正方形的性质与判定数学上册32

第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定(二)一、复习回顾菱形矩形正方形轴对称轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形边对边平行，四边都相等对边平行且相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相垂直平分对角线相等且互相平分轴对称图形中心对称图形对边平行四条边相等四个角都是相等对角线相等互相垂直平分平行四边形正方形矩形有一组邻边相等菱形有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等一、复习回顾矩形、菱形的判定方法平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义三个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直一、复习回顾思考：满足怎样条件的矩形是正方形？一组邻边相等对角线互相垂直思考：满足怎样条件的菱形是正方形？一个角是直角对角线相等ADCBABCDABCDABCD二、探究新知定义法:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形几何语言∵四边形ABCD是平行四边形∠A=90°，AB=AD∴

四边形ABCD是矩形正方形的判定方法一ABCD平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角定理：有一个角是直角的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形几何语言∵四边形ABCD是菱形∠ABC=90°

(AC=BD)∴

四边形ABCD是正方形正方形的判定方法二正方形有一个角是相等对角线相等菱形ABCDO定理：有一组邻边相等的矩形是正方形对角线垂直的矩形是正方形.几何语言∵四边形ABCD是矩形AB=AD,(AC⊥BD)∴

四边形ABCD是正方形正方形的判定方法三正方形有一组邻边相等对角线互相垂直ABCDO矩形有一个角是90°（或对角线互相垂直）有一对邻边相等（或对角线相等）平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分且相等）有一个角是90°对角线相等有一对邻边相等对角线互相垂直正方形判定的途径：总结归纳正方形的判定方法几何语言有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形∵□ABCD，

∠A=90°,AB=AD∴

四边形ABCD是正方形有一个角是直角的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形∵菱形ABCD，

∠ABC=90°(AC=BD)∴

四边形ABCD是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形对角线垂直的矩形是正方形.∵矩形ABCD，

AB=AD(AC⊥BD)∴

四边形ABCD是正方形ABCDADCBABCDO想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？（1）（2）（3）（4）例1：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.FABECD三、典例精析FABECD证明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,

∠DCB=90°,

∵BE平分∠ABC,

CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,

∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□

BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC

,∠ABC的平分线于点D,

DE⊥BC于点E,

DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.CEBAFD变式训练证明:如图所示,过点D作DG⊥AB于点G.∵DF⊥AC

,

DE⊥BC

,∴∠DFC=∠DEC=90°.又∠C=90°,∴四边形CEDF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.∴AD平分∠BAC

,

DF⊥AC

,

DG⊥AB.∴DF=DG.同理可得DE=DG

,∴DE=DF.∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.CEBAFDG例2：如图，正方形CEGF的顶点E，F在正方形ABCD的边BC，CD上，且AB=5，CE=3，连接BG，DG，则图中阴影部分的面积是________.8三、典例精析做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形原四边形可以是：中点四边形特殊四边形的中点四边形：平行四边形的中点四边形是平行四边形菱形的中点四边形是矩形矩形的中点四边形是菱形正方形的中点四边形是正方形等腰梯形的中点四边形是菱形直角梯形的中点四边形是平行四边形梯形的中点四边形是平行四边形特殊四边形的中点四边形：对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形对角线相等的四边形的中点四边形是菱形对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形总结归纳一般四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直所得中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形1.下列命题正确的是（）A.四个角都相等的四边形是正方形B.四条边都相等的四边形是正方形C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形D四、巩固练习2．四个内角都相等的四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形

D.平行四边形C四、巩固练习3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当∠ABC=90°时，它是矩形C.当AC⊥BD时，它是菱形D.当AC=BD时，它是正方形D四、巩固练习4.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是()AB∥DC

B.AC=BDC.AC⊥BD

D.AB=DCC四、巩固练习5.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（

）A.3B.12C.18

D.36C四、巩固练习6.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A.-4+4B.4+4C.8-4D.+1A四、巩固练习7.如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，∠EAF=45°．求证：四边形ABCD是正方形.证明：由题意，得∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，∴∠BAD=2∠EAF=90°.∴四边形ABCD是矩形.∵AB=AG，AD=AG，∴AB=AD.∴四边形ABCD是正方形.四、巩固练习8.如图，菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上，连接CF.（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形.四、巩固练习证明：（1）如图，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE.∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE.∴∠HEA=∠CGF.（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE.在Rt△HAE和Rt△GDH中，AH=DG,HE=HG，∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL）.∴∠AHE=∠DGH.又∠DHG+∠DGH=90°,∴∠DH