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文档简介

第3章微分中值定理与导数的应用【学习目标】掌握并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理。会用洛必达法则求未定式极限。理解拐点的定义，掌握利用导数判断函数的单调性和凹凸性的方法。理解并掌握函数极值的概念与求法，掌握函数的最大值和最小值的求法及其简单应用，会描绘函数的图形。了解弧微分、曲率的概念与求法。3.1微分中值定理3.2洛必达法则3.3函数的单调性与曲线的凹凸性3.4函数的极值与最大值、最小值3.5函数图形的描绘3.6*曲率3.1微分中值定理微分中值定理是导数应用的理论基础，在微积分理论中占有重要地位，它反映了函数在某区间上的整体性质与函数在该区间内某一点处的导数之间的关系。本节将介绍3个中值定理，下面先来介绍罗尔（Rolle）定理，然后再由它推出拉格朗日（Lagrange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理。3.1.1罗尔定理3.1.2拉格朗日中值定理3.1.3柯西中值定理

3.1.1罗尔定理3.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理在微分学中占有十分重要的地位，有时也称为微分中值定理。公式（1）称为拉格朗日中值公式。3.1.3柯西中值定理3.2洛必达法则3.2.2其他类型未定式3.2.2其他类型未定式3.3函数的单调性与曲线的凹凸性前面我们已经介绍了函数单调性的概念，本节将利用导数来研究函数的单调性和曲线的凹凸性的判定方法。3.3.1函数的单调性3.3.2曲线的凹凸性3.3.1函数的单调性3.3.2曲线的凹凸性3.4函数的极值与最大值、最小值极值反映了函数的一种局部性态，为我们进一步了解函数的变化规律以及描绘函数图形提供了方便，而最大值与最小值反映了函数在所讨论范围内的一种整体性态。本节主要讨论极值与最大值最小值的判定和求法。3.4.1函数的极值3.4.2函数的最大值、最小值3.4.1函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）。3.4.2函数的最大值、最小值3.5函数图形的描绘根据前面的讨论可知，由一阶导数的符号可以确定函数的单调性以及极值点，由二阶导数的符号可以确定曲线的凹凸性以及拐点。知道了函数图形的升降、凹凸以及极值点和拐点，就可掌握函数的性态，从而可较准确地描绘出函数图形。3.5.1渐近线3.5.2函数图形的描绘3.5.1渐近线1．水平渐近线2．铅直渐近线3.5.2函数图形的描绘3.6*曲率在实际应用中，往往需要研究曲线的弯曲程度，例如，设计铁路或公路的弯道时必须根据最高限速确定弯道的弯曲程度。为此我们引进曲率的概念与计算公式。作为预备知识，我们先来介绍弧微分的概念。3.6.1弧微分3.6.2曲率

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