主动性。通过归纳得到：四边形的定义（概念，组成要素，对角线等相关元素）→四边形的基本性质（内角和、外角和等）→四边形的全等（暂时不研究）→特殊四边形的研究，也可以按