复变函数和积分变换1011一A答案

华北电力大学2010-2011学年第一学期考试试卷(A)答案一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题2分，共10分).下列复数sini,cosi,ei,Ini,isini,icosi,ii,(1+i)i中，实数的个数是(C)。(A)1 (B)2 (C)3 (D)4.f(z)在区域D内可导是在区域D内解析的(A)。(A)充要条件 (B)充分非必要(C)必要非充分 (D)非充分非必要.若f(z)在单连通区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，则(D)。(A)\Re[f(z)]dz=0 (B)\Im[f(z)]dz=0(C)jCf(z)dz=0 (D)jCf(z)dz=0C.若幂级数£czn在z=4+3i处收敛，那么该级数在z=5处(D)nn=0(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)不能确定.z=0为函数f(z)=—1一的(B)。z•sinz•cosz(A)可去奇点 (B)一级极点 (C)二级极点 (D)本性奇点二、填空题(每空2分，共10分)2argz=一arctan-.复数z=(3+4i)(1-2i)，贝I6 11。.用复数形式的参数方程表示连接点-1-i和2+3i的直线z=-1-i+1(3+4i),-8Vt<+8。(t的范围不准确酌情给分)fsin(z3+2z-3)•ez』 dz-03.(z+2)2 -3.|z|-1S- z-1 … 1.设f(z)--__,则Res[f(z),0]-3。1.映射w-在z-3处的伸缩率为8。

三、(10分)将函数f(z三、(10分)将函数f(z)z2+(2i-1)z—2i分别在0<|z-1|<<5,芯<|z+2i|<+8内展开成洛朗级数。解：f(z)=z2+(2i-1)z-2i (z-1)(z+2i)(1)0<|z-1|<有时f(z)=(z-1)(z-1+1+2i)=(z-1)-1 ；——t7-..2分1+2i (z-1)]1—[— ]1+2i।z-1।Iz—1I1I 1=—<11+2i<5: 1•二f(z): 1•二f(z)=——(z-11+2iA^(-1)n小二n=02分n=0(2)<5<|z+2i|<+8时f(z)=(z-1)(z+2i)=(z+2i)-1 z+2i-2i-11f(z)=(z+2i)-22分I+b+2分- z+2i三f(z)=(z+2i)-2 1 =(z-1)-2£(2i+1)n=£(2i+1)n(z+2i)-n-21 2i+1 (z+2i)n1- n=0 n=0z+2i2分1+21,-1<t<02四.a。分)求三角形脉冲函数f(t)=]四.a。分)求三角形脉冲函数f(t)=]0, Itl>12换和傅里叶积分表达式，并证明j+s1-：S%dx=兀F[f(t)]=F(①)=f+8f(t)e-adt=2f+8f(t)cosstdt—8 02'=2f1/2(1—21)cos①tdt=2解： 0sin①t1/2tsin①t1/2—4cos①t1/21 1、—4(cos一①—1)4(1—cos—①)222'0傅里叶积分表达式… 1、 … 1、1 4(1—cos—①) 1 4(1—cos一①)cos3t=f+8 2_ej3td3= f+8 2 d32兀—8 322兀-8=4f+8=J兀01(1—cos—3)cos3t 2 d332f（0）T+81…1，.、1cos—co2J3 +81-c0sx 2—d一=1..J dx=8一8AoA

3

v2j2 2 , -8x2五、求下列函数的积分（封闭曲线均为正向）（每小题5分，共计25分）:zcoszdz，2/7(^，Izl=33.sinzIzI=5dz，4.■Izl=25.f+8Xsin2Xdx。0 1+x2解：1」0TOC\o"1-5"\h\zzcoszdz=zsinz『—fsinzdz0解：1」0=isini+cosz» 2'01'e—1—e e—1+1'=+—1=e—1—12 22.f(z)=z(z+1)2有两个奇点，z=0为1级极点，z=-1为2级极点，二者都在1ZI=3内。1Res[f(z),0]-1 Res[f(z),—1]——2e1ezzezz(z+1)2IzI―3dz—2兀i[1—2et]。1'… 13.O… 13.Of(z)— ,z—k兀为1级极点，sinzk1'且Res[且Res[f(z),k冗]—(—1)k2'而z(k-(u,一"落在1z上5内.1'z(z(z+1)2IzI―3dz―2兀i{Re5[f(z),z]+Re5[f(z),z]+Re5[f(z),z]}——2兀i…1o4.f(z)—1三在1.”内解析,IzIo4.f(z)—1三在1.”内解析,IzI―3在此圆环域内，把它在所以圆环域内展开成洛朗级数:1 —1f(z)—e 7z(1—-)z(1 2 5—+—+ +Izz2 2z3..1'，1e~7dz—2兀ic——2兀i1—z-11'2'1'5.1身吟dx-%色旦-Lm{1&x},0 1+x2 2—81+x2 2 —81+x22'卜xelxLdix—2兀iRes["z2z,i]—兀e-2i， 2'―s1+x2 1+z2所以尸xsin2*dx—1冗e-2。 1'0 1+x2 2六、(10分)证明u(羽y)=2x(y-1)为调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数f(z)=u+m，满足f(1+i)=0。TOC\o"1-5"\h\z解：写出uxx+uyy=0，所以u(x,y)=2x(y—1)为调和函数 2U=2(y-1)=vy,v=y2-2y+c(x)， 2u-2x--v--c'(x)，c(x)=-x2+c， 2v-y2-2y-x2+c 1'f(z)-u+iv-2x(y-1)+i(y2-2y-x2+c) 1'z-1+iox=1,y-1，f(1+i)-i(-2+c)-0，c-2 1'：.f(z)-2x(y-1)+i(y2-2y-x2+2)。 1'七、(10分)写出将左半平面Re(z)<0映射成单位圆13k1的分式线性映射3-f(z)的一般形式，并求满足条件f(-1)-0,argf'(-1)=0的分式线性映射。解：z'=-iz将左半平面Re(z)<0映射成上半平面Im(z')>0 2'上半平面Im(z')>0映射成单位圆131<1的一般形式是7'—九- ° 3=eiO,『Im(九)>0,0为实数 ，z一\ ， 2将左半平面Re(z)<0映射成单位圆3<1的分式线性映射3-f(z)的一般形式3=3=ei0-i7~立,Im(入)>0,0为实数-iz一九3=ei0z_i^=,Im(入)>0,0为实数z一认 2'因为f(-1)-0，C=i, 1'3=ei03=ei0z—1—z—1

(z-1)2=ei0-2(z-1)2而arg而argf(-1)-0，f，(T)--2，所以0-兀。z+11+z3=em = 所以z-11-z。八、(10分)求函数f(t)=tn(n为正整数)的拉普拉斯变换，并求积分j+s12e-3tdt的0值。TOC\o"1-5"\h\z解：利用微分性质求(见例题 6分)Lm![tm]=一=j+stme-stdt,Re(s)>0 2'Sm+1 0令m=2,s=3得j+s12e-3tdt=—= 。 2'0 3327九、(