理论力学10九质点动力学的基本方程

1第三篇动力学理论力学2引言一.研究对象：二.力学模型：研究物体的机械运动与作用力之间的关系2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。例如：研究卫星的轨道时，卫星质点；刚体作平动时,刚体质点。自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。

非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。动力学引言3三.

动力学分类:质点动力学质点系动力学质点动力学是质点系动力学的基础。四.

动力学的基本问题：大体上可分为两类：

第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。

综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。动力学引言4第九章质点动力学的基本方程理论力学5§9–1动力学的基本定律

§9–2质点的运动微分方程第九章质点动力学的基本方程动力学第九章质点动力学的基本方程6§9-1动力学的基本定律

质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律第一定律（惯性定律）不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。动力学第九章质点动力学的基本方程7上式称为质点动力学的基本方程。建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。当质点受到多个力作用时，该式中的力F应为共点力系的合力。从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量；另外应注意公式中国际单位制（SI）的表示以及国际单位制和工程单位制的换算关系。第二定律（力与加速度之间的关系的定律）该定律的数学表达式为：动力学第九章质点动力学的基本方程8第三定律（作用与反作用定律）两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。动力学第九章质点动力学的基本方程9上述三个定律适用的参考系称为惯性参考系。今后，如无特别说明，我们取与地球固连的坐标系为惯性参考系；以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学。在此范畴，质量、空间和时间是“绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的。动力学第九章质点动力学的基本方程10§9-2质点的运动微分方程

质点受到n个力F1，F2，Fn时，由质点动力学第二定律，有

或

上式是矢量形式的微分方程，在计算实际问题时，需应用它的投影形式动力学第九章质点动力学的基本方程11

1.质点运动微分方程在直角坐标轴上投影设矢径r在直角坐标轴上的投影分别为x,y,z,力Fi在轴上的投影分别Fxi,Fxi,Fxi，则前式在直角坐标轴上的投影形式为动力学第九章质点动力学的基本方程12

2.质点运动微分方程在自然轴上投影由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为动力学第九章质点动力学的基本方程13动力学第九章质点动力学的基本方程

应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动力学的问题:第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）解题步骤和要点：

①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。

②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。

③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。

④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。

⑤求解未知量。14

第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）解题步骤如下：①正确选择研究对象。②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。③正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。选择并列出适当的质点运动微分方程。求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。动力学第九章质点动力学的基本方程15[例1]桥式起重机跑车吊挂一重为P的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：①选重物(抽象为质点)为研究对象

②受力分析如图所示③运动分析，沿以O为圆心,l为半径的圆弧摆动。动力学第九章质点动力学的基本方程16④列出自然形式的质点运动微方程⑤求解未知量动力学第九章质点动力学的基本方程17

讨论①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。②拉力FTmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。动力学第九章质点动力学的基本方程18[例2]

煤矿用填充机进行填充,为保证充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶板A处。求(1)充填材料需有多大的初速度v0

?(2)初速与水平的夹角j0？解：属于已知力为常量的第二类问题。选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。动力学第九章质点动力学的基本方程19动力学第九章质点动力学的基本方程微分方程列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算积分一次再积分一次20动力学第九章质点动力学的基本方程代入最高点A处值，得：即将到达A点时的时间t,x=S,y=H代入运动方程，得发射初速度大小与初发射角为21[例3]

发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。取火箭(质点)为研究对象,建立坐标如图示。火箭在任意位置x处受地球引力F的作用。

即：动力学第九章质点动力学的基本方程22

可见，v随着x的增加而减小。若则在某一位置x=R+H时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论x多大（甚至为∞）,火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返时（）的最小初速度（第二宇宙速度）动力学第九章质点动力学的基本方程则在任意位置时的速度23

曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度ω转动，OA=r，AB=l，当λ=r/l比较小时，以O为坐标原点，滑块B的运动方程可近似写为如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当和时，连杆AB所受的力。xyOABjβw动力学第九章质点动力学的基本方程[例4]

24动力学第九章质点动力学的基本方程25

以滑块B为研究对象，当j=ωt

时，受力如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连杆质量，AB

为二力杆，它对滑块B的拉力F沿AB方向。由题设的运动方程，可以求得

当时，且，得AB杆受的拉力xBmgFNFβ解：写出滑块沿x轴的运动微分方程动力学第九章质点动力学的基本方程xyOABjβw26得

时，，AB杆受压力。xBmgFNFβ则有动力学第九章质点动力学的基本方程xyOABjβw27（a)(b)解以木箱为研究对象，作受力分析如图所示。动力学第九章质点动力学的基本方程

[例5]

如图所示得摆动输送机，由曲柄带动货架AB输送木箱M，两曲柄等长，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，设在θ＝45°处由静止开始运动，已知曲柄O1A的初角加速度。如启动瞬时木箱不产生滑动，求木箱与货架之间的静滑动摩擦系数是多少？28由于O1A=O2B，O1O2=AB，故AB杆作平面曲线运动。

设木箱与货架无相对滑动，木箱的加速度应与点A的加速度相同，由于启动瞬时货架各点的速度为零，故建立图示坐标系，有根据静滑动摩擦力的性质有：(b)动力学第九章质点动力学的基本方程29解方程组：可得：

为保证木箱与货架在启动瞬时不相对滑动，所需最小的静滑动摩擦系数为：动力学第九章质点动力学的基本方程30[例6]

l0mkv0

弹簧－质量系统，物块的质量为m,弹簧的刚度系数为k,物块自平衡位置的初始速度为v0。求：物块的运动方程动力学第九章质点动力学的基本方程31xmkxO

解：这是已知力(弹簧力)求运动规律，故为第二类动力学问题。

以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置x>0处。l0FP物块在x方向只受有弹簧力

F＝kx

和重力P＝mg。动力学第九章质点动力学的基本方程32根据直角坐标系中的质点运动微分方程动力学第九章质点动力学的基本方程FPmkxOl0x33两次积分得：动力学第九章质点动力学的基本方程34

电梯的质量m=3000kg,以匀速v=1.5m/s下降，若突然刹车停住。设钢索的刚性系数k=27kN/cm,忽略钢索质量。求此后电梯的运动规律及钢索最大拉力。解:将钢索-电梯系统简化为弹簧－质量系统动力学第九章质点动力学的基本方程[例7]

35FxmkxOl0P动力学第九章质点动力学的基本方程36FxmkxOl0W钢索最大拉力动力学第九章质点动力学的基本方程37

质量是

m

的物体

M

在均匀重力场中沿铅直线由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力FR

与速度平方成比例，即

FR=cv2

，阻力系数

c

单位取kg·m－1

，数值由试验测定，试求物体的运动规律。xxFRmgvM动力学第九章质点动力学的基本方程[例8]

38解：

取坐标轴Ox铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体

M的运动微分方程。以

m除式(1)两端,并代入

v0

的值,得当时，加速度为零。这个v1就是物体的极限速度。动力学第九章质点动力学的基本方程xxFRmgvM39分离变量,并取定积分,有由上式求解v，得于是物体速度随时间而变化的规律为th是双曲正切。动力学第九章质点动力学的基本方程40于是求得物体的运动方程为为了求出物体的运动规律，只需把(3)再积分一次，有动力学第九章质点动力学的基本方程41

质量为m的质点带有电荷e，以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中，初速度方向与电场强度垂直，如图所示。质点在电场中受力F=-eE作用。已知常数A，k，忽略质点的重力，试求质点的运动轨迹。交流电源平板电容器xyOmv0vF质点运动轨迹E动力学第九章质点动力学的基本方程[例9]

42动力学第九章质点动力学的基本方程43

取质点的初始位置O为坐标原点，取x，y轴如图所示，而z轴与x

，y轴垂直。于是力在三轴上投影为Fx=Fz=0

因为力和初速度在z轴上的投影均等于零，质心的轨迹必定在Oxy平面内。写出质心运动微分方程在x轴和y轴上的投影式解：动力学第九章质点动力学的基本方程交流电源平板电容器xyOmv0vF质点运动轨迹E44得按题意，时，以此为积分下限，式和的定积分分别为动力学第九章质点动力学的基本方程交流电源平板电容器xyOmv0vF质点运动轨迹E45从以上两式中消去时间t，得轨迹方程轨迹为余弦曲线，如图所示。对以上两式分离变量，并以t=0时，x=y=0为下限，做定积分得质点运动方程动力学第九章质点动力学的基本方程交流电源平板电容器xyOmv0vF质点运动轨迹E46()A．a、b都正确。

B．a、b都不正确。C．a正确，b不正