二次函数图像与性质一

二次函数图像与性质一第一页，共二十五页，2022年，8月28日第二页，共二十五页，2022年，8月28日1.在上届珠海航空节中，某飞行员在特技飞行表演过程中，表演了一个俯冲动作，飞机飞行的路线近似于二次函数y=x2，你能画出飞机飞行的路线图吗？引入13第三页，共二十五页，2022年，8月28日在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2与y=-x2的图象.例题第四页，共二十五页，2022年，8月28日xy=x2y=-x2..................0-2-1.5-1-0.511.50.52函数图象画法列表描点连线00.2512.2540.2512.254

描点法用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结0-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25

-4第五页，共二十五页，2022年，8月28日想一想观察并比较这两个图象，你发现有什么共同特和不同点？各自有什么特征，对应着的性质怎么样？第六页，共二十五页，2022年，8月28日观察图象,回答问题串(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x<0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x>0呢？(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？xy0-4-3-2-11234108642-21y=x2第七页，共二十五页，2022年，8月28日二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.第八页，共二十五页，2022年，8月28日当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.

当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.第九页，共二十五页，2022年，8月28日当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.

y当x=-2时,y=-4

当x=-1时,y=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.第十页，共二十五页，2022年，8月28日二次函数y=ax2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：第十一页，共二十五页，2022年，8月28日例1在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象。x…-4-3-2-101234…y=x2…

…02288x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2…

…02288-1-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x20第十二页，共二十五页，2022年，8月28日-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x20当a>0，图象开口向上顶点是抛物线的最低点，a越大开口越小反之越大对称轴第十三页，共二十五页，2022年，8月28日1-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468yx0y=-x2

y=-x2

y=-2x2当a〈0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。a确定着抛物线的……第十四页，共二十五页，2022年，8月28日2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；

当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.小结拓展1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.由二次函数y=x2和y=-x2知：当a的绝对值越大，则函数图象越靠近y轴.4.抛物线y=ax2与y=-ax2关于X轴对称,也关于原点对称.第十五页，共二十五页，2022年，8月28日1.不画图象，说出抛物线y=-4x2和y=x2的对称轴、顶点坐标和开口方向.练一练14第十六页，共二十五页，2022年，8月28日根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是

,对称轴是

，在

侧，y随着x的增大而增大；在

侧，y随着x的增大而减小，当x=

时，函数y的值最小，最小值是

,抛物线y=2x2在x轴的

方（除顶点外）。（2）抛物线在x轴的

方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的

；在对称轴的右侧，y随着x的

，当x=0时，函数y的值最大，最大值是

，当x

0时，y<0.（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0第十七页，共二十五页，2022年，8月28日2.记r为圆的半径，S为该圆的面积，有面积公式S=πr2，表明S是r的函数.

画出函数S=πr2的图象.练一练第十八页，共二十五页，2022年，8月28日函数S=πr2的图象:注意r>0的条件.第十九页，共二十五页，2022年，8月28日活动与探索已知二次函数y=mxm²+m当m取何值时它的图象开口向上。（1）当x取何值时y随x的增大而增大。（2）当x取何值时y随x的增大而减小。第二十页，共二十五页，2022年，8月28日练习2、已知函数是二次函数，且开口向上。求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律1、已知y=（k+2）x是二次函数，且当x>0时，y随X增大而增大，则k=

；k2+k-4第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日再见请在此键入您自己的内容第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解出a=-2,所求函数解析式为y=-2x2.（2）因为，所以点B（-1，-4）不在此抛物线上。（3）由-6=-2x2,得x2=3,所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是

第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日例2已知一次函数与函数的图象如图所示，其中与轴、轴交于A（2，0）、B（0，2）；与二次函数图象的交点为P、Q，P、Q的纵坐标之比1∶4，求这两个函数解析式.

第二十四页，共二十五页，2022年，8月28日讨论（1）抛物线y=x2+1、y=x2