专题线性系统的频域分析法

专题线性系统的频域分析法第一页，共五十三页，2022年，8月28日第一节系统频率特性的基本概念

频率特性法是一种图解分析法，主要是通过系统的开环频率特性的图形来分析闭环系统的性能，可避免繁琐复杂的运算。是一种工程上广泛采用的成熟实用的分析方法。频率分析法的数学模型是频率特性。通过对系统频率特性的分析来分析和设计控制系统的性能。第二页，共五十三页，2022年，8月28日一、基本概念1.频率特性的定义系统结构图如图:

G(S)R(s)C(s)r(t)t0c(t)AAG(jω)r(t)=AsinωtG(jω)系统输入输出曲线稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。第三页，共五十三页，2022年，8月28日定义频率特性为:(1)线性系统在正弦输入信号作用下，系统的输出稳态输出幅值与输入幅值之比称为系统的幅频特性。用A(ω)表示

(2)稳态输出相位与输入相位之差称系统的相频特性，用(ω)表示。(3)幅频A(ω)和相频(ω)统称为频率特性，因此频率特性又称幅相频率特性。第四页，共五十三页，2022年，8月28日

频率特性表征了系统输入输出之间的关系，故可由频率特性来分析系统性能。

频率特性G(jω)是ω的复变函数，有3种表示方式：指数表示式

极坐标表示式

直角坐标表示式

上式中：U（ω）称为实频特性；V（ω）称为虚频特性。

它们之间的关系如图和下式所示。第五页，共五十三页，2022年，8月28日2.频率特性与传递函数之间的关系

频率特性是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此，频率特性和系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。三者的关系如图所示。第六页，共五十三页，2022年，8月28日例求图所示RC电路的频率特性，并求该电路正弦信号作用下的稳态输出响应。解:传递函数为

G(s)=Ts+11T=RC频率特性电路的稳态输出:+-ucur+-CiRur(t)=AsinωtT+11)=G(jωjω=1+(ωT)2-j1ω1+(T)2TωωT)t-tg-1

Asin(cs(t)=

ω1+(T)2ω√幅频特性和相频特性)=|G(jω)|A(ω=1+(T)21ω√G(jω)φ(ω)=ωT=-tg-1

第七页，共五十三页，2022年，8月28日ω0-80-60-40-200Φ(ω)12345TTTTTRC电路的频率特性曲线

ω1A00.2A0.4A0.6A0.8AA(ω)12345TTTTT频率特性可表示为：)G(jω)ejφ(ω)=A(ω=P(ω)+jQ(ω))=tg-1(ωQ(P(ω)ω)φ+Q2(√)=A(ωP2(ω)ω)第八页，共五十三页，2022年，8月28日二、频率特性的性质(1)频率特性也是一种数学模型。(2)频率特性是一种稳态响应。(3)系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率，且G(jω)、A(ω)、(ω)都是频率ω的复变函数，都随频率的改变而改变，而与输入幅值无关。(4)频率特性反映了系统性能，不同的性能指标对系统频率特性提出不同的要求。反之，由系统的频率特性也可确定系统的性能指标。(5)实际的自动控制系统都具有ω升高，幅频特性A(ω)衰减的特性，该特性称为低通滤波器的特性。(6)频率特性一般适用于线性元件或系统的分析，也可推广应用到某些非线性系统的分析。第九页，共五十三页，2022年，8月28日三、频率特性的图形表示方法在控制工程中，频率分析法是一促图解分析法，是利用图解法进行分析和设计的，常用的频率特性图（曲线）有两种。

极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线）对数频率特性曲线（又称波德图）第十页，共五十三页，2022年，8月28日0Reω∞Imωω=0

1．幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线

将幅频特性和相频特性表示在复平面上，复平面上的模代表幅频值、幅角代表相频值，实轴正方向为相角零度线，逆时针旋转的角度为正，顺时针旋转的角度为负。在复平面上取0≤ω≤∞之间的特殊点如：0，1/T……∞，分别计算这些点的幅频值和相频值。进行逐点描绘得到幅相频率特性曲线。

也称极坐标图第十一页，共五十三页，2022年，8月28日-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.1ω1100.1ω2．对数频率特性曲线

对数频率特性曲线又称伯德图.

对数幅频特性十倍频程纵坐标表示为：横坐标表示为：dB

L(ω)=20lgA(ω)

lgω-101dec为方便只表示ωL(ω)=20lgA(ω)单位为dB斜率对数相频特性)

(ωφ第十二页，共五十三页，2022年，8月28日使用对数坐标图的优点：1.可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。2.可以将乘法运算转化为加法运算。第十三页，共五十三页，2022年，8月28日3.所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示。4.对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。第十四页，共五十三页，2022年，8月28日5.2典型环节的频率特性

频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具有一些明显的优点.第十五页，共五十三页，2022年，8月28日1．比例环节（P）0KReIm

(1)奈氏图

G(s)=K=K)G(jωK)=A(ω0oφ(ω)=

(2)伯德图

对数幅频特性：=20lgKL(ω)=20lgA(ω)20lgK010.1ωdB

L(ω)对数相频特性：0o)=

(ωφ010.1ω)

(ωφ第十六页，共五十三页，2022年，8月28日对数幅频特性：

相频特性：

伯德图

K＞1，K=1，K＜1第十七页，共五十三页，2022年，8月28日

2．积分环节

(1)

奈氏图ReIm0ω=0∞G(s)=1s1j)=G(jωω1ω)=A(ω-90oφ(ω)=

(2)

伯德图对数幅频特性：

=-20lgωL(ω)=20lgA(ω)对数相频特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90oφ(ω)=ωωω=1L(ω)=-20lg1=0dBω=0.1L(ω)=-20lg0.1=20dB)

(ωφdB

L(ω)020-20第十八页，共五十三页，2022年，8月28日

3．微分环节

(1)

奈氏图

G(s)=sω)=A(ω90oφ(ω)=j)=G(jωωReIm0ω=0∞

(2)伯德图

对数幅频特性：

L(ω)=20lgA(ω)

=20lgω对数相频特性：10.11010.11020dB/dec90oφ(ω)=ωωω=1L(ω)=20lg1=0dBω=0.1L(ω)=20lg0.1=-20dB)

(ωφdB

L(ω)020-20090第十九页，共五十三页，2022年，8月28日一阶微分环节G(s)=1+Ts(1)

奈氏图1∞ω=0ω=∞1)=A(ω0oφ(ω)=∞)=A(ω90oφ(ω)=T)21+(ω)=A(ωωTtg-1

φ(ω)=T+1j)=G(jωωReIm0ω=0第二十页，共五十三页，2022年，8月28日(2)

伯德图20dB/decT110TωdB

L(ω)-20020ω)

(ωφ对数幅频特性：

T)21+(ω)=20lgL(ω渐近线相频特性曲线：ωTtg-1

φ(ω)=

450

90ω=00oφ(ω)=1ω=T45oφ(ω)=90oφ(ω)=ω→∞低频段渐近线：高频段渐近线：（用渐近线近似）：第二十一页，共五十三页，2022年，8月28日一阶微分环节的波德图第二十二页，共五十三页，2022年，8月28日幅频和相频特性为：③二阶微分环节：低频渐近线：高频渐近线：相角：可见，相角的变化范围从0~180度。转折频率为：，高频段的斜率+40dB/Dec。第二十三页，共五十三页，2022年，8月28日二阶微分环节的波德图第二十四页，共五十三页，2022年，8月28日4．惯性环节G(s)=1Ts+11T+1j)=G(jωωT)211+(ω)=A(ωωT-tg-1

φ(ω)=(1)

奈氏图根据幅频特性和相频特性求出特殊点，然后将它们平滑连接起来。取特殊点：ω=0)=1A(ω0oφ(ω)=ω=∞-90oφ(ω)=-0)=A(ω1ω=T)=0.707A(ω-45oφ(ω)=绘制奈氏图近似方法:

ReIm0ω=011ω=T-45ω∞0.707可以证明：

惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。第二十五页，共五十三页，2022年，8月28日(2)伯德图对数幅频特性：

转折频率-20dB/decT110TωdB

L(ω)T)211+(ω)=20lgL(ω<<ω1T(ωT)2<<1=0dB20lg1~~L(ω)

ω<1/T频段,可用0dB渐近线近似代替-20020ω1T

>>(ωT)2>>120lgT1~~L(ω)ω=-20lgωT

ω>1/T频段，可用-20dB/dec渐近线近似代替两渐近线相交点的为转折频率ω=1/T。渐近线渐近线渐近线产生的最大误差值为：21L=20lg

=-3.03dB精确曲线为精确曲线相频特性曲线：ωT-tg-1

φ(ω)=ω0-45-90)

(ωφω=00oφ(ω)=1ω=T-90oφ(ω)=--45oφ(ω)=ω→∞第二十六页，共五十三页，2022年，8月28日图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。第二十七页，共五十三页，2022年，8月28日当时，误差为：当时，误差为：wT0.10.20.512510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04渐近线,dB0000-6-14-20误差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.04波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：最大误差发生在处，为第二十八页，共五十三页，2022年，8月28日

5．振荡环节

n=(1-ωω2ω1

)222n

)2+(ζωG(s)=ωnωnζs2+2s+ωn22ωnωnζωωn22)=G(jωω-2+j2)2(ωnωnζωωn22)=A(ωω-2)2+(2(1)

奈氏图1ω=01)=A(ω0oφ(ω)=ReIm0-90oφ(ω)=21)=A(ωζω=ωnω=∞0)=A(ω-180oφ(ω)=ω=0ω∞ω=ωn

将特殊点平滑连接起来，可得近似幅相频率特性曲线。ζ=0.4

幅相频率特性曲线因ζ值的不同而异。ζ=0.6ζ=0.8ωnζωωn22ω-2φ(ω)=-tg-1第二十九页，共五十三页，2022年，8月28日(2)伯德图对数幅频特性：)2(ωnωnζωωn22ω-2)2+(2)=20lgL(ωωn<<ωω

>>ωn=0dBL(ω)≈20lg1ωdB

L(ω)ωn(ω2L(ω)≈20lg)ωnω=-40lgωn-20020-40ωn10精确曲线与渐近线之间存在的误差与ζ值有关，ζ较小，幅值出现了峰值。ωd=0)dA(ω可求得Mr=11-

ζ22

ζωrω=1-2

ζ2n谐振频率谐振峰值精确曲线ζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5相频特性曲线：ω0-90-180)

(ωφωnζωωn22ω-2φ(ω)=-tg-1ω=00oφ(ω)=-90oφ(ω)=ω=ωnω=∞-180oφ(ω)=ζ不同，相频特性曲线的形状有所不同：ζ=0.1ζ=0.３ζ=0.５-40dB/decζ=0.7第三十页，共五十三页，2022年，8月28日右图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。当0.4<ζ<0.7，误差约为±3dB振荡环节的波德图第三十一页，共五十三页，2022年，8月28日6．时滞环节奈氏图是一单位圆(1)

奈氏图1ω=0G(s)=e-τsjG(jωω)=e-τωτφ(ω)=-1)=A(ωReIm0ω=01)=A(ω0oφ(ω)=ω=∞1)=A(ω-φ(ω)=∞(2)伯德图L(ω)=20lg1=0dBωdB

L(ω)020ωτφ(ω)=-ω)

(ωφ0-100-200-300第三十二页，共五十三页，2022年，8月28日

8．非最小相位环节最小相位环节:

最小相位环节对数幅频特性与对数相频特性之间存在着唯一的对应关系。对非最小相位环节来说，不存在这种关系。

开环传递函数中没有s右半平面上的极点和零点。开环传递函数中含有s右半平面上的极点或零点。非最小相位环节:第三十三页，共五十三页，2022年，8月28日常用典型环节伯德图特征表

φ(ω)特殊点斜率dB/dec

传递函数环节0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKT1ω=转折频率转折频率1ω=τ转折频率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例积分重积分惯性比例微分振荡00,-20-20-400,200,-40L(ω)=0ω=1,s2+2ωnζωns+22ωn1+τs第三十四页，共五十三页，2022年，8月28日第三节系统开环对数频率特性曲线的绘制频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能

,这样可以简化分析过程。所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制。第三十五页，共五十三页，2022年，8月28日1、系统开环对数频率特性及绘制系统的开环传递函数一般由典型环节串联而成：开环系统的频率特性：

G(s)=G1(s)·G2(s)·G3(s)…Gn(s)=ΠGi(s)ni=1对数幅频特性：对数相频特性：n)=ΠGi(ji=1G(jωω)=ΠAi(ni=1)ejφi(ω)ω)=20lgΠAi(ni=1L(ωω)=Σ20lgAi(ni=1ω)=ΣLi(ni=1ω))=Σφ(ωφi(ni=1ω)

将各环节的对数频率特性曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。第三十六页，共五十三页，2022年，8月28日2、确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上；一般为比例、积分环节在最左边。3、计算20lgK，在ω＝1rad/s处找到纵坐标等于20lgK的点，过该点作斜率等于-20vdB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。4、向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率；惯性环节，-20dB/dec振荡环节，-40dB/dec一阶微分环节，+20dB/dec二阶微分环节，+40dB/dec5、对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；

2、绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：1.将开环传递函数化成典型环节的乘积。6、相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。第三十七页，共五十三页，2022年，8月28日例已知开环传递函数，试画出系统的开环对数频率特性曲线。解：G(s)=(s+10)s(2s+1)G(s)=10(0.1s+1)s(2s+1)画出各环节的对数频率特性曲线G1(s)=10ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2L1L3L2L41100.5-20020400-180-9090-40dB/decωG2(s)=1sG3(s)=0.1s+1G4(s)=2s+11各环节曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。dB

L(ω)-20dB/dec)

(ωφ可知：低频段幅频特性可近似表示为：)≈A(ωυωKυ)=20lgK-20lgL(ωω低频段曲线的斜率-20υdB/dec低频段曲线的高度L(1)=20lgK第三十八页，共五十三页，2022年，8月28日例试画出系统的伯德图

解：G(s)=100(s+2)s(s+1)(s+20)G(s)=10(0.5s+1)s(s+1)(0.05s+1)将式子标准化各转折频率为：ω1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/decω0-180-90-40dB/dec-2002040低频段曲线：20lgK=20lg10=20dB相频特性曲线：ω=0ω=∞dB

L(ω))

(ωφω1=1ω2=2ω3=20-90oφ(ω)=-180oφ(ω)=第三十九页，共五十三页，2022年，8月28日若系统开环是稳定的,则闭环系统稳定的充分必要条件是:当L(ω)线过0分贝线时,(ωc)在-180°线上方.

【例】系统的开环传递函数为试画出K=2，K=50时的伯德图，并判断其稳定性。【解】系统的伯德图如图5.36所示。图中(1)为K=2的对数幅频特性曲线，(2)为K=50的对数幅频特性曲线。因v=1故应在ω=0+处补充—段从上而下、变化范围为-90°的直线，如图中虚线所示。当K=2时，系统对数幅频特性在L(ω)≥0的频段内，(ω)不穿越-180°线，故系统稳定。当K=50时，系统对数幅频特性在L(ω)≥0的频段内，N+=0，N-=1，N=N+-N-=-1≠0，故系统不稳定。此例说明：随着开环增益K增大，系统的稳定性下降。第四节系统稳定性的频域分析一、对数频率稳定判据第四十页，共五十三页，2022年，8月28日第四十一页，共五十三页，2022年，8月28日二、稳定裕度系统的稳定裕度(相对稳定性)通常用相角裕度γ和幅值裕度Kg来表示。γ和Kg在频率特性上如图所示。对应于幅值A(ω)=1(即L(ω)=0)的角频率称为剪切频率ωc，在剪切频率处，相频特性距-180°线的相位差γ称为相角裕度。即

第四十二页，共五十三页，2022年，8月28日当系统稳定时，γ>0°，称为正相角裕度；当系统不稳定时，γ<0°，称为负相角裕度，如图所示。对应于(ω)等于-180°的频率ωg处，开环幅频特性A(ωg)的倒数称为幅值裕度，记为Kg。即

在伯德图上，幅值裕度以分贝(dB)表示。

当系统稳定时，Kg>1或20lgKg>0，称为正幅值裕度；当系统不稳定时，Kg<1或20lgKg<0称为负幅值裕度，如图所示。在实际工程中，通常要求相角裕度γ在30°～60°之间，幅值裕度Kg大于6dB。为了确定系统的相对稳定性，应同时给出相角裕度和幅值裕度，若仅用γ或Kg，有时不足以说明系统的稳定程度。第四十三页，共五十三页，2022年，8月28日(a)稳定系统(b)不稳定系统第四十四页，共五十三页，2022年，8月28日

开环频率特性的低、中、高三个频段。分析开环频率特性与系统性能的关系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低频段高频段中频段0ωdB

L(ω)ωcω1ω2

三个频段分别与系统性能有对应关系，下面具体讨论。三、动态性能的频域分析第四十五页，共五十三页，2022年，8月28日1．低频段低频段由积分环节和比例环节构成：

G(s)=sKυ对数幅频特性为：ω0KKνKυ=0υ=1υ=2-20υKυG(jωω

)=

)(jL(ω

)=20lgA()ωK=20lgυω=20lgK-v20lgω根据分析可得如图所示的结果：

可知：

曲线位置越高，K值越大；低频段斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。因此,低频段反映了系统的稳态性能。dB

L(ω)第四十六页，共五十三页，2022年，8月28日

2.中频段

穿越频率ωc附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。(1)穿越频率ωc与动态性能的关系可近似认为整个曲线是一条斜率为

-20dB/dec的直线。设系统如图:-20dB/dec0+20-20开环传递函数：G(s)≈

sK闭环传递函数为：ts≈3T穿越频率ωc反映了系统响应的快速性。s=ωcss1+ωc(s)=φωc1s+11=ωc=3ωcωdB

L(ω)ωc第四十七页，共五十三页，2022年，8月28日(2)中频段的斜率与动态性能的关系设系统如图:-40dB/dec0+20-20开环传递函数：G(s)≈

s2K闭环传递函数为：处于临界稳定状态

中频段斜率为-40dB/dec

，系统处于临界稳定状态，若＜-40dB/dec将不稳定。通常，取中频段斜率为-20dB/dec

。可近似认为整个曲线是一条斜率为

-40dB/dec的直线。s2=ω2c1+(s)=φs2ω2cs2ω2cs2+

=cω2cω2ωdB

L(ω)ωc中频段的斜率反映了系统的平稳性第四十八页，共五十三页，2022年，8月28日3．高频段

高频段反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的抗干扰能力越强。高频段对应系统的小时间常数，对系统动态性能影响不大。一般指ω＞10ωc

的频段，其特性主要由系统中的小时间常环节组成，距ωc

较远，特性斜率大，对系统的动态性能影响不大。第